Hogyan lehet megtudni, hogy melyik szám osztható 3-mal. Az oszthatóság alapvető jelei. Mi az oszthatóság
Oszthatósági teszt egy olyan algoritmus, amely lehetővé teszi annak gyors meghatározását, hogy egy adott szám osztható-e egy másik számmal. Az oszthatóság jeleinek ismerete jelentősen csökkenti a számolási időt, és lehetővé teszi a memória és a logikus gondolkodás fejlesztését a mentális számítások elvégzése során.
Ezenkívül számos olyan feladat van, ahol meg kell határoznia, hogy egy szám osztható-e maradék nélkül egy másik számmal. Megoldásakor pedig egyáltalán nem kell osztást végezni (és az ilyen feladatokban a számok meglehetősen nagyok), csak az oszthatósági tesztet kell használni.
Az oszthatóság legegyszerűbb tesztje az 2-vel osztható teszt. Egy szám csak akkor osztható 2-vel, ha az utolsó számjegye osztható 2-vel, vagyis párosnak kell lennie.
Az 123456 szám osztható 2-vel, mert... 6 – az utolsó számjegy páros. Az 12345 szám nem osztható 2-vel, mert 5 nem osztható 2-vel.
Teszt 3-mal osztható: Egy szám akkor osztható 3-mal, ha minden számjegyének összege 3 többszöröse.
Az 123456 szám osztható 3-mal, mert... 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, ahol 21: 3 = 7.
Az 1234-es szám nem osztható 3-mal, mert 1 + 2 + 3 + 4 = 10, ahol 10: 3 ≠.
Teszt 4-gyel osztható: Egy szám akkor osztható 4-gyel, ha az utolsó két számjegye osztható 4-gyel.
Az 123456 szám osztható 4-gyel, mert... 56:4 = 14.
Az 1234-es szám nem osztható 4-gyel, mert 34:4 ≠.
De mi a helyzet a 4-gyel osztható teszttel, ha a szám kétjegyű? Kétjegyű számoknál a következő szabály működik: ha egy szám egységeinek felének és a tízeseknek az összege osztható 2-vel, akkor maga a szám osztható 4-gyel; egyébként a szám nem osztható 4-gyel.
A 92-es szám osztható 4-gyel, mert (2:2) + 9 = 1 + 9 = 10, ahol 10: 2 = 5.
Az egyik legegyszerűbb jel az 5-tel oszthatóság tesztje: Egy szám osztható 5-tel, ha az utolsó számjegye osztható öttel.
Az 12345 szám osztható 5-tel, mert... Az 5 az utolsó számjegy, osztható 5-tel.
Az 1234-es szám nem osztható 5-tel, mert... 4:5≠.
Teszt 6-tal osztható: Az a szám, amely osztható 6 osztóival, osztható 6-tal, azaz. 2-vel és 3-mal. Ez azt jelenti, hogy emlékeznünk kell a 2-vel és 3-mal való oszthatóság jeleire: a szám utolsó számjegyének párosnak kell lennie, az összes számjegy összegének pedig oszthatónak kell lennie 3-mal.
Az 123456 szám osztható 6-tal, mert... utolsó számjegye páros (6), és az 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 számjegyek összege osztható 3-mal.
Az 12345-ös szám nem osztható 6-tal, mert... nem illik egy alapon: az 5 páratlan szám (bár a számjegyek összege osztható 3-mal).
Teszt 7-tel osztható: Egy számot osztunk 7-tel, és az utolsó számjegy nélküli szám utolsó számjegyének kétszeresének kivonása osztható 7-tel.
A 364-es számot maradék nélkül oszthatjuk 7-tel, mert az utolsó számjegy duplája 4 ∙ 2, azaz. 8; a kivonás eredménye 36 – 8 = 28, ahol 28: 7 = 4.
Teszt 8-cal osztható: ha egy szám utolsó három számjegye osztható 8-cal, akkor a szám osztható 8-cal. A háromjegyű szám 8-cal való oszthatóságának meghatározása bonyolultabb: az egységek felét hozzá kell adni a tízesekhez és ismételje meg ugyanezt a kapott számmal; Ha az eredmény osztható 2-vel, akkor osztható 8-cal.
A 952 osztható 8-cal, mert:
Teszt 9-cel osztható: Egy szám osztható 9-cel, számjegyeinek összege osztható 9-cel maradék nélkül.
Az 12348-as szám osztható 9-cel, mert... 1 + 2 + 3 + 4 + 8 = 18, ahol 18: 9 = 2.
Oszthatósági teszt 10-zel nagyon egyszerű: egy szám osztható 10-zel, ha 0-ra végződik. Például: 100, 3458903456890 stb.
weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor az eredeti forrásra mutató hivatkozás szükséges.
Folytatódik az oszthatósági kritériumokról szóló cikksorozat 3-mal osztható teszt. Ez a cikk először a 3-mal oszthatóság próbáját adja meg, és példákat ad ennek a tesztnek a használatával annak megállapítására, hogy a megadott egész számok közül melyek oszthatók 3-mal, és melyek nem. Az alábbiakban a 3-mal osztható teszt bizonyítéka látható. Szintén figyelembe kell venni azokat a megközelítéseket, amelyek valamely kifejezés értékeként megadott számok 3-mal való oszthatóságát határozzák meg.
Oldalnavigáció.
Példák a 3-mal való oszthatóságra
Kezdjük azzal a 3-mal oszthatósági teszt megfogalmazásai: egy egész szám osztható 3-mal, ha számjegyeinek összege osztható 3-mal, de ha egy adott szám számjegyeinek összege nem osztható 3-mal, akkor maga a szám nem osztható 3-mal.
A fenti megfogalmazásból kitűnik, hogy a 3-mal osztható teszt nem használható teljesítőképesség nélkül. A 3-mal való oszthatóság tesztjének sikeres alkalmazásához tudnia kell, hogy a 3, 6 és 9 számok oszthatók 3-mal, de az 1, 2, 4, 5, 7 és 8 nem osztható 3-mal. .
Most tekinthetjük a legegyszerűbbet Példák a 3-mal osztható teszt használatára. Nézzük meg, hogy a −42 szám osztható-e 3-mal. Ehhez kiszámoljuk a −42 szám számjegyeinek összegét, ez egyenlő 4+2=6-tal. Mivel a 6 osztható 3-mal, ezért a 3-mal való oszthatósági próba miatt azt mondhatjuk, hogy a −42 szám is osztható 3-mal. De a 71 pozitív egész nem osztható 3-mal, mivel számjegyeinek összege 7+1=8, a 8 pedig nem osztható 3-mal.
0 osztható 3-mal? A kérdés megválaszolásához nincs szükség a 3-mal való oszthatóságra, itt meg kell emlékezni az oszthatóság megfelelő tulajdonságára, amely azt mondja ki, hogy a nulla osztható bármely egész számmal. Tehát a 0 osztható 3-mal.
Bizonyos esetekben annak bizonyítására, hogy egy adott szám osztható-e 3-mal, a 3-mal osztható tesztet többször egymás után kell használni. Mondjunk egy példát.
Példa.
Mutassuk meg, hogy a 907 444 812 szám osztható 3-mal.
Megoldás.
A 907 444 812 szám számjegyeinek összege 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39. Annak megállapításához, hogy 39 osztható-e 3-mal, számoljuk ki a számjegyek összegét: 3+9=12. És hogy megtudjuk, osztható-e 12 3-mal, a 12 számjegyeinek összegét kapjuk, 1+2=3. Mivel a 3-mal osztható 3-as számot kaptuk, így a 3-mal való oszthatósági teszt miatt a 12-es szám osztható 3-mal. Ezért a 39 osztható 3-mal, mivel a számjegyeinek összege 12, a 12 pedig osztható 3-mal. Végül a 907 333 812 osztható 3-mal, mivel számjegyeinek összege 39, a 39 pedig osztható 3-mal.
Az anyag megszilárdítása érdekében a megoldást egy másik példa alapján elemezzük.
Példa.
A −543 205 osztható 3-mal?
Megoldás.
Számítsuk ki ennek a számnak a számjegyeinek összegét: 5+4+3+2+0+5=19. A 19-es számjegyeinek összege viszont 1+9=10, a 10-es számjegyeinek összege pedig 1+0=1. Mivel a 3-mal nem osztható 1-et kaptuk, a 3-mal való oszthatóság tesztjéből az következik, hogy a 10 nem osztható 3-mal. Ezért a 19 nem osztható 3-mal, mivel számjegyeinek összege 10, a 10 pedig nem osztható 3-mal. Ezért az eredeti szám –543 205 nem osztható 3-mal, mivel a számjegyeinek 19-cel egyenlő összege nem osztható 3-mal.
Válasz:
Nem.
Érdemes megjegyezni, hogy egy adott szám 3-mal való közvetlen elosztása arra is enged következtetni, hogy egy adott szám osztható-e 3-mal vagy sem. Ezzel azt akarjuk mondani, hogy nem szabad figyelmen kívül hagynunk az osztást a 3-mal osztható kritérium mellett. Az utolsó példában, 543 205 3-mal, megbizonyosodnánk arról, hogy 543 205 nem osztható egyenletesen 3-mal, amiből azt mondhatnánk, hogy −543 205 nem osztható 3-mal.
A 3-mal oszthatóság tesztjének bizonyítása
Az a szám alábbi ábrázolása segít a 3-mal való oszthatóság próbájának bizonyításában. Bármilyen a természetes számot tehetünk, amely után megkapjuk az alak reprezentációját, ahol a n, a n−1, ..., a 0 az a szám jelölésének balról jobbra haladó számjegyei. Az érthetőség kedvéért adunk egy példát egy ilyen ábrázolásra: 528=500+20+8=5·100+2·10+8.
Most írjunk fel néhány meglehetősen nyilvánvaló egyenlőséget: 10=9+1=3·3+1, 100=99+1=33·3+1, 1 000=999+1=333·3+1 és így tovább .
Helyettesítés az egyenlőségbe a=a n ·10 n +a n−1 ·10 n−1 +…+a 2 ·10 2 +a 1 ·10+a 0 10, 100, 1000 és így tovább helyett a 3·3+1, 33·3+1, 999+1=333·3+1 és így tovább kifejezéseket kapjuk
.
És lehetővé teszik a kapott egyenlőség átírását a következőképpen:
Kifejezés 
az a szám számjegyeinek összege. A rövidség és az egyszerűség kedvéért jelöljük A betűvel, azaz elfogadjuk. Ekkor megkapjuk az alak a számának reprezentációját, amellyel a 3-mal való oszthatóság próbáját igazoljuk.
A 3-mal való oszthatóság tesztjének bizonyításához a következő oszthatósági tulajdonságokra van szükségünk:
- Ahhoz, hogy egy a egész osztható legyen egy b egész számmal, szükséges és elegendő, hogy a osztható legyen b modulusával;
- ha az a=s+t egyenlőségben egy kivételével minden tag osztható valamilyen b egész számmal, akkor ez az egy tag is osztható b-vel.
Most teljesen felkészültünk és végre tudjuk hajtani a 3-mal való oszthatóság bizonyítása, a kényelem kedvéért ezt a kritériumot a 3-mal osztható szükséges és elégséges feltétel formájában fogalmazzuk meg.
Tétel.
Ahhoz, hogy egy a egész szám osztható legyen 3-mal, szükséges és elegendő, hogy számjegyeinek összege osztható 3-mal.
Bizonyíték.
Mert a=0 a tétel nyilvánvaló.
Ha a nem nulla, akkor az a szám modulusa természetes szám, akkor lehetséges az ábrázolás, ahol az a szám számjegyeinek összege.
Mivel az egész számok összege és szorzata egész szám, akkor egész szám, így az oszthatóság definíciója szerint a szorzat osztható 3-mal bármely a 0, a 1, ..., a n esetén.
Ha egy a szám számjegyeinek összege osztható 3-mal, azaz A osztható 3-mal, akkor a tétel előtt jelzett oszthatósági tulajdonság miatt osztható 3-mal, ezért a osztható 3-mal. Tehát az elegendőség bebizonyosodott.
Ha a osztható 3-mal, akkor osztható 3-mal, ekkor az A szám osztható 3-mal, vagyis az a szám számjegyeinek összege osztható 3-mal. A szükségesség bebizonyosodott.
A 3-mal oszthatóság egyéb esetei
Néha az egész számokat nem kifejezetten adjuk meg, hanem egy változó valamely adott értékének értékeként. Például valamely n természetes szám kifejezésének értéke természetes szám. Nyilvánvaló, hogy a számok ilyen módon történő megadásakor a 3-mal való közvetlen osztás nem segíti a 3-mal való oszthatóság megállapítását, és a 3-mal való oszthatóság tesztje nem mindig alkalmazható. Most több megközelítést is megvizsgálunk az ilyen problémák megoldására.
Ezeknek a megközelítéseknek a lényege, hogy az eredeti kifejezést több tényező szorzataként ábrázolják, és ha legalább az egyik tényező osztható 3-mal, akkor a megfelelő oszthatósági tulajdonság miatt arra a következtetésre juthatunk, hogy a teljes szorzat osztható 3-mal.
Néha ez a megközelítés lehetővé teszi annak megvalósítását. Nézzük a példamegoldást.
Példa.
Osztható-e a kifejezés értéke 3-mal bármely n természetes szám esetén?
Megoldás.
Az egyenlőség nyilvánvaló. Használjuk Newton binomiális képletét: 
Az utolsó kifejezésben kivehetünk 3-at a zárójelekből, és azt kapjuk, hogy . A kapott szorzatot elosztjuk 3-mal, mivel 3-as tényezőt tartalmaz, és a természetes n zárójelben lévő kifejezés értéke természetes számot jelent. Ezért bármely n természetes számra osztható 3-mal.
Válasz:
Igen.
Sok esetben igazolható a 3-mal való oszthatóság. Példa megoldása során nézzük meg az alkalmazását.
Példa.
Bizonyítsuk be, hogy bármely n természetes szám esetén a kifejezés értéke osztható 3-mal.
Megoldás.
Ennek bizonyítására a matematikai indukció módszerét fogjuk alkalmazni.
at n=1 a kifejezés értéke , 6 pedig osztva 3-mal.
Tegyük fel, hogy a kifejezés értéke osztható 3-mal, ha n=k, azaz osztható 3-mal.
Tekintettel arra, hogy osztható 3-mal, megmutatjuk, hogy az n=k+1 kifejezés értéke osztható 3-mal, azaz megmutatjuk, hogy 
osztható 3-mal.
Végezzünk néhány átalakítást: 
A kifejezés osztható 3-mal és a kifejezéssel 
osztható 3-mal, így az összegük osztható 3-mal.
Tehát a matematikai indukció módszerével bármely n természetes számra igazoltuk az oszthatóságot 3-mal.
Mutassunk egy másik megközelítést a 3-mal való oszthatóság bizonyítására. Ha megmutatjuk, hogy n=3 m, n=3 m+1 és n=3 m+2 esetén, ahol m tetszőleges egész szám, valamelyik (n változójú) kifejezés értéke osztható 3-mal, akkor ez bebizonyosodik Egy kifejezés oszthatósága 3-mal bármely n egész számra. Tekintsük ezt a megközelítést az előző példa megoldása során.
Így, 
mert bármely n természetes szám osztható 3-mal.
Válasz:
Igen.
Hivatkozások.
- Vilenkin N.Ya. és a matematika. 6. évfolyam: tankönyv általános oktatási intézmények számára.
- Vinogradov I.M. A számelmélet alapjai.
- Mikhelovich Sh.H. Számelmélet.
- Kulikov L.Ya. és egyebek Algebrai és számelméleti feladatgyűjtemény: Tankönyv fizika és matematika szakos hallgatóknak. pedagógiai intézetek szakterületei.
Továbbra is tanulmányozzuk az oszthatóság jeleit. Ez a cikk tárgyalja 4-gyel osztható teszt. Először a megfogalmazását és a felhasználási példákat ismertetjük. Az alábbiakban bemutatjuk a 4-gyel való oszthatóság próba bizonyítását. Összefoglalva, olyan megközelítéseket tekintünk, amelyek lehetővé teszik a szó szerinti kifejezés értékeként megadott számok 4-gyel való oszthatóságának bizonyítását.
Oldalnavigáció.
Példák a 4-gyel való oszthatóságra
Annak ellenőrzésére, hogy egy adott szám osztható-e 4-gyel, a legegyszerűbb az egyjegyű számok osztása, csak a 4 és a 8 osztható 4-gyel. Egy kétjegyű természetes szám 4-gyel való elosztása sem nehéz (még szóbeli osztással sem). Például a 24 maradék nélkül osztható 4-gyel, mivel 24:4 = 6, a 83 pedig nem osztható 4-gyel, mivel 83:4 = 20 (a maradék 3) (ha szükséges, lásd a és cikkeket). De minél több számjegyet tartalmaz egy szám, annál „kellemetlenebb” az osztás végrehajtása.
Egy adott többjegyű szám oszthatóságának könnyebb ellenőrzésére van 4-gyel osztható teszt, amely egy adott a szám 4-gyel osztható képességének vizsgálatát egy egy- vagy kétjegyű szám oszthatóságának vizsgálatára redukálja. Adjuk meg ennek a tulajdonságnak a megfogalmazását. Az a egész szám osztható 4-gyel, ha az a szám jelölésének utolsó két számjegyéből (megjelenésük sorrendjében) álló szám osztható 4-gyel; ha az összeállított szám nem osztható 4-gyel, akkor az a szám nem osztható 4-gyel.
Mérlegeljük példák a 4-gyel osztható teszt használatára.
Példa.
A −98 028, 7 612 és 999 888 777 számok közül melyik osztható 4-gyel?
Megoldás.
Használjuk a 4-gyel való oszthatóság próbáját.
Az utolsó két számjegy -98 028 a 28-at adja, mivel a 28 osztható 4-gyel (28:4=7), akkor a -98 028 szám osztható 4-gyel.
A 7612 utolsó két számjegye alkotja a 12-t, a 12 pedig osztható 4-gyel (12:4=3), ezért a 7612 osztható 4-gyel.
Végül a 999 888 777 szám utolsó két számjegye adja a 77-et, mivel a 77 nem osztható 4-gyel (77:4 = 19 (többi 1)), akkor az eredeti szám nem osztható 4-gyel.
Válasz:
−98 028 és 7 612.
Hogyan alkalmazzuk a 4-gyel oszthatóság próbáját, ha a számrekord utolsó két számjegye például 01, 02, 03, ..., 09? Ezekben az esetekben a bal oldali 0-t el kell dobni, utána marad az egyjegyű 1, 2, 3, ..., 9.
Példa.
A 75 003 és -88 108 számok oszthatók 4-gyel?
Megoldás.
Nézzük meg az utolsó két számjegyet a 75 003-as szám bejegyzésében – 03-at látunk, a bal oldali nullát dobjuk el, és megkapjuk a 3-as számot. Mivel a 3 nem osztható 4-gyel, ezért a 4-gyel való oszthatóság alapján azt a következtetést vonhatjuk le, hogy 75 003 nem osztható 4-gyel.
Hasonlóképpen a −88 108 szám utolsó két számjegye alkotja a 8-at, és mivel a 8 osztható 4-gyel, így a −88 108 szám osztható 4-gyel.
Válasz:
75 003 nem osztható 4-gyel, de −88 108 igen.
Külön meg kell mondani a számokról, amelyek jelölésében a jobb oldalon két egymást követő számjegy (vagy több közülük) nulla. Mondjunk példákat ilyen számokra: 100, 893 900, 40 000, 373 002 000 stb. Az ilyen számok oszthatók 4-gyel. Indokoljuk meg ezt.
A 100-as szám osztható 4-gyel. Valóban, 100:4=25. Lehetővé teszi bármely más a egész szám ábrázolását, amelynek bejegyzése két nullával végződik, a 1 100 szorzatként, ahol az a 1 számot az a számból kapjuk, ha a jobb oldali bejegyzésben két nullát kihagyunk. Például 588 300=5 883·100 és 30 000=300·100. Az a 1 100 szorzat pedig osztható 4-gyel, mivel tartalmaz egy 100-as tényezőt, amely osztható 4-gyel (lásd az oszthatósági tulajdonságokat). Bebizonyosodott, hogy minden olyan egész szám, amelynek jobb oldalán két nulla van, osztható 4-gyel.
A 4-gyel való oszthatóság bizonyítása
A 4-gyel való oszthatóság próbájának bizonyításához szükségünk van az a természetes szám alábbi ábrázolására. Bármely a természetes szám ábrázolható a=a 1 100+a 0 alakban, ahol az a 1 számot akkor kapjuk az a számból, ha az utolsó két számjegyet kivesszük a jelöléséből, és az a 0 szám megfelel az utolsónak. két számjegy a szám jelölésében a. Például 5431=54·100+31. Ha az a szám egy- vagy kétjegyű, akkor a=a 0 .
Az oszthatóság két tulajdonságára is szükségünk lesz:
- Ahhoz, hogy egy a egész szám osztható legyen b egész számmal, szükséges és elegendő, hogy az a szám modulusa osztható legyen a b szám modulusával;
- ha az a=s+t egyenlőségben egy kivételével minden tag osztható valamilyen b egész számmal, akkor ez az egy tag is osztható b-vel.
Most hozhatjuk a 4-gyel való oszthatóság bizonyítása, amelyet először a 4-gyel oszthatóság szükséges és elégséges feltételeként fogalmazunk meg.
Tétel.
Ahhoz, hogy egy a egész szám osztható legyen 4-gyel, szükséges és elegendő, hogy az a szám jelölésében az utolsó két számjegynek megfelelő szám osztható legyen 4-gyel.
Bizonyíték.
Mert a=0 a tétel nyilvánvaló.
Más egész számok esetén a a pozitív szám, és így is ábrázolható, amint azt a tétel előtt mondtuk.
A cikk első bekezdésének végén megmutattuk, hogy az a 1100 szorzat mindig osztható 4-gyel. Ha figyelembe vesszük a tétel előtt megadott oszthatósági tulajdonságokat is, akkor a következő következtetésekre jutunk.
Ha a szám a osztható 4-gyel, akkor az a szám modulusa osztható 4-gyel, ekkor az egyenlőség az a 0 szám 4-gyel való oszthatóságát jelenti. Ez bizonyítja a szükségességet.
Másrészt a 0 oszthatósága 4-gyel és egyenlőség alapján az a modul osztható 4-gyel, ami magába foglalja az a szám oszthatóságát 4-gyel. Ez bizonyítja az elégségességet.
A 4-gyel oszthatóság egyéb esetei
Néha ellenőrizni kell egy olyan egész szám 4-gyel való oszthatóságát, amelyet valamilyen kifejezés értékeként adunk meg. Ilyen esetekben a közvetlen felosztás nem lehetséges. A 4-gyel való oszthatóság tesztje sem mindig lehetséges. Mi a teendő ezekben az esetekben?
A fő ötlet az, hogy az eredeti kifejezést több tényező szorzatára redukáljuk, amelyek közül az egyik osztható 4-gyel. Ebben az esetben a megfelelő oszthatósági tulajdonság alapján arra a következtetésre juthatunk, hogy az eredeti kifejezés osztható 4-gyel.
Néha segít ennek a belátásnak a megszerzése. A tisztázás kedvéért mondjunk egy példát.
Példa.
A kifejezés értéke osztható 4-gyel? 
néhány természetes n?
Megoldás.
Képzeljük el a 9-et 8+1-ként, ami után a Newton-féle binomiális képletet használjuk: 
A kapott szorzat osztható 4-gyel, mivel 4-es tényezőt tartalmaz, és a zárójelben lévő kifejezés természetes szám. Ezért,
Válasz:
Igen.
Elég gyakran be lehet bizonyítani valamely kifejezés 4-gyel való oszthatóságát. Mutassuk meg, hogyan történik ez az előző példa feltételével.
Példa.
Bizonyítsd be bármely n természetes számra osztható 4-gyel.
Megoldás.
Mutassuk meg, hogy n=1 esetén a kifejezés értéke osztható 4-gyel. megvan 
, és a 4 osztható 4-gyel.
Tegyük fel, hogy osztható 4-gyel, ha n=k, azaz feltesszük, hogy osztható 4-gyel.
Bizonyítsuk be osztható 4-gyel, ha n=k+1, feltéve, hogy osztható 4-gyel.
.
A kapott összegben az első tag 
osztható 4-gyel, mivel azt feltételeztük, hogy osztható 4-gyel. A második tag is osztható 4-gyel, mivel 4-es tényezőt tartalmaz. Ezért a teljes összeget el kell osztani 4-gyel.
Így a matematikai indukció módszerével bebizonyosodott, hogy bármely n természetes számra osztható 4-gyel.
Egy másik megközelítés valamely kifejezés 4-gyel való oszthatóságának bizonyítására a következő. Ha megmutatja, hogy egy adott kifejezés értéke (változóval n
A kapott szorzat 4-es tényezőt tartalmaz, tehát osztható 4-gyel.
n=4 m+2 esetén azt kapjuk
Ez a szorzat 4-gyel osztható 8-as tényezőt tartalmaz, tehát a teljes szorzat osztható 4-gyel.
at n=4 m+3 van
A kapott szorzat osztható 4-gyel, mivel 4-es tényezőt tartalmaz.
Ez bizonyítja az eredeti kifejezés 4-gyel való oszthatóságát bármely n egész számra.
Hivatkozások.
- Vilenkin N.Ya. és a matematika. 6. évfolyam: tankönyv általános oktatási intézmények számára.
- Vinogradov I.M. A számelmélet alapjai.
- Mikhelovich Sh.H. Számelmélet.
- Kulikov L.Ya. és egyebek Algebrai és számelméleti feladatgyűjtemény: Tankönyv fizika és matematika szakos hallgatóknak. pedagógiai intézetek szakterületei.
Az oszthatósági készségek alkalmazása leegyszerűsíti a számításokat és arányosan megnöveli azok végrehajtásának sebességét. Vizsgáljuk meg részletesen a fő jellemzőket az oszthatóság jellemzői.
Az oszthatóság legegyszerűbb tesztje a egységek: minden szám eggyel van osztva. Ugyanilyen elemi az oszthatóság jeleivel két, öt, tíz. Oszthat kettővel egy páros számot vagy egy olyan számot, amelynek utolsó számjegye 0, öttel - olyan számmal, amelynek utolsó számjegye 5 vagy 0. Csak a 0 utolsó számjegyű számok oszthatók tízzel. 100 - csak azok a számok, amelyek két utolsó számjegye nulla, be 1000 - csak azok, amelyeknek a végén három nulla van.
Például:
A 79516 szám osztható 2-vel, mivel 6-ra végződik – páros szám; A 9651 nem osztható 2-vel, mivel az 1 páratlan szám; 1790 osztható 2-vel, mivel az utolsó számjegy nulla. 3470 osztható 5-tel (a végső számjegy 0); Az 1054 nem osztható 5-tel (az utolsó számjegy 4). 7800 osztható 10-zel és 100-zal; 542000 osztható 10-zel, 100-zal, 1000-el.
Kevésbé ismert, de nagyon kényelmes használat jellemzi az oszthatóság jellemzői-on 3 És 9 , 4 , 6 És 8, 25 . A részre oszthatóságnak is vannak jellegzetes vonásai 7, 11, 13, 17, 19 és így tovább, de a gyakorlatban sokkal ritkábban használják őket.
A 3-mal és 9-cel való osztás jellemző vonása.
On háromés/vagy tovább kilenc Azokat a számokat, amelyeknek a számjegyek összeadásának eredménye három és/vagy kilenc többszöröse, maradék nélkül elosztjuk.
Például:
Az 156321 szám, az 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 összeadás eredménye osztható 3-mal, illetve 9-cel, maga a szám osztható 3-mal és 9-cel. A 79123 szám nem osztható 3 vagy 9, tehát hogyan nem osztható el a számjegyeinek összege (22) ezekkel a számokkal.
A 4-gyel, 8-cal, 16-tal stb. való osztás jellemző vonása.
Az ábra maradék nélkül osztható vele négy, ha az utolsó két számjegye nulla, vagy 4-gyel osztható szám. Minden más lehetőségnél a maradék nélküli osztás nem lehetséges.
Például:
A 75300 szám osztható 4-gyel, mivel az utolsó két számjegy nulla; A 48834 nem osztható 4-gyel, mivel az utolsó két számjegy a 34-et adja, amely nem osztható 4-gyel; A 35908 osztható 4-gyel, mert a 08 utolsó két számjegye adja a 8-as számot, amely osztható 4-gyel.
Hasonló elv alkalmas a vele való oszthatóság vizsgálatára is nyolc. Egy szám osztható nyolccal, ha az utolsó három számjegye nulla, vagy 8-cal osztható számot alkot. Más esetekben az osztásból kapott hányados nem egész szám.
Ugyanazok a tulajdonságok a következővel való osztáshoz 16, 32, 64 stb., de a mindennapi számításokban nem használják őket.
A 6-tal oszthatóság jellemző vonása.
A szám osztható vele hat, ha kettővel és hárommal is osztható, az összes többi lehetőséggel nem lehet maradék nélkül osztani.
Például:
A 126 osztható 6-tal, mert osztható 2-vel (a végső páros szám 6) és 3-mal (az 1 + 2 + 6 = 9 számjegyek összege osztható hárommal)
A 7-tel oszthatóság jellemző vonása.
A szám osztható vele hét ha a megduplázott utolsó szám és az „utolsó számjegy nélkül maradt szám” különbsége osztható héttel, akkor maga a szám osztható héttel.
Például:
A szám 296492. Vegyük az utolsó „2” számjegyet, duplázzuk meg, így 4 lesz. Kivonjuk a 29649-et - 4 = 29645. Problémás annak megállapítása, hogy osztható-e 7-tel, ezért elemezzük újra. Ezután megduplázzuk az utolsó „5” számjegyet, az eredmény 10. Kivonás 2964 - 10 = 2954. Az eredmény ugyanaz, nem világos, hogy osztható-e 7-tel, ezért folytatjuk az elemzést. A „4” utolsó számjegyével elemezzük, megduplázzuk, kijön 8. Kivonjuk a 295-öt - 8 = 287. Ellenőrizzük a kétszáznyolcvanhetet - nem osztható 7-tel, ezért folytatjuk a keresést. Hasonlóan megduplázzuk az utolsó „7” számjegyet, így 14 lesz. Vonjuk ki a 28-at - 14 = 14. A 14-et elosztjuk 7-tel, tehát az eredeti számot elosztjuk 7-tel.
A 11-gyel oszthatóság jellemző vonása.
On tizenegy Csak azokat a számokat osztjuk meg, amelyekben a páratlan helyeken elhelyezkedő számjegyek összeadásának eredménye vagy egyenlő a páros helyeken lévő számjegyek összegével, vagy eltér egy tizeneggyel osztható számtól.
Például:
A 103 785 szám osztható 11-gyel, mivel a páratlan helyeken lévő számjegyek összege, 1 + 3 + 8 = 12, egyenlő a páros helyeken lévő számjegyek összegével, 0 + 7 + 5 = 12. A 9 163 627 szám: osztható 11-gyel, mivel a páratlan helyre helyezett számjegyek összege 9 + 6 + 6 + 7 = 28, a páros helyre helyezett számjegyek összege pedig 1 + 3 + 2 = 6; a 28 és 6 számok különbsége 22, és ez a szám osztható 11-gyel. A 461 025 szám nem osztható 11-gyel, mivel a 4 + 1 + 2 = 7 és a 6 + 0 + 5 = 11 számok nem egyenlőek egymással, de a 11 - 7 = 4 különbségük nem osztható 11-gyel.
A 25-tel oszthatóság jellemző vonása.
On huszonöt Azok a számok, amelyek utolsó két számjegye nulla, vagy olyan számot alkotnak, amely osztható huszonöttel (vagyis a 00-ra, 25-re, 50-re vagy 75-re végződő számok) el lesznek osztva. Más esetekben a szám nem osztható teljesen 25-tel.
Például:
9450 osztható 25-tel (50-re végződik); Az 5085 nem osztható 25-tel.
Ez a cikk részletesen tárgyalja 2-vel osztható teszt. Először a megfogalmazását adjuk meg, majd példákat mutatunk be annak meghatározására, hogy mely egészek oszthatók kettővel. Az alábbiakban bemutatjuk a 2-vel osztható teszt bizonyítását. Összefoglalva, olyan alternatív módszereket veszünk figyelembe, amelyek lehetővé teszik bizonyos kifejezések értékeként megadott számok 2-vel való oszthatóságát.
Oldalnavigáció.
Példák a 2-vel való oszthatóságra
A 2-vel oszthatósági teszt megfogalmazása a következő: ha a bejegyzés a 0, 2, 4, 6, 8 számjegyek valamelyikével végződik, akkor ez a szám osztható 2-vel, de ha egy egész szám bevitele az 1, 3, 5 számjegyek valamelyikére végződik, 7 vagy 9, akkor egy ilyen szám nem osztható 2-vel maradék nélkül.
Ne feledje, hogy a 2-vel oszthatóság említett tesztje lehetővé teszi a pozitív egészek () és a negatív egészek ellenőrzését, hogy azok maradék nélkül is oszthatók-e 2-vel.
Most mérlegelhetjük Példák a 2-vel osztható teszt használatára.
Példa.
A megadott 8, −946, 53, 10 900, −988 123 761 számok közül melyek oszthatók 2-vel?
Megoldás.
Természetesen ezeket a számokat eloszthatja 2-vel (például úgy, hogy ), ahonnan láthatja, hogy a szám osztható-e 2-vel maradék nélkül vagy maradékkal. A 2-vel való oszthatóság tesztje azonban lehetővé teszi, hogy sokkal gyorsabban válaszoljon a probléma kérdésére.
Mivel a 8, -946, 10 900 számok 8-ra, 6-ra és 0-ra végződnek, maradék nélkül oszthatók 2-vel. Az 53 és -988 123 761 számok viszont nem oszthatók egyenlően 2-vel, mivel 3-ra, illetve 1-re végződnek.
Válasz:
8, -946 és 10 900 osztható 2-vel, de 53 és -988 123 761 nem osztható 2-vel.
Most mérlegelhetjük a 2-vel való oszthatóság bizonyítása. Az egyszerűség kedvéért újrafogalmazzuk a 2-vel oszthatóság kritériumát, amely a jelen cikk első bekezdésében szerepel, az egész szám 2-vel való oszthatóságának szükséges és elégséges feltételeként, és igazoljuk.
Tétel.
Ahhoz, hogy egy a egész szám osztható legyen 2-vel, szükséges és elegendő, hogy az a szám utolsó számjegye 0, 2, 4, 6 vagy 8 legyen.
Bizonyíték.
Szám a mindig ábrázolható egy egész szám tízes szám és egy egységszám összegeként, azaz a=a 1 10+a 0 formában, ahol a 1 az a számból kapott szám, ha az utolsó számjegy kikerül a jelöléséből, a 0 pedig az a szám jelölésének utolsó számjegyének megfelelő szám (az egyértelműség kedvéért adunk példákat az ilyen ábrázolásokra: 46=4·10+6, 24 328=2 432·10 +8). Az a=a 1 ·10+a 0 egyenlőségben az a 1 ·10 szorzat mindig osztható 2-vel, amit a tétel előtt megmutattunk.
Minden további bizonyítás az oszthatóság következő tulajdonságán alapul: ha a t=u+v egyenlőségben szereplő három egész szám közül kettő osztható valamilyen z egész számmal, akkor a harmadik szám is osztható z-vel.
Ha a osztható 2-vel, akkor a jelzett oszthatósági tulajdonságból és az a=a 1 10+a 0 ábrázolásból következik, hogy a 0 osztható 2-vel, és ez csak akkor lehetséges, ha 0 egyenlő 0, 2, 4, 6 vagy 8. Ha a nem osztható 2-vel, akkor az a 0 szám ismét az oszthatóság jelzett tulajdonsága miatt nem osztható 2-vel (különben a osztható lenne 2-vel), és ez csak akkor lehetséges, ha a 0 egyenlő 1-gyel , 3, 5, 7 vagy 9 . Ez bizonyítja a szükségességet.
Most vissza. Ha az a szám 0, 2, 4, 6 vagy 8 valamelyikre végződik, akkor a 0 osztható 2-vel. Ezért az oszthatóság jelzett tulajdonsága és az a=a 1 10+a 0 ábrázolás miatt arra a következtetésre juthatunk, hogy az a szám osztható 2-vel. Ha egy az 1, 3, 5, 7 vagy 9 számjegyek valamelyikére végződik, akkor a 0 nem osztható 2-vel, így a szintén nem osztható 2-vel. Ellenkező esetben az a=a 1 ·10+a 0 oszthatóság és ábrázolás jelzett tulajdonsága miatt az a 0 szám osztható lenne 2-vel, ami lehetetlen. Ez bizonyítja az elégségességet.
E bekezdés végén megjegyezzük, hogy azok a számok, amelyek bejegyzései 1-re, 3-ra, 5-re, 7-re vagy 9-re végződnek, 2-vel osztva mindig 1-et hagynak hátra.
A 2-vel oszthatóság egyéb esetei
Ebben a bekezdésben azokat az eseteket szeretnénk érinteni, amikor egy egész számot nem közvetlenül, hanem valamilyen érték formájában adunk meg, és meg kell határoznunk, hogy ez a szám osztható-e 2-vel vagy sem. Általában ezekben az esetekben nem segít a 2-vel oszthatóság tesztje, és nem is lehet közvetlen osztást végrehajtani. Ezért más megoldásokat kell keresnünk.
Az ilyen problémák megoldásának egyik megközelítése az oszthatóság következő tulajdonságát javasolja: ha az egész számok szorzatának legalább egy tényezője osztható egy adott számmal, akkor az egész szorzat osztható ezzel a számmal. Ha tehát az eredeti szó szerinti kifejezést több tényező szorzataként mutatjuk be, amelyek közül az egyik osztható 2-vel, akkor ez bizonyítja az eredeti 2 szám oszthatóságát.
Az eredeti kifejezés több tényező eredményeként való bemutatása néha segít. Nézzük a példamegoldást.
Példa.
Valamely természetes számon számított kifejezés értéke osztható 2-vel?
Megoldás.
Az egyenlőség nyilvánvaló. Most használjuk Newton binomiális képletét, majd egyszerűsítsük az eredményül kapott kifejezést: 
Az utolsó kifejezésben kivehetünk 2-t a zárójelekből, és ennek eredményeként megkapjuk az egyenlőséget. Bármely n természetes szám esetén a jobb oldala osztható 2-vel, mivel 2-es tényezőt tartalmaz, ezért az egyenlőség bal oldala is osztható 2-vel.
Válasz:
Igen, megosztja.
Sok esetben a 2-vel való oszthatóság bizonyítására szolgál. Vegyük az előző példa kifejezését, és bizonyítsuk matematikai indukcióval, hogy bármely természetes n értéke osztható 2-vel.
Példa.
Bizonyítsuk be, hogy bármely n természetes szám kifejezésének értéke osztható 2-vel.
Megoldás.
Használjuk a matematikai indukció módszerét.
Először is mutassuk meg, hogy a kifejezés értéke osztható 2-vel, ha n=1. megvan 
, és a 6 nyilvánvalóan osztható 2-vel.
Másodszor, tegyük fel, hogy a kifejezés értéke osztható 2-vel, ha n=k, azaz - osztva 2-vel.
Harmadszor, a 2-vel osztható alapján bebizonyítjuk, hogy a kifejezés értéke osztható 2-vel, ha n=k+1. Vagyis ezt be fogjuk bizonyítani 
osztható 2-vel, mivel osztható 2-vel.
Ehhez a következő átalakításokat hajtjuk végre: . Kifejezés 
osztható 2-vel, mivel osztható 2-vel, a kifejezés osztható 2-vel is, mivel 2-es tényezőt tartalmaz, ezért az oszthatósági tulajdonságok miatt ezen kifejezések különbsége is osztható 2-vel.
Ez bizonyítja, hogy bármely n természetes szám esetén a kifejezés értéke osztható 2-vel.
Külön meg kell mondani, hogy ha egy szorzat két egymást követő számot tartalmaz -ben, akkor egy ilyen szorzat osztható 2-vel. Például az (n+7)·(n−1)·(n+2)·(n+6) alakú egész számok szorzata bármely n természetes számra osztható 2-vel, mivel két egymást követő számot tartalmaz a természetes számsorok (az n+6 és az n+7 számok), és ezek egyike szükségszerűen osztható 2-vel bármely n természetes szám esetén.
Hasonlóképpen, ha egy szorzat két olyan tényezőt tartalmaz, amelyek között a természetes sorozat páros számú tagja van, akkor egy ilyen szorzat osztható 2-vel. Például az (n+1)·(n+6) kifejezés értékét bármely n természetes számra elosztjuk 2-vel, mivel az n+1 és n+6 természetes számok között páros számú szám van: n +2, n+3, n+4 és n+5.
Foglaljuk össze az előző két bekezdésből származó információkat. Ha megmutatja, hogy valamely kifejezés értéke osztható 2-vel, ha vagy n+3 szükségszerűen osztható 2-vel, akkor az (n+2) 2 ·(n+3) szorzat osztható 2-vel, ezért a Az eredeti kifejezés osztható 2-vel.
Adjunk egy szigorúbb bizonyítékot.
at n=2·m van . Ez a kifejezés osztható 2-vel, mert tartalmaz egy 4-es tényezőt, amely osztható 2-vel.
at n=2·m+1 van . A kapott terméket elosztjuk 2-vel, mivel 2-es tényezőt tartalmaz.
Ez azt bizonyítja n3 +7 n2 +16 n+12=(n+2)2 (n+3) bármely n természetes számra osztható 2-vel.
Hivatkozások.
- Vilenkin N.Ya. és a matematika. 6. évfolyam: tankönyv általános oktatási intézmények számára.
- Vinogradov I.M. A számelmélet alapjai.
- Mikhelovich Sh.H. Számelmélet.
- Kulikov L.Ya. és egyebek Algebrai és számelméleti feladatgyűjtemény: Tankönyv fizika és matematika szakos hallgatóknak. pedagógiai intézetek szakterületei.
