Egész számok és racionális számok. Valós számok. Egész számok: általános elképzelés Milyen számokat nevezünk egész számok szabályának

TO egész számok tartalmazzák a természetes számokat, a nullát és a természetes számokkal ellentétes számokat.

Természetes számok pozitív egész számok.

Például: 1, 3, 7, 19, 23 stb. Ilyen számokat használunk a számoláshoz (5 alma van az asztalon, egy autónak 4 kereke van, stb.)

Latin betű \mathbb(N) - jelölve természetes számok halmaza.

A természetes számok nem tartalmazhatnak negatív számokat (egy széknek nem lehet negatív lábaszáma) és törtszámokat (Iván nem tudott eladni 3,5 kerékpárt).

A természetes számok ellentéte a negatív egész számok: −8, −148, −981, ….

Aritmetikai műveletek egész számokkal

Mit lehet csinálni egész számokkal? Egymásból szorozhatók, összeadhatók és kivonhatók. Nézzünk meg minden műveletet egy konkrét példa segítségével.

Egész számok összeadása

Két azonos előjelű egész szám összeadódik a következőképpen: ezeknek a számoknak a moduljait összeadjuk, és a kapott összeget egy végjel előzi meg:

(+11) + (+9) = +20

Egész számok kivonása

Két különböző előjelű egész számot adunk hozzá a következőképpen: a nagyobb szám modulusából kivonjuk a kisebb modulusát, és a kapott válasz elé a nagyobb modulusszám előjelét helyezzük:

(-7) + (+8) = +1

Egész számok szorzása

Egy egész szám egy másikkal való szorzásához meg kell szoroznia ezeknek a számoknak a modulusait, és a kapott válasz elé egy „+” jelet kell tenni, ha az eredeti számok előjele megegyezett, és egy „-” jelet, ha az eredeti számok eltérőek voltak. jelek:

(-5)\cdot (+3) = -15

(-3)\cdot (-4) = +12

A következőket kell emlékezni szabály az egész számok szorzására:

+ \cdot + = +

+ \cdot - = -

- \cdot + = -

- \cdot - = +

Van egy szabály több egész szám szorzására. Emlékezzünk rá:

A szorzat előjele „+” lesz, ha a negatív előjelű tényezők száma páros, és „−”, ha a negatív előjelű tényezők száma páratlan.

(-5) \cdot (-4) \cdot (+1) \cdot (+6) \cdot (+1) = +120

Egész osztás

Két egész szám felosztása a következőképpen történik: az egyik szám modulusát elosztjuk a másik modulusával, és ha a számok előjele megegyezik, akkor a „+” jel kerül a kapott hányados elé. , és ha az eredeti számok előjele eltérő, akkor a „−” jel kerül elhelyezésre.

(-25) : (+5) = -5

Egész számok összeadásának és szorzásának tulajdonságai

Nézzük meg az összeadás és szorzás alapvető tulajdonságait tetszőleges a, b és c egész számokra:

1. a + b = b + a - összeadás kommutatív tulajdonsága;
2. (a + b) + c = a + (b + c) - az összeadás kombinatív tulajdonsága;
3. a \cdot b = b \cdot a - a szorzás kommutatív tulajdonsága;
4. (a \cdot c) \cdot b = a \cdot (b \cdot c)- a szorzás asszociatív tulajdonságai;
5. a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b + a \cdot c- a szorzás elosztó tulajdonsága.

Ha egy természetes számsor bal oldalához hozzáadjuk a 0-t, akkor azt kapjuk pozitív egész számok sorozata:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Negatív egész számok

Nézzünk egy kis példát. A bal oldali képen egy hőmérő látható, amely 7 °C-os hőmérsékletet mutat. Ha a hőmérséklet 4 °C-kal csökken, a hőmérő 3 °C-ot mutat. A hőmérséklet csökkenése megfelel a kivonás műveletének:

Megjegyzés: minden fokot C (Celsius) betűvel írunk, a fokjelet szóköz választja el a számtól. Például 7 °C.

Ha a hőmérséklet 7 °C-kal csökken, a hőmérő 0 °C-ot mutat. A hőmérséklet csökkenése megfelel a kivonás műveletének:

Ha a hőmérséklet 8 °C-kal csökken, a hőmérő -1 °C-ot (1 °C nulla alatt) mutat. De a 7-8 kivonás eredménye nem írható fel természetes számokkal és nullával.

Szemléltessük a kivonást pozitív egész számok sorozatával:

1) A 7-es számból számolj 4 balra lévő számot, és kapj 3-at:

2) A 7-es számból számoljon 7 számot balra, és kapjon 0-t:

Lehetetlen 8 számot megszámolni a 7-től balra egy pozitív egész sorozatban. A 7–8. műveletek megvalósíthatósága érdekében kibővítjük a pozitív egész számok tartományát. Ehhez a nullától balra írjuk (jobbról balra) az összes természetes számot, mindegyikhez hozzáadva a - jelet, jelezve, hogy ez a szám a nullától balra van.

A -1, -2, -3, ... bejegyzések mínusz 1, mínusz 2, mínusz 3 stb.

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Az így kapott számsort nevezzük egész számok sorozata. Ebben a bejegyzésben a bal és jobb oldali pontok azt jelentik, hogy a sorozat korlátlanul folytatható jobbra és balra.

Ebben a sorban a 0-tól jobbra a hívott számok találhatók természetes vagy pozitív egész számok(röviden- pozitív).

Ebben a sorban a 0-tól balra a hívott számok találhatók egész szám negatív(röviden- negatív).

A 0 egy egész szám, de nem pozitív és nem negatív szám. Elválasztja a pozitív és negatív számokat.

Ezért, az egész számok sorozata negatív egész számokból, nullából és pozitív egész számokból áll.

Egész számok összehasonlítása

Hasonlíts össze két egész számot- azt jelenti, hogy megtudjuk, melyik a nagyobb, melyik a kisebb, vagy meghatározzuk, hogy a számok egyenlőek-e.

Az egész számokat egész számsor segítségével hasonlíthatja össze, mivel a benne lévő számok a legkisebbtől a legnagyobbig rendeződnek, ha balról jobbra halad a sorban. Ezért egész számok sorozatában a vesszőket kisebb jellel helyettesítheti:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Ezért, két egész szám közül a nagyobb a sorozat jobb oldalán lévő szám, és minél kisebb az, amelyik balra van, Jelentése:

1) Bármely pozitív szám nagyobb nullánál és nagyobb bármely negatív számnál:

1 > 0; 15 > -16

2) Bármilyen nullánál kisebb negatív szám:

7 < 0; -357 < 0

3) Két negatív szám közül az, amelyik az egész számok sorozatából jobbra van, nagyobb.

Ezeket a számokat használjuk a számolásnál: 1, 2, 3... stb.

A nulla nem természetes.

A természetes számokat általában szimbólummal jelöljük N.

Egész számok. Pozitív és negatív számok

Két olyan számot hívunk, amelyek csak előjelben különböznek egymástól szemben, például +1 és -1, +5 és -5. A "+" jelet általában nem írják, de feltételezik, hogy a szám előtt "+" van. Az ilyen számokat hívják pozitív. A "-" jel előtti számokat hívják negatív.

A természetes számokat, ellentéteiket és nullát egész számoknak nevezzük. Az egész számok halmazát a szimbólum jelöli Z.

Racionális számok

Ezek véges törtek és végtelen periodikus törtek. Például,

A racionális számok halmazát jelöljük K. Minden egész szám racionális.

Irracionális számok

A végtelen, nem periodikus törtet irracionális számnak nevezzük. Például:

Az irracionális számok halmazát jelöljük J.

Valós számok

Az összes racionális és minden irracionális szám halmazát nevezzük valódi (valódi) halmaza számok.

A valós számokat a szimbólum jelöli R.

Számok kerekítése

Vegye figyelembe a számot 8,759123... . A legközelebbi egész számra kerekítés azt jelenti, hogy a számnak csak a tizedesvessző előtti részét írjuk le. A tizedekre kerekítés azt jelenti, hogy az egész részt és egy számjegyet a tizedesvessző után írunk le; kerekítés a legközelebbi századra - két számjegy a tizedesvessző után; ezredrészig - három számjegy stb.

A természetes számok azok a számok, amelyekkel minden kezdődött. És ma ezek az első számok, amelyekkel az ember találkozik életében, amikor gyermekkorában megtanul számolni az ujjain vagy a számlálóbotokon.

Meghatározás: A természetes számok olyan számok, amelyeket az objektumok számlálására használnak (1, 2, 3, 4, 5, ...) [A 0 nem természetes. Külön története van a matematika történetében, és sokkal később jelent meg, mint a természetes számok.]

A természetes számok halmazát (1, 2, 3, 4, 5, ...) N betűvel jelöljük.

Egész számok

Miután megtanultunk számolni, a következő lépés az, hogy megtanulunk számtani műveleteket végrehajtani. Általában az összeadást és a kivonást tanítják először (számlálópálcák segítségével).

Az összeadásnál minden világos: tetszőleges két természetes szám összeadásával mindig ugyanaz a természetes szám lesz az eredmény. De a kivonás során rájövünk, hogy nem tudjuk kivonni a nagyobbat a kisebbből úgy, hogy az eredmény természetes szám legyen. (3 − 5 = mi?) Itt jön képbe a negatív számok gondolata. (A negatív számok már nem természetes számok)

A negatív számok előfordulásának szakaszában (és később jelentek meg, mint a töredékesek) ott voltak az ellenfeleik is, akik ostobaságnak tartották őket. (Három tárgy mutatható az ujjadon, tíz, ezer tárgy ábrázolható hasonlattal. És mi az a „mínusz három zacskó”? - Akkoriban a számokat már önmagukban használták, elszigetelve a konkréttól tárgyak, amelyek számát jelölik, még mindig sokkal közelebb jártak ezekhez a konkrét témákhoz, mint manapság.) De az ellenvetésekhez hasonlóan a negatív számok melletti fő érv a gyakorlatból származott: a negatív számok kényelmesen lehetővé tették a adósságokat számolni. 3 − 5 = −2 - 3 érmém volt, 5-öt elköltöttem. Ez azt jelenti, hogy nem csak az érméim fogytak el, hanem tartoztam is valakinek 2 érmével. Ha egyet adok vissza, akkor a tartozás −2+1=−1 változik, de negatív számmal is ábrázolható.

Ennek eredményeként negatív számok jelentek meg a matematikában, és most végtelen sok természetes szám van (1, 2, 3, 4, ...) és ugyanannyi az ellentétük (−1, −2, −). 3, -4 , ...). Adjunk hozzá még egy 0-t, és ezeknek a számoknak a halmazát egész számoknak nevezzük.

Meghatározás: A természetes számok, ellentéteik és nulla alkotják az egész számok halmazát. Z betűvel van jelölve.

Bármely két egész szám kivonható egymásból vagy összeadható, hogy egész számot kapjunk.

Az egész számok összeadásának ötlete már a szorzás lehetőségét sugallja, mint az összeadás egyszerűbb módját. Ha van 7 darab, egyenként 6 kilogrammos zacskónk, hozzáadhatunk 6+6+6+6+6+6+6-ot (hétszer adjunk hozzá 6-ot az aktuális végösszeghez), vagy egyszerűen emlékezzünk arra, hogy egy ilyen művelet mindig 42. Csakúgy, mint hat hetes összeadásakor, a 7+7+7+7+7+7 is mindig 42-t ad.

Az összeadási művelet eredményei bizonyos számokat önmagaddal bizonyos a 2-től 9-ig terjedő összes számpár kiírásának száma és a szorzótábla elkészítése. A 9-nél nagyobb egész számok szorzásához kitalálták az oszlopszorzási szabályt. (Ami a tizedes törtekre is vonatkozik, és erről a következő cikkek egyikében lesz szó.) Ha két egész számot megszorozunk egymással, az eredmény mindig egész szám lesz.

Racionális számok

Most megosztás. Ahogy a kivonás az összeadás inverz művelete, úgy jutunk el az osztás gondolatához, mint a szorzás fordított műveletéhez.

Amikor 7 db 6 kilogrammos zacskónk volt, szorzással könnyen kiszámoltuk, hogy a zacskók tartalmának össztömege 42 kilogramm volt. Képzeljük el, hogy az összes zacskó teljes tartalmát egy közös, 42 kilogramm tömegű kupacba öntöttük. Aztán meggondolták magukat, és vissza akarták osztani a tartalmat 7 zacskóba. Hány kilogramm kerül egy zacskóba, ha egyenlően osztjuk el? - Nyilvánvalóan 6.

Mi van, ha 42 kilogrammot akarunk elosztani 6 zsákba? Itt azt fogjuk gondolni, hogy ugyanannyi összesen 42 kilogrammot lehetne kapni, ha 6 zsák 7 kilogrammot öntünk egy kupacba. Ez pedig azt jelenti, hogy 42 kilogrammot 6 zsákra egyenlően elosztva 7 kilogrammot kapunk egy zsákba.

Mi van, ha 42 kilogrammot egyenlően osztasz 3 zsákra? És itt is elkezdünk kiválasztani egy számot, amelyet 3-mal megszorozva 42-t adunk. A „táblázatos” értékeknél, mint például a 6 · 7 = 42 => 42: 6 = 7 esetén, elvégezzük az osztást. művelet egyszerűen a szorzótábla előhívásával. Bonyolultabb esetekben az oszlopfelosztást használják, amelyről a következő cikkek egyikében lesz szó. 3 és 42 esetén „kiválaszthatja”, hogy ne feledje, hogy 3 · 14 = 42. Ez 42:3 = 14-et jelent. Egy zsák 14 kilogrammot tartalmaz.

Most próbáljunk meg 42 kilogrammot egyenlően elosztani 5 zsákra. 42:5=?
Észrevesszük, hogy 5 · 8 = 40 (kevés), és 5 · 9 = 45 (sok). Vagyis 5 zsákból nem kapunk 42 kilogrammot, se 8 kilogrammot zacskóban, se 9 kilogrammot. Ugyanakkor világos, hogy a valóságban semmi sem akadályoz meg bennünket abban, hogy bármilyen mennyiséget (például gabonaféléket) 5 egyenlő részre osszunk.

Az egész számok egymással való elosztásának művelete nem feltétlenül eredményez egész számot. Így jutottunk el a törtek fogalmához. 42:5 = 42/5 = 8 egész 2/5 (ha közönséges törtekben számoljuk) vagy 42:5 = 8,4 (ha tizedes törtben számoljuk).

Közös és tizedes törtek

Azt mondhatjuk, hogy bármely m/n közönséges tört (m tetszőleges egész szám, n bármilyen természetes szám) egyszerűen az m szám n számmal való elosztásának eredményének egy speciális formája. (m a tört számlálója, n a nevező) Ha például a 25-öt elosztjuk az 5-tel, akkor a 25/5 közönséges törtként is felírhatjuk. De ez nem szükséges, mivel a 25-öt 5-tel osztva egyszerűen felírható egész szám 5. (És 25/5 = 5). De a 25-ös szám 3-mal való osztásának eredménye már nem ábrázolható egész számként, ezért itt felmerül az igény, hogy tört, 25:3 = 25/3 legyen. (A teljes részt megkülönböztetheti 25/3 = 8 egész 1/3. A közönséges törtekről és a közönséges törtekkel végzett műveletekről a következő cikkekben lesz részletesebben szó.)

A közönséges törtekben az a jó, hogy bármely két egész szám osztásának eredményét ilyen törtként ábrázoljuk, csak az osztalékot kell a tört számlálójába, az osztót pedig a nevezőbe írni. (123:11=123/11, 67:89=67/89, 127:53=127/53, ...) Ezután lehetőség szerint csökkentse a törtet és/vagy emelje ki a teljes részt (ezek a műveletek közönséges törtekkel részletesen a következő cikkekben lesz szó). A probléma az, hogy az aritmetikai műveletek (összeadás, kivonás) végrehajtása közönséges törtekkel már nem olyan kényelmes, mint egész számokkal.

Az írás (egy sorban) és a számítások kényelme érdekében (az oszlopban történő számítás lehetőségével, mint a közönséges egészeknél) a közönséges törtek mellett a tizedes törteket is feltalálták. A tizedes tört egy speciálisan felírt közönséges tört, amelynek nevezője 10, 100, 1000 stb. Például a 7/10 közönséges tört megegyezik a 0,7 tizedes törttel. (8/100 = 0,08; 2 egész 3/10 = 2,3; 7 egész 1/1000 = 7 001). Külön cikket fogunk szentelni a közönséges törtek tizedesjegyekké alakításának és fordítva. Műveletek tizedes törtekkel - egyéb cikkek.

Bármely egész szám ábrázolható közös törtként 1-es nevezővel (5=5/1; −765=−765/1).

Meghatározás: Minden olyan számot, amely törtként ábrázolható, racionális számnak nevezzük. A racionális számok halmazát Q betűvel jelöljük.

Ha két egész számot elosztunk egymással (kivéve 0-val), az eredmény mindig racionális szám lesz. A közönséges törtek esetében vannak az összeadásra, kivonásra, szorzásra és osztásra vonatkozó szabályok, amelyek lehetővé teszik, hogy bármelyik két törttel elvégezzük a megfelelő műveletet, és ennek eredményeként racionális számot (tört vagy egész) kapjunk.

A racionális számok halmaza az általunk vizsgált halmazok közül az első, amelyben összeadhat, kivonhat, szorozhat és oszthat (kivéve a 0-val való osztást), soha nem lépve túl ennek a halmaznak a határain (vagyis mindig kaphat racionális számot). szám eredményeként) .

Úgy tűnik, hogy nincs más szám, minden szám racionális. De ez sem igaz.

Valós számok

Vannak számok, amelyeket nem lehet m/n törtként ábrázolni (ahol m egész szám, n természetes szám).

Mik ezek a számok? A hatványozás műveletét még nem vettük figyelembe. Például 4 2 =4 ·4 = 16. 5 3 =5 ·5 ·5=125. Ahogyan a szorzás az összeadás írásának és kiszámításának kényelmesebb formája, úgy a hatványozás is annak a formája, hogy ugyanazt a számot bizonyos számú alkalommal önmagával szorozzuk.

De most nézzük meg a hatványra emelés fordított műveletét – a gyökér kinyerését. A 16 négyzetgyöke egy olyan szám, amely négyzetre vetve 16-ot, azaz 4-et ad. 9 négyzetgyöke 3. De például 5 vagy 2 négyzetgyöke nem ábrázolható racionális számmal. (Ennek az állításnak a bizonyítéka, más példák az irracionális számokra és azok történetére megtalálhatók például a Wikipédián)

A 9. osztályos GIA-ban van egy feladat annak eldöntésére, hogy a jelölésében gyököt tartalmazó szám racionális vagy irracionális-e. A feladat az, hogy ezt a számot próbáljuk meg olyan formává alakítani, amely nem tartalmaz gyökért (a gyökök tulajdonságait felhasználva). Ha nem tudsz megszabadulni a gyökértől, akkor a szám irracionális.

Egy másik példa az irracionális számra a π szám, amely mindenki számára ismerős a geometriából és a trigonometriából.

Meghatározás: A racionális és irracionális számokat együtt valós (vagy valós) számoknak nevezzük. Az összes valós szám halmazát R betű jelöli.

Valós számokban a racionális számokkal szemben egy egyenes vagy sík tetszőleges két pontja közötti távolságot kifejezhetjük.
Ha húzunk egy egyenest, és kijelölünk rajta két tetszőleges pontot, vagy kiválasztunk két tetszőleges pontot egy síkon, akkor kiderülhet, hogy a pontok közötti pontos távolság nem fejezhető ki racionális számként. (Példa - az 1-es és 1-es szárú derékszögű háromszög befogója a Pitagorasz-tétel szerint egyenlő lesz kettő gyökével - azaz egy irracionális szám. Ez magában foglalja a tetrad cella átlójának pontos hosszát is (bármely ideális négyzet átlójának hossza integrált oldalakkal).
A valós számok halmazában pedig bármely egyenesen, síkban vagy térben lévő távolság kifejezhető a megfelelő valós számmal.