Concepte de bază ale sistemelor numerice

Un sistem numeric este un set de reguli și tehnici de scriere a numerelor folosind un set de caractere digitale. Numărul de cifre necesar pentru a scrie un număr într-un sistem se numește baza sistemului numeric. Baza sistemului este scrisă în partea dreaptă a numărului din indice: ; ; etc.

Există două tipuri de sisteme de numere:

pozițional, când valoarea fiecărei cifre a unui număr este determinată de poziția acesteia în înregistrarea numărului;

non-pozițional, atunci când valoarea unei cifre dintr-un număr nu depinde de locul ei în notația numărului.

Un exemplu de sistem de numere nepozițional este cel roman: numerele IX, IV, XV etc. Un exemplu de sistem de numere poziționale este sistemul zecimal utilizat în fiecare zi.

Orice număr întreg din sistemul pozițional poate fi scris sub formă polinomială:

unde S este baza sistemului numeric;

Cifre ale unui număr scrise într-un sistem de numere dat;

n este numărul de cifre ale numărului.

Exemplu. Număr se va scrie sub formă polinomială după cum urmează:

Tipuri de sisteme numerice

Sistemul de numere romane este un sistem non-pozițional. Folosește litere din alfabetul latin pentru a scrie numere. În acest caz, litera I înseamnă întotdeauna unul, litera V înseamnă cinci, X înseamnă zece, L înseamnă cincizeci, C înseamnă o sută, D înseamnă cinci sute, M înseamnă o mie etc. De exemplu, numărul 264 este scris ca CCLXIV. Când se scriu numere în sistemul de numere roman, valoarea unui număr este suma algebrică a cifrelor incluse în acesta. În acest caz, cifrele din înregistrarea numerelor urmează, de regulă, în ordinea descrescătoare a valorilor lor și nu este permis să scrieți mai mult de trei unul lângă celălalt. numere identice. Când o cifră cu o valoare mai mare este urmată de o cifră cu o valoare mai mică, contribuția sa la valoarea numărului în ansamblu este negativă. Exemple tipice care ilustrează reguli generaleînregistrările numerelor din sistemul numeric roman sunt date în tabel.

Tabelul 2. Scrierea numerelor în sistemul numeric roman

		III
	VII	VIII
	XIII	XVIII	XIX	XXII
XXXIV	XXXIX			XCIX
200	438	649	999	1207
	CDXXXVIII	DCXLIX	CMXCIX	MCCVII
2045	3555	3678	3900	3999
MMXLV	MMMDLV	MMMDCLXXVIII	MMMCM	MMMCMXCIX

Dezavantajul sistemului roman este lipsa regulilor formale de înregistrare a numerelor și, în consecință, operatii aritmetice cu numere din mai multe cifre. Datorită inconvenientului și complexității sale mari, sistemul de numere romane este utilizat în prezent acolo unde este cu adevărat convenabil: în literatură (numerotarea capitolelor), în proiectarea documentelor (serie de pașapoarte, titluri de valoare etc.), în scop decorativ pe un cadran de ceas. și într-o serie de alte cazuri.

Sistemul numeric zecimal este în prezent cel mai cunoscut și utilizat. Invenția sistemului numeric zecimal este una dintre principalele realizări ale gândirii umane. Fără ea, tehnologia modernă cu greu ar putea exista, cu atât mai puțin ar putea apărea. Motivul pentru care sistemul numeric zecimal a devenit general acceptat nu este deloc matematic. Oamenii sunt obișnuiți să numere în sistemul numeric zecimal pentru că au 10 degete pe mâini.

Imaginea veche a cifrelor zecimale (Fig. 1) nu este întâmplătoare: fiecare cifră reprezintă un număr după numărul de unghiuri din ea. De exemplu, 0 - fără colțuri, 1 - un colț, 2 - două colțuri etc. Scrierea numerelor zecimale a suferit modificări semnificative. Forma pe care o folosim a fost stabilită în secolul al XVI-lea.

Sistemul zecimal a apărut pentru prima dată în India în jurul secolului al VI-lea nouă eră. Numerotarea indiană a folosit nouă caractere numerice și un zero pentru a indica o poziție goală. În manuscrisele indiene timpurii care au ajuns până la noi, numerele erau scrise în ordine inversă - cel mai semnificativ număr era plasat în dreapta. Dar a devenit curând o regulă să plasezi un astfel de număr în partea stângă. O importanță deosebită a fost acordată simbolului zero, care a fost introdus pentru sistemul de notație pozițională. Numerotarea indiană, inclusiv zero, a supraviețuit până astăzi. În Europa, metodele hinduse de aritmetică zecimală s-au răspândit la începutul secolului al XIII-lea. datorită lucrării matematicianului italian Leonardo din Pisa (Fibonacci). Europenii au împrumutat de la arabi sistemul de numere indian, numindu-l arab. Această denumire istorică greșită continuă până în zilele noastre.

Sistemul zecimal folosește zece cifre — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 și 9 — precum și simbolurile „+” și „–” pentru a indica semnul unui număr și un virgulă sau punct pentru a separa părțile întregi și zecimale.numerele.

Calculatoarele folosesc un sistem de numere binar, baza sa este numărul 2. Pentru a scrie numere în acest sistem, sunt folosite doar două cifre - 0 și 1. Spre deosebire de concepția greșită populară, sistemul de numere binar nu a fost inventat de inginerii de calcul, ci de matematicieni și filozofi cu mult înainte de apariția computerelor, în secolele XVII-XIX. Prima discuție publicată despre sistemul de numere binar este a preotului spaniol Juan Caramuel Lobkowitz (1670). Atenția generală asupra acestui sistem a fost atrasă de un articol al matematicianului german Gottfried Wilhelm Leibniz, publicat în 1703. Acesta explica operațiile binare de adunare, scădere, înmulțire și împărțire. Leibniz nu a recomandat utilizarea acestui sistem pentru calcule practice, dar a subliniat importanța acestuia pentru cercetarea teoretică. În timp, sistemul de numere binare devine bine cunoscut și se dezvoltă.

Alegerea unui sistem binar pentru utilizare în tehnologia informatică se explică prin faptul că elementele electronice - declanșatoarele care alcătuiesc cipurile computerului - pot fi doar în două stări de funcționare.

Folosind sistemul de codificare binar, puteți înregistra orice date și cunoștințe. Acest lucru este ușor de înțeles dacă ne amintim principiul codificării și transmiterii informațiilor folosind codul Morse. Un operator de telegrafie, folosind doar două simboluri ale acestui alfabet - puncte și liniuțe, poate transmite aproape orice text.

Sistemul binar este convenabil pentru un computer, dar incomod pentru o persoană: numerele sunt lungi și greu de scris și reținut. Desigur, puteți converti numărul în sistemul zecimal și îl puteți scrie în această formă și apoi, când trebuie să îl convertiți înapoi, dar toate aceste traduceri necesită multă muncă. Prin urmare, se folosesc sisteme numerice legate de binar - octal și hexazecimal. Pentru a scrie numere în aceste sisteme, sunt necesare 8 și, respectiv, 16 cifre. În hexazecimal, primele 10 cifre sunt comune, iar apoi sunt folosite litere mari latine. Cifra hexazecimală A corespunde numărului zecimal 10, hexazecimal B numărului zecimal 11 etc. Utilizarea acestor sisteme se explică prin faptul că trecerea la scrierea unui număr în oricare dintre aceste sisteme din notația sa binară este foarte simplă. Mai jos este un tabel de corespondență între numerele scrise în diferite sisteme.

Tabelul 3. Corespondența numerelor scrise în diferite sisteme numerice

Zecimal	Binar	Octal	hexazecimal
	001
	010
	011
	100
	101
	110
	111
	1000
	1001
	1010
	1011
	1100
	1101		D http://viagrasstore.net/generic-viagra-soft/
	1110
	1111
	10000

Reguli pentru conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul

Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul este o parte importantă a aritmeticii mașinii. Să luăm în considerare regulile de bază ale traducerii.

1. Pentru a converti un număr binar într-un număr zecimal, este necesar să îl scrieți sub forma unui polinom, constând din produsele cifrelor numărului și puterea corespunzătoare a lui 2, și să îl calculați conform regulilor din aritmetica zecimala:

Când traduceți, este convenabil să utilizați tabelul puterilor a doi:

Tabelul 4. Puterile numărului 2

n (grad)
											1024

Exemplu. Convertiți numărul în sistemul numeric zecimal.

2. Pentru a converti un număr octal într-un număr zecimal, este necesar să îl scrieți ca un polinom format din produsele cifrelor numărului și puterea corespunzătoare a numărului 8 și să-l calculați conform regulilor zecimale. aritmetic:

Când traduceți, este convenabil să folosiți tabelul puterilor opt:

Tabelul 5. Puterile numărului 8

n (grad)

Probleme la subiectul „Sisteme numerice”

Exemple de soluții

Sarcina nr. 1. Câți cifre semnificativeîn notarea numărului zecimal 357 în sistemul numeric de bază 3?Soluţie:Să transformăm numărul 35710 în sistemul numeric ternar:Deci, 35710 = 1110203. Numărul 1110203 conține 6 cifre semnificative.Raspuns: 6.

Sarcina nr. 2. Având în vedere A=A715, B=2518. Care dintre numerele C, scrise în sistem binar, îndeplinește condiția A1) 101011002 2) 101010102 3) 101010112 4) 101010002 Soluţie:Să convertim numerele A=A715 și B=2518 în sistemul numeric binar, înlocuind fiecare cifră a primului număr cu tetrada corespunzătoare și fiecare cifră a celui de-al doilea număr cu triada corespunzătoare: A715= 1010 01112; 2518 = 010 101 0012.Condiția a

Sarcina nr. 3. Ce cifră se termină cu numărul zecimal 123 în sistemul numeric de bază 6?Soluţie:Să transformăm numărul 12310 în sistemul numeric de bază 6:12310 = 3236. Răspuns: numărul 12310 din sistemul numeric de bază 6 se termină cu numărul 3.Sarcini pentru efectuarea de operații aritmetice asupra numerelor reprezentate în diferite sisteme numerice

Sarcina nr. 4. Calculați suma numerelor X și Y dacă X=1101112, Y=1358. Prezentați rezultatul în formă binară.1) 100100112 2) 100101002 3) 110101002 4) 101001002 Soluţie:Să convertim numărul Y=1358 în sistemul numeric binar, înlocuind fiecare dintre cifrele sale cu triada corespunzătoare: 001 011 1012. Să efectuăm adunarea:Răspuns: 100101002 (opțiunea 2).

Sarcina nr. 5. Aflați media aritmetică a numerelor 2368, 6С16 și 1110102. Prezentați răspunsul în sistemul numeric zecimal.Soluţie:Să convertim numerele 2368, 6С16 și 1110102 în sistemul numeric zecimal:
Să calculăm media aritmetică a numerelor: (158+108+58)/3 = 10810.Răspuns: media aritmetică a numerelor 2368, 6C16 și 1110102 este 10810.

Sarcina nr. 6. Calculați valoarea expresiei 2068 + AF16 ? 110010102. Efectuați calcule în sistemul de numere octale. Convertiți răspunsul în sistem zecimal.Soluţie:Să convertim toate numerele în sistemul de numere octale:2068 = 2068; AF16 = 2578; 110010102 = 3128Să adăugăm numerele:Să convertim răspunsul la sistemul zecimal:Răspuns: 51110.

Sarcini privind găsirea bazei unui sistem numeric

Sarcina nr. 7. În grădină sunt pomi fructiferi de 100q: 33q dintre ei sunt meri, 22q de pere, 16q de pruni și 17q de cireși. Găsiți baza sistemului numeric în care sunt numărați copacii.Soluţie:În grădină sunt 100q copaci în total: 100q = 33q+22q+16q+17q.Să numerotăm cifrele și să prezentăm aceste numere în formă extinsă:
Răspuns: Copacii sunt numărați într-un sistem numeric de bază 9.

Sarcina nr. 8. Găsiți baza x a sistemului numeric dacă știți că 2002x = 13010.Soluţie:Răspuns: 4.

Sarcina nr. 9. Într-un sistem numeric cu o anumită bază, numărul zecimal 18 este scris ca 30. Specificați această bază.Soluţie:Să considerăm că x este baza sistemului de numere necunoscut și să creăm următoarea egalitate:1810 = 30x;Să numerotăm cifrele și să scriem aceste numere în formă extinsă:Răspuns: Numărul zecimal 18 este scris ca 30 în sistemul numeric de bază 6.

Sistem numeric (ing. sistem numeric sau sistem de numerație) - o metodă simbolică de înregistrare a numerelor, reprezentând numere folosind caractere scrise

Care este baza și baza unui sistem numeric?

Definiție: Baza sistemului de numere este numărul de semne sau simboluri diferite care
sunt folosite pentru a reprezenta numere în acest sistem.
Baza este orice număr natural - 2, 3, 4, 16 etc. Adică există o nelimitată
multe sisteme poziționale. De exemplu, pentru sistemul zecimal baza este 10.

Determinarea bazei este foarte ușoară; trebuie doar să recalculați numărul de cifre semnificative din sistem. Pentru a spune simplu, acesta este numărul de la care începe a doua cifră a numărului. De exemplu, folosim numerele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Sunt exact 10, deci baza sistemului nostru de numere este, de asemenea, 10, iar sistemul numeric este numită „zecimală”. Exemplul de mai sus folosește numerele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (auxiliarul 10, 100, 1000, 10000 etc. nu contează). Există, de asemenea, 10 numere principale aici, iar sistemul de numere este zecimal.

Baza sistemului este o succesiune de numere folosită pentru a scrie . Nu există în niciun sistem un număr egal cu baza sistemului.

După cum puteți ghici, câte numere sunt, pot exista atâtea baze de sistem de numere. Dar sunt folosite doar bazele cele mai convenabile ale sistemelor numerice. De ce crezi că baza celui mai des folosit sistem de numere umane este 10? Da, tocmai pentru că avem 10 degete pe mâini. „Dar sunt doar cinci degete pe o mână”, vor spune unii și vor avea dreptate. Istoria omenirii cunoaște exemple de sisteme numerice în cinci ori. „Și cu picioare sunt douăzeci de degete”, vor spune alții și, de asemenea, vor avea perfectă dreptate. Exact asta credeau mayașii. Acest lucru poate fi văzut chiar și în numerele lor.

Sistem de numere zecimale

Când numărăm, suntem cu toții obișnuiți să folosim cifre și numere care ne sunt familiare încă din copilărie. Unu, doi, trei, patru etc. În sistemul nostru de numere de zi cu zi există doar zece cifre (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), din care facem orice numere. După ce am ajuns la zece, adăugăm una la cifra din stânga și începem din nou să numărăm de la zero în cifra cea mai din dreapta. Acest sistem numeric se numește zecimal.

Nu este greu de ghicit că strămoșii noștri l-au ales pentru că numărul degetelor de pe ambele mâini este de zece. Dar ce alte sisteme numerice există? Ați folosit întotdeauna sistemul numeric zecimal sau au fost și altele?

Istoria sistemelor de numere

Înainte de inventarea lui zero, semnele speciale erau folosite pentru a scrie numere. Fiecare națiune avea a lui. ÎN Roma antică, de exemplu, a dominat sistemul numeric non-pozițional.

Un sistem numeric se numește nepozițional dacă valoarea unei cifre nu depinde de locul pe care îl ocupă. Cele mai avansate sisteme de numere au fost considerate a fi cele utilizate în Rusia și Grecia Antică.

În ele, numerele mari erau notate cu litere, dar cu adăugarea de simboluri suplimentare (1 – a, 100 –i etc.). Un alt sistem de numere non-pozițional a fost sistemul folosit în Babilonul Antic. În sistemul lor, locuitorii Babilonului foloseau o notație „cu două etaje” și doar trei semne: Unitatea în sistemul numeric babilonian pentru unu, Zece în sistemul numeric babilonian pentru zece și Zero în sistemul numeric babilonian pentru zero.

Sisteme numerice poziționale

Sistemele poziționale au devenit un pas înainte. Acum sistemul zecimal a câștigat peste tot, dar există și alte sisteme care sunt adesea folosite în științele aplicate. Un exemplu de astfel de sistem de numere este sistemul de numere binar.
Sistem de numere binar

Este locul în care computerele și toate dispozitivele electronice din casa ta comunică. Acest sistem de numere folosește doar două cifre: 0 și 1. Vă puteți întreba, de ce nu a fost posibil să învățați un computer să numere până la zece, ca un om? Răspunsul se află la suprafață.

Este ușor să înveți o mașină să facă distincția între două simboluri: pornit înseamnă 1, oprit înseamnă 0; există curent - 1, nu există curent - 0. Au existat încercări de a face mașini care ar putea distinge un număr mai mare de cifre. Dar toate s-au dovedit a fi nesigure, calculatoarele tot deveneau confuze: ori le-a venit 1, ori 2.

Suntem înconjurați de multe sisteme numerice diferite. Fiecare dintre ele este utilă în propria sa zonă. Și răspunsul la întrebarea pe care să folosim și când depinde de noi.

Conversia la sistemul numeric zecimal

Exercitiul 1. Cărui număr îi corespunde 24 16 în sistemul zecimal?

Soluţie.

24 16 = 2 * 16 1 + 4 * 16 0 = 32 + 4 = 36

Răspuns. 24 16 = 36 10

Sarcina 2. Se știe că X = 12 4 + 4 5 + 101 2. Care este valoarea lui X în sistemul numeric zecimal?

Soluţie.

12 4 = 1 * 41 + 2 * 40 = 4 + 2 = 6
4 5 = 4 * 5 0 = 4
101 2 = 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 4 + 0 + 1 = 5
Aflați numărul: X = 6 + 4 + 5 = 15

Răspuns. X = 15 10

Sarcina 3. Calculați valoarea sumei 10 2 + 45 8 + 10 16 în notație zecimală.

Soluţie.

Să convertim fiecare termen în sistemul numeric zecimal:
10 2 = 1 * 2 1 + 0 * 2 0 = 2
45 8 = 4 * 8 1 + 5 * 8 0 = 37
10 16 = 1 * 16 1 + 0 * 16 0 = 16
Suma este: 2 + 37 + 16 = 55

Conversie în sistem de numere binar

Exercitiul 1. Care este numărul 37 în binar?

Soluţie.

Puteți converti prin împărțirea la 2 și combinând resturile în ordine inversă.

O altă modalitate este de a descompune numărul în suma puterilor a doi, începând cu cel mai mare, al cărui rezultat calculat este mai mic decât numărul dat. La conversie, puterile lipsă ale unui număr trebuie înlocuite cu zerouri:

37 10 = 32 + 4 + 1 = 2 5 + 2 2 + 2 0 = 1 * 2 5 + 0 * 2 4 + 0 * 2 3 + 1 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 100101

Răspuns. 37 10 = 100101 2 .

Sarcina 2. Câte zerouri semnificative există în notația binară a numărului zecimal 73?

Soluţie.

Să descompunăm numărul 73 în suma puterilor a două, începând cu cea mai mare și ulterior înmulțind puterile lipsă cu zerouri și puterile existente cu una:

73 10 = 64 + 8 + 1 = 2 6 + 2 3 + 2 0 = 1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 0 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 1001001

Răspuns. Reprezentarea binară a numărului zecimal 73 are patru zerouri semnificative.

Sarcina 3. Calculați suma numerelor x și y pentru x = D2 16, y = 37 8. Prezentați rezultatul în sistemul de numere binar.

Soluţie.

Amintiți-vă că fiecare cifră a unui număr hexazecimal este formată din patru cifre binare, fiecare cifră a unui număr octal din trei:

D2 16 = 1101 0010
37 8 = 011 111

Să adunăm numerele rezultate:

11010010 11111 -------- 11110001

Răspuns. Suma numerelor D2 16 și y = 37 8, reprezentate în sistemul de numere binar, este 11110001.

Sarcina 4. Dat: A= D7 16, b= 331 8 . Care număr c, scris în sistemul de numere binar, îndeplinește condiția A< c < b ?

1. 11011001
2. 11011100
3. 11010111
4. 11011000

Soluţie.

Să convertim numerele în sistemul de numere binar:

D7 16 = 11010111
331 8 = 11011001

Primele patru cifre ale tuturor numerelor sunt aceleași (1101). Prin urmare, comparația este simplificată prin compararea celor patru cifre inferioare.

Primul număr din listă este egal cu numărul b, prin urmare, nu este potrivit.

Al doilea număr este mai mare decât b. Al treilea număr este A.

Doar al patrulea număr este potrivit: 0111< 1000 < 1001.

Răspuns. A patra opțiune (11011000) îndeplinește condiția A< c < b .

Sarcini de determinare a valorilor în diverse sisteme numerice și bazele acestora

Exercitiul 1. Pentru a codifica caracterele @, $, &, %, sunt folosite numere binare secvenţiale din două cifre. Primul caracter corespunde numărului 00. Folosind aceste caractere, a fost codificată următoarea secvență: $%&&@$. Decodificați această secvență și convertiți rezultatul într-un sistem numeric hexazecimal.

Soluţie.

1. Să comparăm numerele binare cu caracterele pe care le codifică:
00 - @, 01 - $, 10 - &, 11 - %

3. Convertiți numărul binar în sistemul numeric hexazecimal:
0111 1010 0001 = 7A1

Răspuns. 7A1 16.

Sarcina 2.În grădină sunt 100 x pomi fructiferi, dintre care 33 x sunt meri, 22 x sunt peri, 16 x sunt pruni, 17 x sunt cireși. Care este baza sistemului numeric (x).

Soluţie.

1. Rețineți că toți termenii sunt numere din două cifre. În orice sistem numeric ele pot fi reprezentate după cum urmează:
a * x 1 + b * x 0 = ax + b, unde a și b sunt cifrele cifrelor corespunzătoare numărului.
Pentru un număr din trei cifre ar fi așa:
a * x 2 + b * x 1 + c * x 0 = ax 2 + bx + c

2. Starea problemei este:
33 x + 22 x + 16 x + 17 x = 100 x
Să înlocuim numerele în formule:
3x + 3 + 2x +2 + 1x + 6 + 1x + 7 = 1x 2 + 0x + 0
7x + 18 = x 2

3. Rezolvați ecuația pătratică:
-x2 + 7x + 18 = 0
D = 7 2 – 4 * (-1) * 18 = 49 + 72 = 121. Rădăcina pătrată a lui D este 11.
Rădăcinile unei ecuații pătratice:
x = (-7 + 11) / (2 * (-1)) = -2 sau x = (-7 - 11) / (2 * (-1)) = 9

4. Un număr negativ nu poate sta la baza unui sistem numeric. Prin urmare, x poate fi doar egal cu 9.

Răspuns. Baza necesară a sistemului numeric este 9.

Sarcina 3.Într-un sistem numeric cu o anumită bază, numărul zecimal 12 este scris ca 110. Găsiți această bază.

Soluţie.

În primul rând, vom scrie numărul 110 prin formula de scriere a numerelor în sisteme numerice poziționale pentru a găsi valoarea în sistemul numeric zecimal, iar apoi vom găsi baza prin forță brută.

110 = 1 * x 2 + 1 * x 1 + 0 * x 0 = x 2 + x

Trebuie să obținem 12. Să încercăm 2: 2 2 + 2 = 6. Încercați 3: 3 2 + 3 = 12.

Aceasta înseamnă că baza sistemului numeric este 3.

Răspuns. Baza necesară a sistemului numeric este 3.

Sarcina 4.În ce sistem numeric ar fi reprezentat numărul zecimal 173 ca 445?

Soluţie.
Să notăm baza necunoscută ca X. Scriem următoarea ecuație:
173 10 = 4*X 2 + 4*X 1 + 5*X 0
Ținând cont de faptul că orice număr pozitiv la puterea zero este egal cu 1, vom rescrie ecuația (nu vom indica baza 10).
173 = 4*X 2 + 4*X + 5
Desigur, o astfel de ecuație pătratică poate fi rezolvată folosind un discriminant, dar există o soluție mai simplă. Scădeți 4 din partea dreaptă și stângă
169 = 4*X 2 + 4*X + 1 sau 13 2 = (2*X+1) 2
De aici obținem 2*X +1 = 13 (renunțăm la rădăcina negativă). Sau X = 6.
Răspuns: 173 10 = 445 6

Probleme privind găsirea mai multor baze ale sistemelor de numere

Există un grup de probleme în care trebuie să enumerați (în ordine crescătoare sau descrescătoare) toate bazele sistemelor numerice în care reprezentarea unui număr dat se termină cu o cifră dată. Această problemă este rezolvată destul de simplu. Mai întâi trebuie să scădeți cifra dată din numărul original. Numărul rezultat va fi prima bază a sistemului numeric. Și toate celelalte baze pot fi doar divizori ai acestui număr. (Această afirmație este dovedită pe baza regulii de conversie a numerelor dintr-un sistem numeric în altul - vezi paragraful 4). Amintește-ți asta baza sistemului numeric nu poate fi mai mică decât o cifră dată!

Exemplu
Separate prin virgule, în ordine crescătoare, indicați toate bazele sistemelor de numere în care numărul 24 se termină cu 3.

Soluţie
24 – 3 =21 este prima bază (13 21 = 13*21 1 +3*21 0 = 24).
21 este divizibil cu 3 și 7. Numărul 3 nu este potrivit, deoarece Nu există nicio cifră 3 în sistemul numeric de bază 3.
Răspuns: 7, 21

Scopul serviciului. Serviciul este conceput pentru a converti numerele dintr-un sistem de numere în altul online. Pentru a face acest lucru, selectați baza sistemului din care doriți să convertiți numărul. Puteți introduce atât numere întregi, cât și numere cu virgule.

Puteți introduce atât numere întregi, de exemplu 34, cât și numere fracționale, de exemplu, 637,333. Pentru numerele fracționale, este indicată precizia translației după virgulă zecimală.

Următoarele sunt, de asemenea, utilizate cu acest calculator:

Modalități de a reprezenta numere

Binar numere (binare) - fiecare cifră înseamnă valoarea unui bit (0 sau 1), bitul cel mai semnificativ este întotdeauna scris în stânga, litera „b” este plasată după număr. Pentru ușurința percepției, caietele pot fi separate prin spații. De exemplu, 1010 0101b.
hexazecimal numere (hexazecimale) - fiecare tetradă este reprezentată de un simbol 0...9, A, B, ..., F. Această reprezentare poate fi desemnată în moduri diferite, aici doar simbolul „h” este folosit după ultimul hexazecimal cifră. De exemplu, A5h. În textele programelor, același număr poate fi desemnat fie 0xA5, fie 0A5h, în funcție de sintaxa limbajului de programare. În stânga celei mai semnificative cifre hexazecimale reprezentate de literă se adaugă un zero (0) înainte de a face distincția între numere și nume simbolice.
Zecimal numere (zecimale) - fiecare octet (cuvânt, cuvânt dublu) este reprezentat de un număr obișnuit, iar semnul de reprezentare zecimal (litera „d”) este de obicei omis. Octetul din exemplele anterioare are o valoare zecimală de 165. Spre deosebire de notația binară și hexazecimală, zecimală este dificil de determinat mental valoarea fiecărui bit, ceea ce uneori este necesar.
Octal numere (octale) - fiecare triplu de biți (diviziunea începe de la cel mai puțin semnificativ) este scris ca un număr 0–7, cu un „o” la sfârșit. Același număr ar fi scris ca 245o. Sistemul octal este incomod deoarece octetul nu poate fi împărțit în mod egal.

Algoritm pentru conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul

Conversia numerelor zecimale întregi în orice alt sistem numeric se realizează prin împărțirea numărului la baza noului sistem numeric până când restul rămâne un număr mai mic decât baza noului sistem numeric. Noul număr se scrie ca resturi de împărțire, începând de la ultimul.
Conversia unei fracții zecimale obișnuite într-un alt PSS se realizează prin înmulțirea doar a părții fracționale a numărului cu baza noului sistem numeric până când toate zerourile rămân în partea fracțională sau până când este atinsă precizia de translație specificată. În urma fiecărei operații de înmulțire, se formează o cifră a unui număr nou, începând cu cea mai mare.
Translația necorespunzătoare a fracțiilor se efectuează conform regulilor 1 și 2. Părțile întregi și fracționale sunt scrise împreună, separate prin virgulă.

Exemplul nr. 1.



Conversie de la 2 la 8 la 16 sistem de numere.
Aceste sisteme sunt multipli de doi, prin urmare traducerea se realizează folosind un tabel de corespondență (vezi mai jos).

Pentru a converti un număr din sistemul de numere binar în sistemul de numere octal (hexazecimal), este necesar să împărțiți numărul binar de la punctul zecimal la dreapta și la stânga în grupuri de trei (patru pentru hexazecimal) cifre, completând grupurile exterioare. cu zerouri dacă este necesar. Fiecare grup este înlocuit cu cifra octală sau hexazecimală corespunzătoare.

Exemplul nr. 2. 1010111010.1011 = 1.010.111.010.101.1 = 1272.51 8
aici 001=1; 010=2; 111=7; 010=2; 101=5; 001=1

Când convertiți la sistemul hexazecimal, trebuie să împărțiți numărul în părți de patru cifre, urmând aceleași reguli.
Exemplul nr. 3. 1010111010,1011 = 10.1011.1010,1011 = 2B12,13 HEX
aici 0010=2; 1011=B; 1010=12; 1011=13

Convertirea numerelor de la 2, 8 și 16 în sistemul numeric zecimal se face prin împărțirea numărului în unele separate și înmulțirea acestuia cu baza sistemului (din care este tradus numărul) ridicată la puterea corespunzătoare numărului său de serie în număr care se convertește. În acest caz, numerele sunt numerotate la stânga virgulei zecimale (primul număr este numerotat cu 0) cu creștere și la dreapta cu descreștere (adică cu semn negativ). Rezultatele obţinute se adună.

Exemplul nr. 4.
Un exemplu de conversie din sistem de numere binar în zecimal.

1010010.101 2 = 1·2 6 +0·2 5 +1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +0·2 0 + 1·2 -1 +0·2 - 2 + 1 2 -3 =
= 64+0+16+0+0+2+0+0,5+0+0,125 = 82,625 10 Un exemplu de conversie din sistemul de numere octal în zecimal. 108,5 8 = 1*·8 2 +0·8 1 +8·8 0 + 5·8 -1 = 64+0+8+0,625 = 72,625 10 Un exemplu de conversie din sistemul numeric hexazecimal în zecimal. 108,5 16 = 1·16 2 +0·16 1 +8·16 0 + 5·16 -1 = 256+0+8+0,3125 = 264,3125 10

Încă o dată repetăm ​​algoritmul de conversie a numerelor dintr-un sistem numeric în altul PSS

1. Din sistemul numeric zecimal:
   • împărțiți numărul la baza sistemului numeric care este tradus;
   • găsiți restul la împărțirea unei părți întregi a unui număr;
   • notează toate resturile din împărțire în ordine inversă;
2. Din sistemul de numere binar
   • Pentru a converti în sistemul numeric zecimal, este necesar să găsiți suma produselor din baza 2 cu gradul corespunzător al cifrei;
   • Pentru a converti un număr în octal, trebuie să împărțiți numărul în triade.
     De exemplu, 1000110 = 1.000 110 = 106 8
   • Pentru a converti un număr din binar în hexazecimal, trebuie să împărțiți numărul în grupuri de 4 cifre.
     De exemplu, 1000110 = 100 0110 = 46 16

Sistemul se numește pozițional, pentru care semnificația sau greutatea unei cifre depinde de locația acesteia în număr. Relația dintre sisteme este exprimată într-un tabel.
Tabelul de corespondență al sistemului numeric:

SS binar	SS hexazecimal
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

Tabel pentru conversia în sistemul de numere octale

Exemplul nr. 2. Convertiți numărul 100,12 din sistemul numeric zecimal în sistemul numeric octal și invers. Explicați motivele discrepanțelor.
Soluţie.
Etapa 1. .

Scriem restul diviziunii în ordine inversă. Obținem numărul în al 8-lea sistem numeric: 144
100 = 144 8

Pentru a converti partea fracțională a unui număr, înmulțim secvențial partea fracțională cu baza 8. Drept urmare, de fiecare dată notăm întreaga parte a produsului.
0,12*8 = 0,96 (parte întreagă 0 )
0,96*8 = 7,68 (parte întreagă 7 )
0,68*8 = 5,44 (parte întreagă 5 )
0,44*8 = 3,52 (parte întreagă 3 )
Primim numărul în al 8-lea sistem numeric: 0753.
0.12 = 0.753 8

100,12 10 = 144,0753 8

Etapa 2. Conversia unui număr din sistemul numeric zecimal în sistemul numeric octal.
Conversie inversă de la sistemul de numere octale la zecimal.

Pentru a traduce o parte întreagă, trebuie să înmulțiți cifra unui număr cu gradul corespunzător al cifrei.
144 = 8 2 *1 + 8 1 *4 + 8 0 *4 = 64 + 32 + 4 = 100

Pentru a converti partea fracțională, trebuie să împărțiți cifra numărului la gradul corespunzător al cifrei
0753 = 8 -1 *0 + 8 -2 *7 + 8 -3 *5 + 8 -4 *3 = 0.119873046875 = 0.1199

144,0753 8 = 100,96 10
Diferența de 0,0001 (100,12 - 100,1199) este explicată printr-o eroare de rotunjire la conversia la sistemul de numere octale. Această eroare poate fi redusă dacă luați un număr mai mare de cifre (de exemplu, nu 4, ci 8).