Számok. Egész számok. Egész számok tulajdonságai. Számok: természetes, egész, racionális, valós. Törtek és tizedesjegyek egész szám ikon

1) Azonnal osztom, mivel mindkét szám 100%-ban osztható:

2) Osztom a fennmaradó nagy számokkal (és), mivel ezek maradék nélkül oszthatók (ugyanakkor nem bontom - ez már közös osztó):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) Elmegyek egyedül, és elkezdem nézni a számokat és. Mindkét szám pontosan osztható vele (vége páros számjegyekkel (ebben az esetben elképzeljük, hogyan, vagy osztható vele)):

4) Számokkal dolgozunk és. Vannak közös osztóik? Ez nem olyan egyszerű, mint az előző lépésekben, ezért egyszerűen lebontjuk őket egyszerű tényezőkre:

5) Amint látjuk, igazunk volt: és nincs közös osztójuk, és most szoroznunk kell.
GCD

2. feladat. Keresse meg a 345 és 324 számok gcd-jét

Itt nem találok gyorsan legalább egy közös osztót, ezért csak prímtényezőkre bontom (a lehető legkisebbre):

Pontosan, gcd, de eleinte nem ellenőriztem a vele való oszthatóság próbáját, és talán nem is kellett volna annyi műveletet végeznem.

De ellenőrizted, igaz?

Amint látja, egyáltalán nem nehéz.

Least common multiple (LCM) - időt takarít meg, segít megoldani a problémákat nem szabványos módon

Tegyük fel, hogy két számod van – és. Mi a legkisebb szám, amivel osztható nyom nélkül(vagyis teljesen)? Nehéz elképzelni? Íme egy vizuális tipp az Ön számára:

Emlékszel, mit jelent a betű? Így van, csak egész számok. Tehát mi az a legkisebb szám, amelyik elfér x helyére? :

Ebben az esetben.

Ebből az egyszerű példából több szabály is kirajzolódik.

Szabályok a NOC-ok gyors megtalálásához

1. szabály: Ha két természetes szám közül az egyik osztható egy másik számmal, akkor a két szám közül a nagyobb a legkisebb közös többszörösük.

Keresse meg a következő számokat:

• NOC (7;21)
• NOC (6;12)
• NOC (5;15)
• NOC (3;33)

Természetesen nehézség nélkül megbirkózott ezzel a feladattal, és megkapta a válaszokat - , és.

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a szabályban KÉT számról beszélünk, ha több szám van, akkor a szabály nem működik.

Például az LCM (7;14;21) nem egyenlő 21-gyel, mivel nem osztható vele.

2. szabály: Ha két (vagy kettőnél több) szám másodprím, akkor a legkisebb közös többszörös egyenlő a szorzatukkal.

Lelet NOC a következő számokat:

• NOC (1;3;7)
• NOC (3;7;11)
• NOC (2;3;7)
• NOC (3;5;2)

számoltál? Íme a válaszok - , ; .

Amint érti, nem mindig lehet ilyen könnyen felvenni ugyanazt az x-et, ezért valamivel összetettebb számokhoz a következő algoritmus létezik:

Gyakoroljunk?

Keressük meg a legkisebb közös többszöröst - LCM (345; 234)

Bontsuk fel az egyes számokat:

Miért írtam rögtön?

Emlékezz az oszthatóság jeleire: osztható vele (az utolsó számjegy páros) és a számjegyek összege osztható vele.

Ennek megfelelően azonnal oszthatjuk vele, így írva.

Most felírjuk a leghosszabb lebontást egy sorra - a másodikra:

Adjuk hozzá az első bővítésből származó számokat, amelyek nem szerepelnek abban, amit kiírtunk:

Megjegyzés: mindent kiírtunk, kivéve, mert már megvan.

Most meg kell szoroznunk ezeket a számokat!

Keresse meg saját maga a legkisebb közös többszöröst (LCM).

Milyen válaszokat kaptál?

Íme, amit kaptam:

Mennyi időt töltött a kereséssel NOC? Az időm 2 perc, tényleg tudom egy trükk, amelyet javaslok, hogy azonnal nyissa meg!

Ha nagyon figyelmes vagy, akkor valószínűleg észrevetted, hogy már megkerestük a megadott számokat GCDés átvehetnéd ezeknek a számoknak a faktorizálását abból a példából, leegyszerűsítve ezzel a feladatot, de ez még nem minden.

Nézd meg a képet, hátha más gondolatok is eszedbe jutnak:

Jól? Adok egy tippet: próbáld meg szorozni NOCÉs GCD egymás között, és írják fel a szorzáskor megjelenő összes tényezőt. Sikerült? A végén egy ilyen láncot kell készítenie:

Nézze meg közelebbről: hasonlítsa össze a szorzót a hogyan és az elrendezéssel.

Milyen következtetést vonhatsz le ebből? Jobbra! Ha az értékeket megszorozzuk NOCÉs GCD egymás között, akkor ezeknek a számoknak a szorzatát kapjuk.

Ennek megfelelően számokkal és jelentéssel bír GCD(vagy NOC), megtalálhatjuk NOC(vagy GCD) e rendszer szerint:

1. Keresse meg a számok szorzatát:

2. A kapott szorzatot elosztjuk a miénkkel GCD (6240; 6800) = 80:

Ez minden.

Írjuk fel a szabályt általános formában:

Próbáld megtalálni GCD, ha ismert, hogy:

Sikerült? .

A negatív számok „hamis számok”, és az emberiség felismeri őket.

Amint már megérti, ezek a számok ellentétesek a természetesekkel, azaz:

Úgy tűnik, mi olyan különleges bennük?

De tény, hogy a negatív számok egészen a 19. századig „elnyerték” méltó helyüket a matematikában (addig a pillanatig hatalmas vita folyt arról, hogy léteznek-e vagy sem).

Maga a negatív szám a természetes számokkal végzett „kivonás” művelet miatt keletkezett.

Valóban, vonj le belőle, és kapsz egy negatív számot. Ezért gyakran nevezik a negatív számok halmazát "a természetes számok halmazának bővítése".

A negatív számokat sokáig nem ismerték fel az emberek.

Így az ókori Egyiptom, Babilon és az ókori Görögország - koruk fényei - nem ismerte fel a negatív számokat, és az egyenletben szereplő negatív gyökök esetén (például, mint a miénk), a gyökereket lehetetlennek minősítették.

A negatív számok először Kínában, majd a 7. században Indiában nyertek létjogosultságot.

Ön szerint mi az oka ennek az elismerésnek?

Így van, negatív számok kezdtek jelölni adósságok (egyébként - hiány).

Úgy gondolták, hogy a negatív számok átmeneti érték, ami ennek eredményeként pozitívra változik (azaz a pénz továbbra is visszakerül a hitelezőhöz). Brahmagupta indiai matematikus azonban már a negatív számokat is egyenlő alapon vette figyelembe a pozitívakkal.

Európában jóval később, talán egy évezreddel fedezték fel a negatív számok hasznosságát, valamint azt, hogy adósságokat jelölhetnek.

Az első említésre 1202-ben figyeltek fel Pisai Leonárd „Abacus könyvében” (azonnal leszögezem, hogy a könyv szerzőjének semmi köze a pisai ferde toronyhoz, de a Fibonacci-számok az ő munkái ( Pisai Leonardo beceneve Fibonacci)).

Tehát a 17. században Pascal ezt hitte.

Szerinted mivel indokolta ezt?

Igaz, „semmi sem lehet kevesebb, mint a SEMMI”.

Ezeknek az időknek a visszhangja marad az a tény, hogy a negatív számot és a kivonási műveletet ugyanaz a szimbólum jelöli - a mínusz „-”. És az igazság: . A „ ” szám pozitív, amelyet kivonunk, vagy negatív, amelyhez összegezzük?... Valami a „mi előbb: a tyúk vagy a tojás?” sorozatból? Ez egy olyan sajátos matematikai filozófia.

A negatív számok az analitikus geometria megjelenésével biztosították létjogosultságukat, más szóval, amikor a matematikusok bevezették a számtengely fogalmát.

Ettől a pillanattól kezdve jött az egyenlőség. Azonban továbbra is több volt a kérdés, mint a válasz, például:

arány

Ezt az arányt „Arnaud-paradoxonnak” nevezik. Gondolj bele, mi ebben a kétséges?

Vitatkozzunk együtt, a "" több mint a "" igaz? Így a logika szerint az arány bal oldalának nagyobbnak kell lennie, mint a jobbnak, de egyenlők... Ez a paradoxon.

Ennek eredményeként a matematikusok egyetértettek abban, hogy Karl Gauss (igen, igen, ez ugyanaz, aki az összeget (vagy) számokat számolta ki) 1831-ben véget vetett ennek.

Azt mondta, hogy a negatív számoknak ugyanazok a jogai, mint a pozitívaknak, és az, hogy nem mindenre vonatkoznak, nem jelent semmit, hiszen a törtek sem vonatkoznak sok mindenre (nem történik meg, hogy egy ásó kátyút ásjon, nem lehet mozijegyet venni stb.).

A matematikusok csak a 19. században nyugszanak meg, amikor William Hamilton és Hermann Grassmann megalkotta a negatív számok elméletét.

Annyira ellentmondásosak, ezek a negatív számok.

Az „üresség” megjelenése, vagy a nulla életrajza.

A matematikában ez egy speciális szám.

Első pillantásra ez semmi: összeadás vagy kivonás - semmi sem fog változni, de csak hozzá kell adnia a jobb oldalhoz a „ ”-hez, és a kapott szám többszöröse lesz, mint az eredeti.

A nullával való szorzással mindent semmivé változtatunk, a „semmivel” osztva viszont nem. Egyszóval a mágikus szám)

A nulla története hosszú és bonyolult.

A nulla nyomát találták a kínaiak írásaiban a Kr.u. 2. évezredben. és még korábban a maják között. A nulla szimbólum első használatát, ahogyan ma is, a görög csillagászok körében tapasztalták.

Számos változata létezik annak, hogy miért ezt a „semmi” megjelölést választották.

Egyes történészek hajlamosak azt hinni, hogy ez egy omikron, i.e. A semmit jelző görög szó első betűje az ouden. Egy másik változat szerint az „obol” szó (szinte értéktelen érme) adott életet a nulla szimbólumnak.

A nulla (vagy nulla) mint matematikai szimbólum először az indiánok körében jelenik meg(megjegyzendő, hogy a negatív számok ott kezdtek „fejlődni”).

A nulla rögzítésének első megbízható bizonyítéka 876-ból származik, és bennük a „ ” a szám összetevője.

A nulla is későn - csak 1600-ban - érkezett Európába, és a negatív számokhoz hasonlóan ellenállásba ütközött (mit tehetsz, ilyenek az európaiak).

„Zero-t gyakran utálják, régóta féltjük, vagy akár be is tiltják.”- írja Charles Safe amerikai matematikus.

Így Abdul Hamid török ​​szultán a 19. század végén II. megparancsolta a cenzorainak, hogy töröljék ki a víz H2O képletét az összes kémia tankönyvből, az „O” betűt nullának véve, és nem akarták, hogy kezdőbetűit hiteltelenné tegye a megvetett nulla közelsége.

Az interneten megtalálható a következő mondat: „A nulla a legerősebb erő az Univerzumban, bármire képes! A nulla rendet teremt a matematikában, és káoszt is hoz benne.” Teljesen korrekt szempont :)

A szakasz összefoglalása és az alapképletek

Az egész számok halmaza 3 részből áll:

• természetes számok (az alábbiakban részletesebben megvizsgáljuk őket);
• a természetes számokkal ellentétes számok;
• nulla - " "

Az egész számok halmazát jelöljük Z betű.

1. Természetes számok

A természetes számok olyan számok, amelyeket az objektumok megszámlálására használunk.

A természetes számok halmazát jelöljük N betű.

Az egész számokkal végzett műveleteknél meg kell találnia a GCD-t és az LCM-et.

Legnagyobb közös osztó (GCD)

A GCD megtalálásához a következőket kell tennie:

1. Bontsa fel a számokat prímtényezőkre (azokra a számokra, amelyek mással nem oszthatók, csak önmagukkal, vagy például másokkal stb.).
2. Írja le azokat a tényezőket, amelyek mindkét szám részét képezik!
3. Szaporítsd meg őket.

Legkevésbé közös többszörös (LCM)

A NOC megtalálásához szüksége lesz:

1. Oszd fel a számokat prímtényezőkre (ezt már nagyon jól tudod).
2. Írja le az egyik szám bővítésében szereplő tényezőket (jobb a leghosszabb láncot venni).
3. Adjuk hozzá a hiányzó tényezőket a fennmaradó számok bővítéséből.
4. Keresse meg a kapott tényezők szorzatát!

2. Negatív számok

Ezek a természetes számokkal ellentétes számok, azaz:

most hallani akarlak...

Remélem, értékelted az ebben a részben található rendkívül hasznos „trükköket”, és megértetted, hogyan segítenek a vizsgán.

És ami még fontosabb - az életben. Nem beszélek róla, de hidd el, ez igaz. A gyors és hibamentes számolás képessége sok élethelyzetben megmenti Önt.

Most rajtad a sor!

Írj, használsz majd csoportosítási módszereket, oszthatósági teszteket, GCD-t és LCM-et a számításoknál?

Esetleg használtad már őket? Hol és hogyan?

Talán kérdései vannak. Vagy javaslatokat.

Írd meg kommentben, hogy tetszett a cikk.

És sok sikert a vizsgákhoz!

Egész számok - ezek természetes számok, valamint ellentétük és nulla.

Egész számok— a természetes számok halmazának bővítése N, amelyet úgy kapunk, hogy hozzáadjuk N 0 és negatív számok, mint a − n. Az egész számok halmaza jelöli Z.

Az egész számok összege, különbsége és szorzata ismét egész számokat ad, i.e. egész számok gyűrűt alkotnak az összeadás és szorzás műveleteihez képest.

Egész számok a számegyenesen:

Hány egész szám? Hány egész szám? Nincs legnagyobb és legkisebb egész szám. Ez a sorozat végtelen. A legnagyobb és a legkisebb egész szám nem létezik.

A természetes számokat is nevezik pozitív egész számok, azaz a "természetes szám" és a "pozitív egész" kifejezés ugyanaz.

Sem a törtek, sem a tizedesjegyek nem egész számok. De vannak egész számokat tartalmazó törtek.

Példák egész számokra: -8, 111, 0, 1285642, -20051 és így tovább.

Egyszerűen fogalmazva, egész számok (∞... -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...+ ∞) - egész számok sorozata. Vagyis azok, amelyeknek a tört része (()) egyenlő nullával. Nincs részvényük.

A természetes számok egész, pozitív számok. egész számok, példák: (1,2,3,4...+ ∞).

Műveletek egész számokkal.

1. Egész számok összege.

Két azonos előjelű egész szám összeadásához össze kell adni ezeknek a számoknak a moduljait, és a végső jelet az összeg elé kell tenni.

Példa:

(+2) + (+5) = +7.

2. Egész számok kivonása.

Két különböző előjelű egész szám összeadásához ki kell vonni a nagyobb szám modulusát a kisebb szám modulusából, és a válasz elé kell tenni a nagyobb modulusszám előjelét.

Példa:

(-2) + (+5) = +3.

3. Egész számok szorzása.

Két egész szám szorzásához meg kell szorozni ezeknek a számoknak a modulusait, és pluszjelet (+) kell tenni a szorzat elé, ha az eredeti számok azonos előjelűek voltak, és mínuszjelet (-), ha különböztek.

Példa:

(+2) ∙ (-3) = -6.

Több szám szorzásakor a szorzat előjele pozitív lesz, ha a nem pozitív tényezők száma páros, és negatív, ha a nem pozitív tényezők száma páratlan.

Példa:

(-2) ∙ (+3) ∙ (-5) ∙ (-3) ∙ (+4) = -360 (3 nem pozitív tényező).

4. Egész számok felosztása.

Az egész számok elosztásához el kell osztani az egyik modulját a másik modulusával, és az eredmény elé kell tenni egy „+” jelet, ha a számok előjele megegyezik, és egy mínusz jelet, ha különböznek.

Példa:

(-12) : (+6) = -2.

Egész számok tulajdonságai.

Z nem zárt 2 egész szám osztása alatt ( például 1/2). Az alábbi táblázat az összeadás és szorzás néhány alapvető tulajdonságát mutatja bármely egész számra a, bÉs c.

Ingatlan	kiegészítés	szorzás
elkülönítés	a + b- egész	a × b- egész
asszociativitás	a + (b + c) = (a + b) + c	a × ( b × c) = (a × b) × c
kommutativitás	a + b = b + a	a × b = b × a
létezés semleges elem	a + 0 = a	a × 1 = a
létezés ellentétes elem	a + (−a) = 0	a ≠ ± 1 ⇒ 1/a nem egész szám
disztributivitás szorzási relatív kiegészítés	a × ( b + c) = (a × b) + (a × c)

A táblázatból arra következtethetünk Z egy kommutatív gyűrű, amelynek egysége összeadás és szorzás alatt van.

Szabványos osztás nem létezik az egész számok halmazán, de létezik az ún osztás maradékkal: minden egész számra aÉs b, b≠0, van egy egész számkészlet qÉs r, Mi a = bq + rÉs 0≤r<|b| , Hol |b|- a szám abszolút értéke (modulusa). b. Itt a- osztható, b- elválasztó, q- privát, r- maradék.

A természetes számok azok a számok, amelyekkel minden kezdődött. És ma ezek az első számok, amelyekkel az ember találkozik életében, amikor gyermekkorában megtanul számolni az ujjain vagy a számlálóbotokon.

Meghatározás: A természetes számok olyan számok, amelyeket az objektumok számlálására használnak (1, 2, 3, 4, 5, ...) [A 0 nem természetes. Külön története van a matematika történetében, és sokkal később jelent meg, mint a természetes számok.]

A természetes számok halmazát (1, 2, 3, 4, 5, ...) N betűvel jelöljük.

Egész számok

Miután megtanultunk számolni, a következő lépés az, hogy megtanulunk számtani műveleteket végrehajtani. Általában az összeadást és a kivonást tanítják először (számlálópálcák segítségével).

Az összeadásnál minden világos: tetszőleges két természetes szám összeadásával mindig ugyanaz a természetes szám lesz az eredmény. De a kivonás során rájövünk, hogy nem tudjuk kivonni a nagyobbat a kisebbből úgy, hogy az eredmény természetes szám legyen. (3 − 5 = mi?) Itt jön képbe a negatív számok gondolata. (A negatív számok már nem természetes számok)

A negatív számok előfordulásának szakaszában (és később jelentek meg, mint a töredékesek) ott voltak az ellenfeleik is, akik ostobaságnak tartották őket. (Három tárgy mutatható az ujjadon, tíz, ezer tárgy ábrázolható hasonlattal. És mi az a „mínusz három zacskó”? - Akkoriban a számokat már önmagukban használták, elszigetelve a konkréttól tárgyak, amelyek számát jelölik, még mindig sokkal közelebb jártak ezekhez a konkrét témákhoz, mint manapság.) De az ellenvetésekhez hasonlóan a negatív számok melletti fő érv a gyakorlatból származott: a negatív számok kényelmesen lehetővé tették a adósságokat számolni. 3 − 5 = −2 - 3 érmém volt, 5-öt elköltöttem. Ez azt jelenti, hogy nem csak az érméim fogytak el, hanem tartoztam is valakinek 2 érmével. Ha egyet adok vissza, akkor a tartozás −2+1=−1 változik, de negatív számmal is ábrázolható.

Ennek eredményeként negatív számok jelentek meg a matematikában, és most végtelen sok természetes szám van (1, 2, 3, 4, ...) és ugyanannyi az ellentétük (−1, −2, −). 3, -4 , ...). Adjunk hozzá még egy 0-t, és ezeknek a számoknak a halmazát egész számoknak nevezzük.

Meghatározás: A természetes számok, ellentéteik és nulla alkotják az egész számok halmazát. Z betűvel van jelölve.

Bármely két egész szám kivonható egymásból vagy összeadható, hogy egész számot kapjunk.

Az egész számok összeadásának ötlete már a szorzás lehetőségét sugallja, mint az összeadás egyszerűbb módját. Ha van 7 darab, egyenként 6 kilogrammos zacskónk, hozzáadhatunk 6+6+6+6+6+6+6-ot (hétszer adjunk hozzá 6-ot az aktuális végösszeghez), vagy egyszerűen emlékezzünk arra, hogy egy ilyen művelet mindig 42. Csakúgy, mint hat hetes összeadásakor, a 7+7+7+7+7+7 is mindig 42-t ad.

Az összeadási művelet eredményei bizonyos számokat önmagaddal bizonyos kiírják az összes 2-től 9-ig terjedő számpárok számát, és elkészítik a szorzótáblát. A 9-nél nagyobb egész számok szorzásához kitalálták az oszlopszorzási szabályt. (Ami a tizedes törtekre is vonatkozik, és erről a következő cikkek egyikében lesz szó.) Ha két egész számot megszorozunk egymással, az eredmény mindig egész szám lesz.

Racionális számok

Most megosztás. Ahogy a kivonás az összeadás inverz művelete, úgy jutunk el az osztás gondolatához, mint a szorzás fordított műveletéhez.

Amikor 7 db 6 kilogrammos zacskónk volt, szorzással könnyen kiszámoltuk, hogy a zacskók tartalmának össztömege 42 kilogramm volt. Képzeljük el, hogy az összes zacskó teljes tartalmát egy közös, 42 kilogramm tömegű kupacba öntöttük ki. Aztán meggondolták magukat, és vissza akarták osztani a tartalmat 7 zacskóba. Hány kilogramm kerül egy zacskóba, ha egyenlően osztjuk el? - Nyilvánvalóan 6.

Mi van, ha 42 kilogrammot akarunk elosztani 6 zsákba? Itt azt fogjuk gondolni, hogy ugyanannyi összesen 42 kilogrammot lehetne kapni, ha 6 zsák 7 kilogrammot öntünk egy kupacba. Ez pedig azt jelenti, hogy 42 kilogrammot 6 zsákra egyenlően elosztva 7 kilogrammot kapunk egy zsákba.

Mi van, ha 42 kilogrammot egyenlően osztasz 3 zsákra? És itt is elkezdünk kiválasztani egy számot, amelyet 3-mal megszorozva 42-t adunk. A „táblázatos” értékeknél, mint például a 6 · 7 = 42 => 42: 6 = 7 esetén, elvégezzük az osztást. művelet egyszerűen a szorzótábla előhívásával. Bonyolultabb esetekben az oszlopfelosztást használják, amelyről a következő cikkek egyikében lesz szó. 3 és 42 esetén „kiválaszthatja”, hogy ne feledje, hogy 3 · 14 = 42. Ez 42:3 = 14-et jelent. Egy zsák 14 kilogrammot tartalmaz.

Most próbáljunk meg 42 kilogrammot egyenlően elosztani 5 zsákra. 42:5=?
Észrevesszük, hogy 5 · 8 = 40 (kevés), és 5 · 9 = 45 (sok). Vagyis 5 zsákból nem kapunk 42 kilogrammot, sem 8 kilogrammot zacskóban, sem 9 kilogrammot. Ugyanakkor világos, hogy a valóságban semmi sem akadályoz meg bennünket abban, hogy bármilyen mennyiséget (például gabonaféléket) 5 egyenlő részre osszunk.

Az egész számok egymással való elosztásának művelete nem feltétlenül eredményez egész számot. Így jutottunk el a törtek fogalmához. 42:5 = 42/5 = 8 egész 2/5 (ha közönséges törtekben számoljuk) vagy 42:5 = 8,4 (ha tizedes törtben számoljuk).

Közös és tizedes törtek

Azt mondhatjuk, hogy bármely m/n közönséges tört (m tetszőleges egész szám, n bármilyen természetes szám) egyszerűen az m szám n számmal való elosztásának eredményének egy speciális formája. (m a tört számlálója, n a nevező) Ha például a 25-öt elosztjuk az 5-tel, akkor a 25/5 közönséges törtként is felírhatjuk. De ez nem szükséges, mivel a 25-öt 5-tel osztva egyszerűen felírható egész szám 5. (És 25/5 = 5). De a 25-ös szám 3-mal való osztásának eredménye már nem ábrázolható egész számként, ezért itt felmerül az igény, hogy tört, 25:3 = 25/3 legyen. (A teljes részt megkülönböztetheti 25/3 = 8 egész 1/3. A közönséges törtekről és a közönséges törtekkel végzett műveletekről a következő cikkekben lesz részletesebben szó.)

A közönséges törtekben az a jó, hogy ahhoz, hogy bármely két egész szám osztásának eredményét ilyen törtként ábrázoljuk, egyszerűen csak az osztalékot kell a tört számlálójába, az osztót pedig a nevezőbe írni. (123:11=123/11, 67:89=67/89, 127:53=127/53, ...) Ezután, ha lehetséges, csökkentse a törtet és/vagy izolálja a teljes részt (ezek a műveletek közönséges törtekkel részletesen a következő cikkekben lesz szó). A probléma az, hogy az aritmetikai műveletek (összeadás, kivonás) végrehajtása közönséges törtekkel már nem olyan kényelmes, mint egész számokkal.

Az írás (egy sorban) és a számítások kényelme érdekében (az oszlopban történő számítás lehetőségével, mint a közönséges egészeknél) a közönséges törtek mellett a tizedes törteket is feltalálták. A tizedes tört egy speciálisan felírt közönséges tört, amelynek nevezője 10, 100, 1000 stb. Például a 7/10 közönséges tört megegyezik a 0,7 tizedes törttel. (8/100 = 0,08; 2 egész 3/10 = 2,3; 7 egész 1/1000 = 7 001). Külön cikket fogunk szentelni a közönséges törtek tizedesjegyekké alakításának és fordítva. Műveletek tizedes törtekkel – egyéb cikkek.

Bármely egész szám ábrázolható közös törtként 1-es nevezővel (5=5/1; −765=−765/1).

Meghatározás: Minden olyan számot, amely törtként ábrázolható, racionális számnak nevezzük. A racionális számok halmazát Q betű jelöli.

Ha két egész számot elosztunk egymással (kivéve 0-val), az eredmény mindig racionális szám lesz. A közönséges törtek esetében vannak az összeadásra, kivonásra, szorzásra és osztásra vonatkozó szabályok, amelyek lehetővé teszik, hogy bármelyik két törttel elvégezzük a megfelelő műveletet, és ennek eredményeként racionális számot (tört vagy egész) kapjunk.

A racionális számok halmaza az általunk vizsgált halmazok közül az első, amelyben összeadhat, kivonhat, szorozhat és oszthat (kivéve a 0-val való osztást), soha nem lépve túl ennek a halmaznak a határain (vagyis mindig kaphat racionális számot). szám eredményeként) .

Úgy tűnik, hogy nincs más szám, minden szám racionális. De ez sem igaz.

Valós számok

Vannak számok, amelyeket nem lehet m/n törtként ábrázolni (ahol m egész szám, n természetes szám).

Mik ezek a számok? A hatványozás műveletét még nem vettük figyelembe. Például 4 2 =4 ·4 = 16. 5 3 =5 ·5 ·5=125. Ahogyan a szorzás az összeadás írásának és kiszámításának kényelmesebb formája, úgy a hatványozás is annak a formája, hogy ugyanazt a számot bizonyos számú alkalommal önmagával szorozzuk.

De most nézzük meg a hatványra emelés fordított műveletét – a gyökér kinyerését. A 16 négyzetgyöke egy olyan szám, amely négyzetre vetve 16-ot, azaz 4-et ad. 9 négyzetgyöke 3. De például 5 vagy 2 négyzetgyöke nem ábrázolható racionális számmal. (Ennek az állításnak a bizonyítéka, más példák az irracionális számokra és azok történetére megtalálhatók például a Wikipédián)

A 9. osztályos GIA-ban van egy feladat annak eldöntésére, hogy a jelölésében gyököt tartalmazó szám racionális vagy irracionális-e. A feladat az, hogy ezt a számot próbáljuk meg gyökeret nem tartalmazó formává alakítani (a gyökök tulajdonságait felhasználva). Ha nem tudsz megszabadulni a gyökértől, akkor a szám irracionális.

Egy másik példa az irracionális számra a π szám, amely mindenki számára ismerős a geometriából és a trigonometriából.

Meghatározás: A racionális és irracionális számokat együtt valós (vagy valós) számoknak nevezzük. Az összes valós szám halmazát R betű jelöli.

Valós számokban a racionális számokkal szemben egy egyenes vagy sík tetszőleges két pontja közötti távolságot kifejezhetjük.
Ha húzunk egy egyenest, és kijelölünk rajta két tetszőleges pontot, vagy kiválasztunk két tetszőleges pontot egy síkon, akkor kiderülhet, hogy a pontok közötti pontos távolság nem fejezhető ki racionális számként. (Példa - az 1-es és 1-es szárú derékszögű háromszög befogója a Pitagorasz-tétel szerint egyenlő lesz kettő gyökével - azaz egy irracionális szám. Ez magában foglalja a tetrad cella átlójának pontos hosszát is (bármely ideális négyzet átlójának hossza integrált oldalakkal).
A valós számok halmazában pedig bármely egyenesen, síkban vagy térben lévő távolság kifejezhető a megfelelő valós számmal.

Ha egy természetes számsor bal oldalához hozzáadjuk a 0-t, akkor azt kapjuk pozitív egész számok sorozata:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Negatív egész számok

Nézzünk egy kis példát. A bal oldali képen egy hőmérő látható, amely 7 °C-os hőmérsékletet mutat. Ha a hőmérséklet 4 °C-kal csökken, a hőmérő 3 °C-ot mutat. A hőmérséklet csökkenése megfelel a kivonás műveletének:

Megjegyzés: minden fokot C (Celsius) betűvel írunk, a fokjelet szóköz választja el a számtól. Például 7 °C.

Ha a hőmérséklet 7 °C-kal csökken, a hőmérő 0 °C-ot mutat. A hőmérséklet csökkenése megfelel a kivonás műveletének:

Ha a hőmérséklet 8 °C-kal csökken, a hőmérő -1 °C-ot (1 °C-kal nulla alatt) mutat. De a 7-8 kivonás eredménye nem írható fel természetes számokkal és nullával.

Szemléltessük a kivonást pozitív egész számok sorozatával:

1) A 7-es számból számolj 4 balra lévő számot, és kapj 3-at:

2) A 7-es számból számoljon 7 számot balra, és kapjon 0-t:

Lehetetlen 8 számot megszámolni a 7-től balra egy pozitív egész sorozatban. A 7–8. műveletek megvalósíthatósága érdekében kibővítjük a pozitív egész számok tartományát. Ehhez a nullától balra írjuk (jobbról balra) az összes természetes számot, mindegyikhez hozzáadva a - jelet, jelezve, hogy ez a szám a nullától balra van.

A -1, -2, -3, ... bejegyzések mínusz 1, mínusz 2, mínusz 3 stb.

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Az így kapott számsort nevezzük egész számok sorozata. Ebben a bejegyzésben a bal és jobb oldali pontok azt jelentik, hogy a sorozat korlátlanul folytatható jobbra és balra.

Ebben a sorban a 0-tól jobbra a hívott számok találhatók természetes vagy pozitív egész számok(röviden- pozitív).

Ebben a sorban a 0-tól balra a hívott számok találhatók egész szám negatív(röviden- negatív).

A 0 egy egész szám, de nem pozitív és nem negatív szám. Elválasztja a pozitív és negatív számokat.

Ezért, az egész számok sorozata negatív egész számokból, nullából és pozitív egész számokból áll.

Egész számok összehasonlítása

Hasonlíts össze két egész számot- azt jelenti, hogy megtudjuk, melyik a nagyobb, melyik a kisebb, vagy meghatározzuk, hogy a számok egyenlőek-e.

Az egész számokat egész számsor segítségével hasonlíthatja össze, mivel a benne lévő számok a legkisebbtől a legnagyobbig vannak elrendezve, ha a sorban balról jobbra halad. Ezért egész számok sorozatában a vesszőket kisebb jellel helyettesítheti:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Ezért, két egész szám közül a nagyobb a sorozat jobb oldalán lévő szám, és minél kisebb az, amelyik balra van, Jelentése:

1) Bármely pozitív szám nagyobb nullánál és nagyobb bármely negatív számnál:

1 > 0; 15 > -16

2) Bármilyen nullánál kisebb negatív szám:

7 < 0; -357 < 0

3) Két negatív szám közül az, amelyik az egész számok sorozatából jobbra van, nagyobb.

A cikkben található információk általános megértést adnak egész számok. Először is megadjuk az egész számok definícióját, és példákat adunk. Ezt követően a számegyenesen lévő egész számokat tekintjük, ahonnan kiderül, hogy mely számokat nevezzük pozitív, és melyeket negatív egész számoknak. Ezt követően bemutatjuk, hogyan írjuk le a mennyiségek változásait egész számokkal, illetve a negatív egészeket tekintjük adósság értelemben.

Oldalnavigáció.

Egész számok – meghatározás és példák

Meghatározás.

Egész számok– ezek természetes számok, a nulla szám, valamint a természetesekkel ellentétes számok.

Az egész számok definíciója kimondja, hogy az 1, 2, 3, … számok bármelyike, a 0 szám, valamint a −1, −2, −3, … számok bármelyike ​​egész szám. Most könnyen hozhatjuk példák egész számokra. Például a 38-as szám egész szám, a 70 040 is egész szám, a nulla egész szám (ne feledje, hogy a nulla NEM természetes szám, a nulla egész szám), a −999, -1, -8 934 832 számok is. példák egész számokra.

Célszerű minden egész számot egész számsorozatként ábrázolni, amelynek a következő alakja van: 0, ±1, ±2, ±3, ... Egész számok sorozata így írható fel: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Az egész számok definíciójából következik, hogy a természetes számok halmaza az egész számok halmazának részhalmaza. Ezért minden természetes szám egész szám, de nem minden egész természetes szám.

Egész számok egy koordináta egyenesen

Meghatározás.

Pozitív egész számok nullánál nagyobb egész számok.

Meghatározás.

Negatív egész számok nullánál kisebb egész számok.

A pozitív és negatív egész számok a koordinátaegyenesen elfoglalt helyzetük alapján is meghatározhatók. A vízszintes koordinátavonalon azok a pontok, amelyek koordinátái pozitív egész számok, az origótól jobbra helyezkednek el. A negatív egész koordinátájú pontok viszont az O ponttól balra helyezkednek el.

Nyilvánvaló, hogy az összes pozitív egész halmaz a természetes számok halmaza. Viszont az összes negatív egész szám halmaza a természetes számokkal ellentétes számok halmaza.

Külön felhívjuk a figyelmet arra, hogy minden természetes számot nyugodtan nevezhetünk egész számnak, de nem nevezhetünk egész számot természetes számnak. Minden pozitív egész számot csak természetes számnak nevezhetünk, mivel a negatív egész és a nulla nem természetes szám.

Nem pozitív és nem negatív egész számok

Adjuk meg a nem pozitív és a nem negatív egész számok definícióit.

Meghatározás.

Minden pozitív egész számot a nullával együtt hívunk nem negatív egész számok.

Meghatározás.

Nem pozitív egész számok– ezek mind negatív egész számok a 0 számmal együtt.

Más szavakkal, a nem negatív egész szám nullánál nagyobb vagy nullával egyenlő, a nem pozitív egész szám pedig nullánál kisebb vagy nullával egyenlő egész szám.

A nem pozitív egész számok példái a −511, −10 030, 0, −2 számok, a nem negatív egészekre pedig a 45, 506, 0, 900 321 számokat adjuk meg.

Leggyakrabban a „nem pozitív egész számok” és a „nem negatív egész számok” kifejezéseket a rövidség kedvéért használják. Például az „a szám egy egész szám, és a nagyobb, mint nulla vagy egyenlő nullával” kifejezés helyett azt mondhatja, hogy „a egy nem negatív egész szám”.

Mennyiségváltozások leírása egész számokkal

Ideje beszélni arról, hogy miért van szükség az egész számokra.

Az egész számok fő célja, hogy segítségével kényelmesen leírhassuk az objektumok mennyiségének változásait. Értsük meg ezt példákkal.

Legyen bizonyos számú alkatrész a raktárban. Ha például 400-zal több alkatrészt hoznak a raktárba, akkor a raktárban lévő alkatrészek száma megnő, és a 400-as szám ezt a mennyiségi változást pozitív irányban (növekvő) fejezi ki. Ha például 100 alkatrészt vesznek el a raktárból, akkor a raktárban lévő alkatrészek száma csökken, a 100-as szám pedig negatív irányú (lefelé) irányú mennyiségváltozást fejez ki. A raktárba nem visznek be alkatrészeket, és nem visznek el a raktárból, akkor beszélhetünk állandó alkatrészmennyiségről (vagyis nulla mennyiségváltozásról).

A megadott példákban a részek számának változása a 400, -100 és 0 egész számokkal írható le. A pozitív egész szám 400 a mennyiség pozitív irányú változását (növekedést) jelzi. A −100 negatív egész szám negatív irányú mennyiségváltozást (csökkenést) fejez ki. A 0 egész szám azt jelzi, hogy a mennyiség változatlan marad.

Az egész számok használatának kényelme a természetes számokhoz képest, hogy nem kell kifejezetten jelezni, hogy a mennyiség növekszik vagy csökken - az egész szám számszerűsíti a változást, az egész szám előjele pedig a változás irányát.

Az egész számok nemcsak mennyiségi változást, hanem valamilyen mennyiség változását is kifejezhetik. Értsük meg ezt a hőmérséklet-változások példáján keresztül.

A hőmérséklet 4 fokos növekedését pozitív egész számként 4 fejezzük ki. A hőmérséklet csökkenése például 12 fokkal negatív egész számként írható le -12. A hőmérséklet invarianciája pedig annak változása, amelyet a 0 egész szám határozza meg.

Külön meg kell mondani a negatív egész számok tartozás összegeként való értelmezését. Például, ha 3 almánk van, akkor a pozitív egész 3 a birtokunkban lévő almáink számát jelenti. Másrészt, ha valakinek 5 almát kell adnunk, de nincs raktáron, akkor ez a helyzet egy negatív egész számmal írható le −5. Ebben az esetben −5 almát „tulajdonolunk”, a mínusz jel az adósságot, az 5-ös szám pedig az adósságot számszerűsíti.

A negatív egész szám adósságként való értelmezése lehetővé teszi például a negatív egész számok hozzáadására vonatkozó szabály igazolását. Mondjunk egy példát. Ha valaki 2 almával tartozik az egyik embernek és 1 almával a másiknak, akkor a teljes tartozás 2+1=3 alma, tehát −2+(−1)=−3.

Hivatkozások.

• Vilenkin N.Ya. és a matematika. 6. évfolyam: tankönyv általános oktatási intézmények számára.