Compararea numerelor după notația lor. Comparația numerelor. Cel mai mare număr întreg negativ și cel mai mic număr pozitiv

Valoarea absolută a unui număr

Modulul numărului a notează $|a|$. liniuțele verticale la dreapta și la stânga numărului formează semnul modulului.

De exemplu, modulul oricărui număr (natural, întreg, rațional sau irațional) se scrie după cum urmează: $|5|$, $|-11|$, $|2.345|$, $|\sqrt(45)|$ .

Definiția 1

Modulul numărului a egal cu numărul $a$ însuși dacă $a$ este pozitiv, numărul $−a$ dacă $a$ este negativ sau $0$ dacă $a=0$.

Această definiție a modulului unui număr poate fi scrisă după cum urmează:

$|a|= \begin(cases) a, & a > 0, \\ 0, & a=0,\\ -a, &a

Puteți folosi o notație mai scurtă:

$|a|=\begin(cases) a, & a \geq 0 \\ -a, & a

Exemplul 1

Calculați modulul numerelor $23$ și $-3.45$.

Soluţie.

Să găsim modulul numărului $23$.

Numărul $23$ este pozitiv, prin urmare, prin definiție, modulul unui număr pozitiv este egal cu acest număr:

Să găsim modulul numărului $–3,45$.

Numărul $–3,45$ este un număr negativ, prin urmare, conform definiției, modulul unui număr negativ este egal cu numărul opus celui dat:

Răspuns: $|23|=23$, $|-3,45|=3,45$.

Definiția 2

Modulul unui număr este valoarea absolută a unui număr.

Astfel, modulul unui număr este un număr sub semnul modulului fără a lua în considerare semnul acestuia.

Modulul unui număr ca distanță

Valoarea geometrică a modulului unui număr: Modulul unui număr este distanța.

Definiția 3

Modulul numărului a– aceasta este distanța de la punctul de referință (zero) pe linia numerică până la punctul care corespunde numărului $a$.

Exemplul 2

De exemplu, modulul numărului $12$ este egal cu $12$, deoarece distanța de la punctul de referință la punctul cu coordonata $12$ este de douăsprezece:

Punctul cu coordonata $−8.46$ este situat la o distanță de $8.46$ de origine, deci $|-8.46|=8.46$.

Modulul unui număr ca rădăcină pătrată aritmetică

Definiția 4

Modulul numărului a este rădăcina pătrată aritmetică a lui $a^2$:

$|a|=\sqrt(a^2)$.

Exemplul 3

Calculați modulul numărului $–14$ folosind definiția modulului unui număr prin rădăcina pătrată.

Soluţie.

$|-14|=\sqrt(((-14)^2)=\sqrt((-14) \cdot (-14))=\sqrt(14 \cdot 14)=\sqrt((14)^2 )=14$.

Răspuns: $|-14|=14$.

Compararea numerelor negative

Comparația numerelor negative se bazează pe compararea modulelor acestor numere.

Nota 1

Regula pentru compararea numerelor negative:

Dacă modulul unuia dintre numerele negative este mai mare, atunci acel număr este mai mic;
dacă modulul unuia dintre numerele negative este mai mic, atunci un astfel de număr este mare;
dacă modulele numerelor sunt egale, atunci numerele negative sunt egale.

Nota 2

Pe linia numerică, numărul negativ mai mic se află la stânga numărului negativ mai mare.

Exemplul 4

Comparați numerele negative $−27$ și $−4$.

Soluţie.

Conform regulii de comparare a numerelor negative, vom găsi mai întâi valorile absolute ale numerelor $–27$ și $–4$, apoi vom compara numerele pozitive rezultate.

Astfel, obținem acel $–27 |-4|$.

Răspuns: $–27

Când comparați numere raționale negative, trebuie să convertiți ambele numere în fracții sau zecimale.

Compararea numerelor este una dintre cele mai simple și mai plăcute subiecte dintr-un curs de matematică. Cu toate acestea, trebuie spus că nu este atât de simplu. De exemplu, puțini oameni au dificultăți în a compara numerele pozitive cu o singură cifră sau două cifre.

Dar numerele cu multe cifre provoacă deja probleme; adesea oamenii devin confuzi când compară numere negative și nu-și amintesc cum să compare două numere cu semne diferite. Vom încerca să răspundem la toate aceste întrebări.

Reguli pentru compararea numerelor pozitive

Să începem cu cele mai simple - cu numere care nu au niciun semn în față, adică cu numere pozitive.

În primul rând, merită să ne amintim că toate numerele pozitive sunt prin definiție mai mari decât zero, chiar dacă vorbim despre un număr fracționar fără un număr întreg. De exemplu, fracția zecimală 0,2 va fi mai mare decât zero, deoarece pe linia de coordonate punctul corespunzător este încă la două mici diviziuni distanță de zero.
Dacă vorbim despre compararea a două numere pozitive cu un număr mare de semne, atunci trebuie să comparați fiecare dintre cifre. De exemplu, 32 și 33. Locul zecilor pentru aceste numere este același, dar numărul 33 este mai mare, deoarece în locul celor sunt mai multe „3” decât „2”.
Cum se compară două fracții zecimale? Aici trebuie să vă uitați în primul rând la întreaga parte - de exemplu, fracția 3,5 va fi mai mică de 4,6. Ce se întâmplă dacă întreaga parte este aceeași, dar zecimalele sunt diferite? În acest caz, se aplică regula pentru numere întregi - trebuie să comparați semnele după cifre până când sunt descoperite zecimi, sutimi, miimi din ce în ce mai mari. De exemplu - 4,86 este mai mare decât 4,75, deoarece opt zecimi este mai mare decât șapte.

Compararea numerelor negative

Dacă într-o problemă avem anumite numere -a și -c și trebuie să stabilim care dintre ele este mai mare, atunci se aplică regula universală. Mai întâi, modulele acestor numere sunt scrise - |a| și |s| - și comparați unul cu altul. Numărul al cărui modul este mai mare va fi mai mic în comparație cu numerele negative și invers - numărul mai mare va fi cel al cărui modul este mai mic.

Ce să faci dacă trebuie să compari un număr negativ și unul pozitiv?

Există o singură regulă care funcționează aici și este elementară. Numerele pozitive sunt întotdeauna mai mari decât numerele cu semnul minus - indiferent ce sunt. De exemplu, numărul „1” va fi întotdeauna mai mare decât numărul „-1458” pur și simplu pentru că unul este la dreapta lui zero pe linia de coordonate.

De asemenea, trebuie să rețineți că orice număr negativ este întotdeauna mai mic decât zero.

Când rezolvați ecuații și inegalități, precum și probleme cu module, trebuie să plasați rădăcinile găsite pe dreapta numerică. După cum știți, rădăcinile găsite pot fi diferite. Ele pot fi astfel: , sau pot fi astfel: , .

În consecință, dacă numerele nu sunt raționale, ci iraționale (dacă ați uitat ce sunt, uitați-vă în subiect) sau sunt expresii matematice complexe, atunci plasarea lor pe linia numerică este foarte problematică. Mai mult, nu puteți folosi calculatoare în timpul examenului, iar calculele aproximative nu oferă garanții de 100% că un număr este mai mic decât altul (ce se întâmplă dacă există o diferență între numerele comparate?).

Desigur, știți că numerele pozitive sunt întotdeauna mai mari decât cele negative și că, dacă ne imaginăm o axă a numerelor, atunci când comparăm, cele mai mari numere vor fi situate la dreapta decât cele mai mici: ; ; etc.

Dar este totul întotdeauna atât de ușor? Unde pe linia numerică marcam, .

Cum pot fi comparate, de exemplu, cu un număr? Aceasta este problema...)

Mai întâi, hai să vorbim schiță generală cum și ce să compari.

Important: este indicat să faceți transformări astfel încât semnul inegalității să nu se schimbe! Adică, în timpul transformărilor nu este de dorit să se înmulțească cu un număr negativ și este interzis pătrat dacă una dintre părți este negativă.

Comparația fracțiilor

Deci, trebuie să comparăm două fracții: și.

Există mai multe opțiuni pentru a face acest lucru.

Opțiunea 1. Reduceți fracțiile la un numitor comun.

Să o scriem sub forma unei fracții obișnuite:

- (după cum vedeți, am redus și numărătorul și numitorul).

Acum trebuie să comparăm fracțiile:

Acum putem continua să comparăm în două moduri. Putem:

doar aduceți totul la un numitor comun, prezentând ambele fracții ca improprie (numărătorul este mai mare decât numitorul):
Care număr este mai mare? Așa e, cel cu numărătorul mai mare, adică primul.
„să aruncăm” (luați în considerare că am scăzut una din fiecare fracție și, în consecință, raportul dintre fracții nu s-a schimbat) și comparați fracțiile:
De asemenea, le aducem la un numitor comun:
Am obținut exact același rezultat ca în cazul precedent - primul număr este mai mare decât al doilea:
Să verificăm și dacă am scăzut unul corect? Să calculăm diferența numărătorului din primul calcul și al doilea:
1)
2)

Deci, ne-am uitat la cum să comparăm fracțiile, aducându-le la un numitor comun. Să trecem la o altă metodă - compararea fracțiilor, aducându-le la un... numărător comun.

Opțiunea 2. Compararea fracțiilor prin reducerea la un numărător comun.

Da Da. Aceasta nu este o greșeală de tipar. Această metodă este rareori predată oricui la școală, dar de foarte multe ori este foarte convenabilă. Pentru a înțelege rapid esența acesteia, vă voi pune o singură întrebare - „în ce cazuri este valoarea unei fracții mai mare?” Desigur, veți spune „când numărătorul este cât mai mare posibil și numitorul cât mai mic posibil”.

De exemplu, poți spune cu siguranță că este adevărat? Ce se întâmplă dacă trebuie să comparăm următoarele fracții: ? Cred că veți pune imediat și semnul corect, pentru că în primul caz sunt împărțite în părți, iar în al doilea în întregi, ceea ce înseamnă că în al doilea caz piesele se dovedesc a fi foarte mici și, în consecință: . După cum puteți vedea, numitorii de aici sunt diferiți, dar numărătorii sunt aceiași. Cu toate acestea, pentru a compara aceste două fracții, nu trebuie să căutați un numitor comun. Deși... găsește-l și vezi dacă semnul de comparație este încă greșit?

Dar semnul este același.

Să revenim la sarcina noastră inițială - comparați și... Vom compara și... Să reducem aceste fracții nu la un numitor comun, ci la un numărător comun. Pentru a face acest lucru simplu numărător și numitorînmulțiți prima fracție cu. Primim:

Și. Care fracție este mai mare? Așa este, primul.

Opțiunea 3: Compararea fracțiilor folosind scăderea.

Cum se compară fracțiile folosind scăderea? Da, foarte simplu. Scădem altul dintr-o fracție. Dacă rezultatul este pozitiv, atunci prima fracție (minuend) este mai mare decât a doua (subtraend), iar dacă este negativ, atunci invers.

În cazul nostru, să încercăm să scădem prima fracție din a doua: .

După cum înțelegeți deja, convertim și într-o fracție obișnuită și obținem același rezultat - . Expresia noastră ia forma:

În continuare, va trebui să recurgem în continuare la reducerea la un numitor comun. Întrebarea este: în primul mod, conversia fracțiilor în unele improprii, sau în al doilea mod, ca și cum ar fi „eliminarea” unității? Apropo, această acțiune are o justificare complet matematică. Uite:

Îmi place mai mult a doua opțiune, deoarece înmulțirea la numărător atunci când este redusă la un numitor comun devine mult mai ușoară.

Să o aducem la un numitor comun:

Principalul lucru aici este să nu ne confuzi cu privire la ce număr am scăzut și unde. Priviți cu atenție progresul soluției și nu confundați accidental semnele. Am scăzut primul număr din al doilea și am primit un răspuns negativ, deci?.. Așa e, primul număr este mai mare decât al doilea.

Am înţeles? Încercați să comparați fracții:

Opreste opreste. Nu vă grăbiți să aduceți la un numitor comun sau să scădeți. Uite: îl poți converti cu ușurință într-o fracție zecimală. Cât va dura? Dreapta. Ce mai e până la urmă?

Aceasta este o altă opțiune - compararea fracțiilor prin conversia la o zecimală.

Opțiunea 4: Compararea fracțiilor folosind diviziunea.

Da Da. Și acest lucru este posibil. Logica este simplă: când împărțim un număr mai mare la un număr mai mic, răspunsul pe care îl obținem este un număr mai mare decât unu, iar dacă împărțim un număr mai mic la un număr mai mare, atunci răspunsul cade pe intervalul de la până la.

Pentru a reține această regulă, luați oricare două numere prime pentru comparație, de exemplu, și. Știi ce e mai mult? Acum să împărțim la. Răspunsul nostru este. Prin urmare, teoria este corectă. Dacă împărțim la, ceea ce obținem este mai puțin de unu, ceea ce, la rândul său, confirmă că este de fapt mai puțin.

Să încercăm să aplicăm această regulă fracțiilor obișnuite. Să comparăm:

Împărțiți prima fracție la a doua:

Să scurtăm din când în când.

Rezultatul obținut este mai mic, ceea ce înseamnă că dividendul este mai mic decât divizorul, adică:

Am analizat toate opțiunile posibile pentru compararea fracțiilor. Cum le vezi 5:

reducerea la un numitor comun;
reducerea la un numărător comun;
reducerea la forma unei fracții zecimale;
scădere;
Divizia.

Gata de antrenament? Comparați fracțiile în mod optim:

Să comparăm răspunsurile:

(- converti la zecimală)
(împărțiți o fracție la alta și reduceți cu numărător și numitor)
(selectați întreaga parte și comparați fracțiile pe baza principiului aceluiași numărător)
(împărțiți o fracție la alta și reduceți cu numărător și numitor).

2. Compararea gradelor

Acum imaginați-vă că trebuie să comparăm nu doar numere, ci și expresii în care există un grad ().

Desigur, puteți pune cu ușurință un semn:

La urma urmei, dacă înlocuim gradul cu înmulțire, obținem:

Din acest exemplu mic și primitiv, regula urmează:

Acum încercați să comparați următoarele: . De asemenea, puteți pune cu ușurință un semn:

Pentru că dacă înlocuim exponențiația cu înmulțirea...

În general, înțelegi totul și nu este deloc dificil.

Dificultățile apar doar atunci când, la comparare, gradele au baze și indicatori diferiți. În acest caz, este necesar să se încerce să conducă la un teren comun. De exemplu:

Desigur, știți că aceasta, în consecință, expresia ia forma:

Să deschidem parantezele și să comparăm ceea ce obținem:

Un caz oarecum special este atunci când baza gradului () este mai mică de unu.

Dacă, atunci de două grade și mai mare este cel al cărui indice este mai mic.

Să încercăm să demonstrăm această regulă. Lasa.

Să introducem un număr natural ca diferență între și.

Logic, nu-i așa?

Și acum să fim din nou atenți la starea - .

Respectiv: . Prin urmare, .

De exemplu:

După cum înțelegeți, am considerat cazul când bazele gradelor sunt egale. Acum să vedem când baza este în intervalul de la până la, dar exponenții sunt egali. Totul este foarte simplu aici.

Să ne amintim cum să comparăm asta folosind un exemplu:

Desigur, ai făcut calculul rapid:

Prin urmare, atunci când întâlniți probleme similare pentru comparație, țineți cont de un exemplu simplu similar pe care îl puteți calcula rapid și, pe baza acestui exemplu, puneți semne într-unul mai complex.

Când efectuați transformări, amintiți-vă că dacă înmulțiți, adunați, scădeți sau împărțiți, atunci toate acțiunile trebuie făcute atât cu partea stângă, cât și cu partea dreaptă (dacă înmulțiți cu, atunci trebuie să le înmulțiți pe ambele).

În plus, există cazuri când este pur și simplu neprofitabil să faci orice manipulări. De exemplu, trebuie să comparați. În acest caz, nu este atât de dificil să ridici la o putere și să aranjezi semnul pe baza acestui lucru:

Sa exersam. Comparați grade:

Ești gata să compari răspunsurile? Iată ce am primit:

- la fel ca
- la fel ca
- la fel ca
- la fel ca

3. Compararea numerelor cu rădăcinile

În primul rând, să ne amintim ce sunt rădăcinile? Îți amintești această înregistrare?

Rădăcina unei puteri a unui număr real este un număr pentru care egalitatea este valabilă.

Rădăcini de grad impar există pentru numere negative și pozitive și chiar și rădăcini- doar pentru cele pozitive.

Valoarea rădăcinii este adesea o zecimală infinită, ceea ce face dificilă calcularea cu precizie, deci este important să puteți compara rădăcinile.

Dacă ai uitat ce este și cu ce se mănâncă - . Dacă vă amintiți totul, să învățăm să comparăm rădăcinile pas cu pas.

Să presupunem că trebuie să comparăm:

Pentru a compara aceste două rădăcini, nu trebuie să faceți niciun calcul, doar să analizați conceptul de „rădăcină” în sine. Înțelegi despre ce vorbesc? Da, despre asta: altfel se poate scrie ca a treia putere a unui număr, egală cu expresia radicală.

Ce e mai mult? sau? Desigur, puteți compara acest lucru fără nicio dificultate. Cu cât este mai mare numărul pe care îl ridicăm la o putere, cu atât valoarea va fi mai mare.

Asa de. Să derivăm o regulă.

Dacă exponenții rădăcinilor sunt aceiași (în cazul nostru, acesta este), atunci este necesar să comparăm expresiile radicalilor (și) - cu cât numărul radicalului este mai mare, cu atât valoarea rădăcinii cu exponenți egali este mai mare.

Greu de reținut? Atunci păstrează un exemplu în cap și... Asta mai mult?

Exponenții rădăcinilor sunt aceiași, deoarece rădăcina este pătrată. Expresia radicală a unui număr () este mai mare decât a altuia (), ceea ce înseamnă că regula este cu adevărat adevărată.

Ce se întâmplă dacă expresiile radicale sunt aceleași, dar gradele rădăcinilor sunt diferite? De exemplu: .

De asemenea, este destul de clar că la extragerea unei rădăcini de un grad mai mare, se va obține un număr mai mic. Să luăm de exemplu:

Să notăm valoarea primei rădăcini ca și a doua - ca, atunci:

Puteți vedea cu ușurință că trebuie să fie mai multe în aceste ecuații, prin urmare:

Dacă expresiile radicale sunt aceleași(în cazul nostru), iar exponenții rădăcinilor sunt diferiți(în cazul nostru acesta este și), atunci este necesar să se compare exponenții(Și) - cu cât indicatorul este mai mare, cu atât această expresie este mai mică.

Încercați să comparați următoarele rădăcini:

Să comparăm rezultatele?

Am rezolvat asta cu succes :). Apare o altă întrebare: ce se întâmplă dacă toți suntem diferiți? Atât gradul, cât și expresia radicală? Nu totul este atât de complicat, trebuie doar să... „scăpăm” de rădăcină. Da Da. Doar scapă de el)

Dacă avem grade și expresii radicale diferite, trebuie să găsim cel mai mic multiplu comun (citiți secțiunea despre) pentru exponenții rădăcinilor și să ridicăm ambele expresii la o putere egală cu cel mai mic multiplu comun.

Că suntem cu toții în cuvinte și cuvinte. Iată un exemplu:

Ne uităm la indicatorii rădăcinilor - și. Cel mai mic multiplu comun al acestora este .
Să ridicăm ambele expresii la o putere:
Să transformăm expresia și să deschidem parantezele (mai multe detalii în capitol):
Să numărăm ceea ce am făcut și să punem un semn:

4. Compararea logaritmilor

Deci, încet, dar sigur, am ajuns la întrebarea cum să comparăm logaritmii. Dacă nu vă amintiți ce fel de animal este acesta, vă sfătuiesc să citiți mai întâi teoria din secțiune. Ai citit-o? Apoi răspunde la câteva întrebări importante:

Care este argumentul unui logaritm și care este baza acestuia?
Ce determină dacă o funcție crește sau scade?

Dacă îți amintești totul și l-ai stăpânit perfect, hai să începem!

Pentru a compara logaritmii între ei, trebuie să cunoașteți doar 3 tehnici:

reducerea la aceeași bază;
reducerea la același argument;
comparație cu al treilea număr.

Inițial, acordați atenție bazei logaritmului. Vă amintiți că dacă este mai puțin, atunci funcția scade, iar dacă este mai mult, atunci crește. Pe asta se vor baza judecățile noastre.

Să luăm în considerare o comparație a logaritmilor care au fost deja reduse la aceeași bază sau argument.

Pentru început, să simplificăm problema: lăsați logaritmii comparați temeiuri egale. Apoi:

Funcția, pentru, crește pe intervalul de la, ceea ce înseamnă, prin definiție, apoi („comparație directă”).
Exemplu:- temeiurile sunt aceleași, comparăm argumentele în consecință: , prin urmare:
Funcția, la, scade pe intervalul de la, ceea ce înseamnă, prin definiție, apoi („comparație inversă”). - bazele sunt aceleași, comparăm argumentele în consecință: totuși, semnul logaritmilor va fi „invers”, deoarece funcția este descrescătoare: .

Acum luați în considerare cazurile în care motivele sunt diferite, dar argumentele sunt aceleași.

Baza este mai mare.
- . În acest caz folosim „comparație inversă”. De exemplu: - argumentele sunt aceleași, și. Să comparăm bazele: totuși, semnul logaritmilor va fi „invers”:
Baza a este în gol.
- . În acest caz folosim „comparație directă”. De exemplu:
- . În acest caz folosim „comparație inversă”. De exemplu:

Să scriem totul într-o formă tabelară generală:

, în care	, în care

În consecință, după cum ați înțeles deja, atunci când comparăm logaritmi, trebuie să ducem la aceeași bază sau argument.Ajungem la aceeași bază folosind formula pentru trecerea de la o bază la alta.

De asemenea, puteți compara logaritmii cu al treilea număr și, pe baza acestuia, să trageți o concluzie despre ce este mai puțin și ce este mai mult. De exemplu, gândiți-vă cum să comparați acești doi logaritmi?

Un mic indiciu - pentru comparație, un logaritm vă va ajuta foarte mult, al cărui argument va fi egal.

Gând? Să decidem împreună.

Putem compara cu ușurință acești doi logaritmi cu tine:

Nu stii cum? Vezi deasupra. Tocmai am rezolvat asta. Ce semn va fi? Dreapta:

De acord?

Să comparăm unul cu celălalt:

Ar trebui să obțineți următoarele:

Acum combină toate concluziile noastre într-una singură. S-a întâmplat?

5. Compararea expresiilor trigonometrice.

Ce este sinus, cosinus, tangentă, cotangentă? De ce avem nevoie de un cerc unitar și cum să găsim valoarea funcțiilor trigonometrice pe el? Dacă nu cunoașteți răspunsurile la aceste întrebări, vă recomand cu căldură să citiți teoria pe acest subiect. Și dacă știi, atunci compararea expresiilor trigonometrice între ele nu este dificilă pentru tine!

Să ne împrospătăm puțin memoria. Să desenăm un cerc trigonometric unitar și un triunghi înscris în el. Ai reușit? Acum marcați pe ce parte trasăm cosinusul și pe ce parte sinusul, folosind laturile triunghiului. (desigur, vă amintiți că sinusul este raportul dintre latura opusă ipotenuzei, iar cosinusul este latura adiacentă?). L-ai desenat? Grozav! Atingerea finală este să punem jos unde îl vom avea, unde și așa mai departe. L-ai pus jos? Puff) Să comparăm ce sa întâmplat cu tine și cu mine.

Pf! Acum să începem comparația!

Să spunem că trebuie să comparăm și. Desenați aceste unghiuri folosind indicațiile din casete (unde am marcat unde), plasând puncte pe cercul unității. Ai reușit? Iată ce am primit.

Acum să aruncăm o perpendiculară din punctele pe care le-am marcat pe cerc pe axă... Care? Care axă arată valoarea sinusurilor? Dreapta, . Acesta este ceea ce ar trebui să obțineți:

Privind această poză, care este mai mare: sau? Desigur, pentru că punctul este deasupra punctului.

Într-un mod similar, comparăm valoarea cosinusurilor. Coborâm doar perpendiculara pe axă... Așa e, . În consecință, ne uităm la ce punct este la dreapta (sau mai sus, ca în cazul sinusurilor), atunci valoarea este mai mare.

Probabil că știi deja să compari tangente, nu? Tot ce trebuie să știi este ce este o tangentă. Deci, ce este o tangentă?) Așa este, raportul dintre sinus și cosinus.

Pentru a compara tangente, desenăm un unghi în același mod ca în cazul precedent. Să presupunem că trebuie să comparăm:

L-ai desenat? Acum marchem și valorile sinusului pe axa de coordonate. Ai observat? Acum indicați valorile cosinusului pe linia de coordonate. S-a întâmplat? Să comparăm:

Acum analizează ce ai scris. - împărțim un segment mare într-unul mic. Răspunsul va conține o valoare care este cu siguranță mai mare decât unu. Dreapta?

Și când îl împărțim pe cel mic cu cel mare. Răspunsul va fi un număr care este exact mai mic decât unu.

Deci, care expresie trigonometrică are valoarea mai mare?

Dreapta:

După cum înțelegeți acum, compararea cotangenților este același lucru, doar invers: ne uităm la modul în care segmentele care definesc cosinusul și sinusul se relaționează între ele.

Încercați să comparați singur următoarele expresii trigonometrice:

Exemple.

Răspunsuri.

COMPARAȚIA NUMERELOR. NIVEL MEDIU.

Care număr este mai mare: sau? Răspunsul este evident. Și acum: sau? Nu mai este atât de evident, nu? Deci: sau?

Adesea trebuie să știți care expresie numerică este mai mare. De exemplu, pentru a plasa punctele de pe axă în ordinea corectă la rezolvarea unei inegalități.

Acum vă voi învăța cum să comparați astfel de numere.

Dacă trebuie să comparați numere și, punem un semn între ele (derivat din cuvântul latin Versus sau prescurtat vs. - împotriva): . Acest semn înlocuiește semnul de inegalitate necunoscut (). În continuare, vom efectua transformări identice până când devine clar care semn trebuie plasat între numere.

Esența comparării numerelor este aceasta: tratăm semnul ca și cum ar fi un fel de semn de inegalitate. Și cu expresia putem face tot ce facem de obicei cu inegalități:

adăugați orice număr de ambele părți (și, desigur, putem scădea și noi)
„mutați totul într-o parte”, adică scădeți una dintre expresiile comparate din ambele părți. În locul expresiei scăzute va rămâne: .
înmulțiți sau împărțiți cu același număr. Dacă acest număr este negativ, semnul inegalității este inversat: .
ridicați ambele părți la aceeași putere. Dacă această putere este egală, trebuie să vă asigurați că ambele părți au același semn; dacă ambele părți sunt pozitive, semnul nu se schimbă atunci când este ridicat la o putere, dar dacă sunt negative, atunci se schimbă la opus.
extrageți rădăcina de același grad din ambele părți. Dacă extragem o rădăcină de grad par, trebuie mai întâi să ne asigurăm că ambele expresii sunt nenegative.
orice alte transformări echivalente.

Important: este indicat să faceți transformări astfel încât semnul inegalității să nu se schimbe! Adică, în timpul transformărilor, nu este de dorit să se înmulțească cu un număr negativ și nu îl puteți pătra dacă una dintre părți este negativă.

Să ne uităm la câteva situații tipice.

1. Exponentiație.

Exemplu.

Care este mai mult: sau?

Soluţie.

Deoarece ambele părți ale inegalității sunt pozitive, o putem pătra pentru a scăpa de rădăcina:

Exemplu.

Care este mai mult: sau?

Soluţie.

Și aici îl putem pătra, dar asta ne va ajuta doar să scăpăm de rădăcina pătrată. Aici este necesar să o ridicați într-un asemenea grad încât ambele rădăcini să dispară. Aceasta înseamnă că exponentul acestui grad trebuie să fie divizibil atât cu (gradul primei rădăcini) cât și cu. Acest număr este, prin urmare, ridicat la puterea a-lea:

2. Înmulțirea prin conjugatul său.

Exemplu.

Care este mai mult: sau?

Soluţie.

Să înmulțim și să împărțim fiecare diferență la suma conjugată:

Evident, numitorul din partea dreaptă este mai mare decât numitorul din stânga. Prin urmare, fracția din dreapta este mai mică decât cea din stânga:

3. Scăderea

Să ne amintim asta.

Exemplu.

Care este mai mult: sau?

Soluţie.

Desigur, am putea pătra totul, să ne regrupăm și să-l pătram din nou. Dar poți face ceva mai inteligent:

Se poate observa că în partea stângă fiecare termen este mai mic decât fiecare termen în partea dreaptă.

În consecință, suma tuturor termenilor din partea stângă este mai mică decât suma tuturor termenilor din partea dreaptă.

Dar fii atent! Am fost întrebați ce mai...

Partea dreaptă este mai mare.

Exemplu.

Comparați numerele și...

Soluţie.

Să ne amintim formulele de trigonometrie:

Să verificăm în ce sferturi de pe cercul trigonometric punctele și se află.

4. Diviziune.

Aici folosim și o regulă simplă: .

La sau, adică.

Când semnul se schimbă: .

Exemplu.

Comparați: .

Soluţie.

5. Compară numerele cu al treilea număr

Dacă și, atunci (legea tranzitivității).

Exemplu.

Comparaţie.

Soluţie.

Să comparăm numerele nu între ele, ci cu numărul.

Este evident că.

Pe de altă parte, .

Exemplu.

Care este mai mult: sau?

Soluţie.

Ambele numere sunt mai mari, dar mai mici. Să selectăm un număr astfel încât să fie mai mare decât unul, dar mai mic decât celălalt. De exemplu, . Sa verificam:

6. Ce să faci cu logaritmii?

Nimic special. Cum să scapi de logaritmi este descris în detaliu în subiect. Regulile de bază sunt:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^) b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \wedge (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \wedge y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

De asemenea, putem adăuga o regulă despre logaritmi cu baze diferite și același argument:

Poate fi explicat astfel: cu cât baza este mai mare, cu atât mai mult grad mai mic va trebui construit pentru a obține același lucru. Dacă baza este mai mică, atunci este adevărat opusul, deoarece funcția corespunzătoare este monoton în scădere.

Exemplu.

Comparați numerele: și.

Soluţie.

Conform regulilor de mai sus:

Și acum formula pentru avansați.

Regula pentru compararea logaritmilor poate fi scrisă mai pe scurt:

Exemplu.

Care este mai mult: sau?

Soluţie.

Exemplu.

Comparați care număr este mai mare: .

Soluţie.

COMPARAȚIA NUMERELOR. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

1. Exponentiație

Dacă ambele părți ale inegalității sunt pozitive, ele pot fi pătrate pentru a scăpa de rădăcină

2. Înmulțirea prin conjugatul său

Un conjugat este un factor care completează expresia cu formula diferenței de pătrate: - conjugat pentru și invers, deoarece .

3. Scăderea

4. Diviziune

Când sau așa este

Când semnul se schimbă:

5. Comparație cu al treilea număr

Dacă și atunci

6. Compararea logaritmilor

Reguli de baza:

Logaritmi cu baze diferite și același argument.

Desigur, știți că numerele pozitive sunt întotdeauna mai mari decât cele negative și că dacă ne imaginăm o axă a numerelor, atunci când comparăm, cele mai mari numere vor fi la dreapta decât cele mai mici: ; ; etc.

Dar este totul întotdeauna atât de ușor? Unde pe linia numerică marcam, .

Cum pot fi comparate, de exemplu, cu un număr? Aceasta este problema...)

În primul rând, să vorbim în termeni generali despre cum și ce să comparăm.

Comparația fracțiilor

Deci, trebuie să comparăm două fracții: și.

Există mai multe opțiuni pentru a face acest lucru.

Opțiunea 1. Reduceți fracțiile la un numitor comun.

Să o scriem sub forma unei fracții obișnuite:

- (după cum vedeți, am redus și numărătorul și numitorul).

Acum trebuie să comparăm fracțiile:

Acum putem continua să comparăm în două moduri. Putem:

doar aduceți totul la un numitor comun, prezentând ambele fracții ca improprie (numărătorul este mai mare decât numitorul):
Care număr este mai mare? Așa e, cel cu numărătorul mai mare, adică primul.
„să aruncăm” (luați în considerare că am scăzut una din fiecare fracție și, în consecință, raportul dintre fracții nu s-a schimbat) și comparați fracțiile:
De asemenea, le aducem la un numitor comun:
Am obținut exact același rezultat ca în cazul precedent - primul număr este mai mare decât al doilea:
Să verificăm și dacă am scăzut unul corect? Să calculăm diferența numărătorului din primul calcul și al doilea:
1)
2)

Deci, ne-am uitat la cum să comparăm fracțiile, aducându-le la un numitor comun. Să trecem la o altă metodă - compararea fracțiilor, aducându-le la un... numărător comun.

Opțiunea 2. Compararea fracțiilor prin reducerea la un numărător comun.

Dar semnul este același.

Și. Care fracție este mai mare? Așa este, primul.

Opțiunea 3: Compararea fracțiilor folosind scăderea.

În cazul nostru, să încercăm să scădem prima fracție din a doua: .

După cum înțelegeți deja, convertim și într-o fracție obișnuită și obținem același rezultat - . Expresia noastră ia forma:

Îmi place mai mult a doua opțiune, deoarece înmulțirea la numărător atunci când este redusă la un numitor comun devine mult mai ușoară.

Să o aducem la un numitor comun:

Am înţeles? Încercați să comparați fracții:

Aceasta este o altă opțiune - compararea fracțiilor prin conversia la o zecimală.

Opțiunea 4: Compararea fracțiilor folosind diviziunea.

Să încercăm să aplicăm această regulă fracțiilor obișnuite. Să comparăm:

Împărțiți prima fracție la a doua:

Să scurtăm din când în când.

Rezultatul obținut este mai mic, ceea ce înseamnă că dividendul este mai mic decât divizorul, adică:

Am analizat toate opțiunile posibile pentru compararea fracțiilor. Cum le vezi 5:

reducerea la un numitor comun;
reducerea la un numărător comun;
reducerea la forma unei fracții zecimale;
scădere;
Divizia.

Gata de antrenament? Comparați fracțiile în mod optim:

Să comparăm răspunsurile:

(- converti la zecimală)
(împărțiți o fracție la alta și reduceți cu numărător și numitor)
(selectați întreaga parte și comparați fracțiile pe baza principiului aceluiași numărător)
(împărțiți o fracție la alta și reduceți cu numărător și numitor).

2. Compararea gradelor

Acum imaginați-vă că trebuie să comparăm nu doar numere, ci și expresii în care există un grad ().

Desigur, puteți pune cu ușurință un semn:

La urma urmei, dacă înlocuim gradul cu înmulțire, obținem:

Din acest exemplu mic și primitiv, regula urmează:

Acum încercați să comparați următoarele: . De asemenea, puteți pune cu ușurință un semn:

Pentru că dacă înlocuim exponențiația cu înmulțirea...

În general, înțelegi totul și nu este deloc dificil.

Dificultățile apar doar atunci când, la comparare, gradele au baze și indicatori diferiți. În acest caz, este necesar să se încerce să conducă la un teren comun. De exemplu:

Desigur, știți că aceasta, în consecință, expresia ia forma:

Să deschidem parantezele și să comparăm ceea ce obținem:

Un caz oarecum special este atunci când baza gradului () este mai mică de unu.

Dacă, atunci de două grade și mai mare este cel al cărui indice este mai mic.

Să încercăm să demonstrăm această regulă. Lasa.

Să introducem un număr natural ca diferență între și.

Logic, nu-i așa?

Și acum să fim din nou atenți la starea - .

Respectiv: . Prin urmare, .

De exemplu:

Să ne amintim cum să comparăm asta folosind un exemplu:

Desigur, ai făcut calculul rapid:

Sa exersam. Comparați grade:

Ești gata să compari răspunsurile? Iată ce am primit:

- la fel ca
- la fel ca
- la fel ca
- la fel ca

3. Compararea numerelor cu rădăcinile

În primul rând, să ne amintim ce sunt rădăcinile? Îți amintești această înregistrare?

Rădăcina unei puteri a unui număr real este un număr pentru care egalitatea este valabilă.

Rădăcini de grad impar există pentru numere negative și pozitive și chiar și rădăcini- doar pentru cele pozitive.

Valoarea rădăcinii este adesea o zecimală infinită, ceea ce face dificilă calcularea cu precizie, deci este important să puteți compara rădăcinile.

Dacă ai uitat ce este și cu ce se mănâncă - . Dacă vă amintiți totul, să învățăm să comparăm rădăcinile pas cu pas.

Să presupunem că trebuie să comparăm:

Ce e mai mult? sau? Desigur, puteți compara acest lucru fără nicio dificultate. Cu cât este mai mare numărul pe care îl ridicăm la o putere, cu atât valoarea va fi mai mare.

Asa de. Să derivăm o regulă.

Greu de reținut? Atunci păstrează un exemplu în cap și... Asta mai mult?

Ce se întâmplă dacă expresiile radicale sunt aceleași, dar gradele rădăcinilor sunt diferite? De exemplu: .

De asemenea, este destul de clar că la extragerea unei rădăcini de un grad mai mare, se va obține un număr mai mic. Să luăm de exemplu:

Să notăm valoarea primei rădăcini ca și a doua - ca, atunci:

Puteți vedea cu ușurință că trebuie să fie mai multe în aceste ecuații, prin urmare:

Încercați să comparați următoarele rădăcini:

Să comparăm rezultatele?

Că suntem cu toții în cuvinte și cuvinte. Iată un exemplu:

Ne uităm la indicatorii rădăcinilor - și. Cel mai mic multiplu comun al acestora este .
Să ridicăm ambele expresii la o putere:
Să transformăm expresia și să deschidem parantezele (mai multe detalii în capitol):
Să numărăm ceea ce am făcut și să punem un semn:

4. Compararea logaritmilor

Care este argumentul unui logaritm și care este baza acestuia?
Ce determină dacă o funcție crește sau scade?

Dacă îți amintești totul și l-ai stăpânit perfect, hai să începem!

Pentru a compara logaritmii între ei, trebuie să cunoașteți doar 3 tehnici:

reducerea la aceeași bază;
reducerea la același argument;
comparație cu al treilea număr.

Inițial, acordați atenție bazei logaritmului. Vă amintiți că dacă este mai puțin, atunci funcția scade, iar dacă este mai mult, atunci crește. Pe asta se vor baza judecățile noastre.

Să luăm în considerare o comparație a logaritmilor care au fost deja reduse la aceeași bază sau argument.

Pentru început, să simplificăm problema: lăsați logaritmii comparați temeiuri egale. Apoi:

Funcția, pentru, crește pe intervalul de la, ceea ce înseamnă, prin definiție, apoi („comparație directă”).
Exemplu:- temeiurile sunt aceleași, comparăm argumentele în consecință: , prin urmare:
Funcția, la, scade pe intervalul de la, ceea ce înseamnă, prin definiție, apoi („comparație inversă”). - bazele sunt aceleași, comparăm argumentele în consecință: totuși, semnul logaritmilor va fi „invers”, deoarece funcția este descrescătoare: .

Acum luați în considerare cazurile în care motivele sunt diferite, dar argumentele sunt aceleași.

Baza este mai mare.
- . În acest caz folosim „comparație inversă”. De exemplu: - argumentele sunt aceleași, și. Să comparăm bazele: totuși, semnul logaritmilor va fi „invers”:
Baza a este în gol.
- . În acest caz folosim „comparație directă”. De exemplu:
- . În acest caz folosim „comparație inversă”. De exemplu:

Să scriem totul într-o formă tabelară generală:

, în care	, în care