Cum să aflați dacă un număr este divizibil cu 6. Începeți în știință. Ce am învățat

Seria de articole despre criteriile de divizibilitate continuă testul de divizibilitate cu 3. Acest articol oferă mai întâi o formulare a testului de divizibilitate cu 3 și oferă exemple de utilizare a acestui test pentru a afla care dintre numerele întregi date sunt divizibile cu 3 și care nu. Mai jos este o dovadă a testului de divizibilitate cu 3. De asemenea, sunt luate în considerare abordările pentru stabilirea divizibilității cu 3 a numerelor date ca valoare a unei expresii.

Navigare în pagină.

Test de divizibilitate cu 3, exemple

Sa incepem cu formulări ale testului de divizibilitate cu 3: un număr întreg este divizibil cu 3 dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 3, dar dacă suma cifrelor unui număr dat nu este divizibil cu 3, atunci numărul în sine nu este divizibil cu 3.

Din formularea de mai sus este clar că testul de divizibilitate cu 3 nu poate fi utilizat fără capacitatea de a efectua. De asemenea, pentru a aplica cu succes testul de divizibilitate cu 3, trebuie să știți că dintre toate numerele 3, 6 și 9 sunt divizibile cu 3, dar numerele 1, 2, 4, 5, 7 și 8 nu sunt divizibile cu 3. .

Acum putem considera cel mai simplu exemple de utilizare a testului de divizibilitate cu 3. Să aflăm dacă numărul −42 este divizibil cu 3. Pentru a face acest lucru, calculăm suma cifrelor numărului −42, este egală cu 4+2=6. Deoarece 6 este divizibil cu 3, atunci, datorită testului de divizibilitate cu 3, putem spune că și numărul −42 este divizibil cu 3. Dar numărul întreg pozitiv 71 nu este divizibil cu 3, deoarece suma cifrelor sale este 7+1=8, iar 8 nu este divizibil cu 3.

Este 0 divizibil cu 3? Pentru a răspunde la această întrebare, nu veți avea nevoie de proprietatea divizibilității cu 3; aici trebuie să vă amintiți proprietatea corespunzătoare a divizibilității, care afirmă că zero este divizibil cu orice număr întreg. Deci 0 este divizibil cu 3.

În unele cazuri, pentru a arăta că un număr dat are sau nu capacitatea de a fi divizibil cu 3, testul divizibilității cu 3 trebuie folosit de mai multe ori la rând. Să dăm un exemplu.

Exemplu.

Arătați că numărul 907.444.812 este divizibil cu 3.

Soluţie.

Suma cifrelor numărului 907 444 812 este 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39. Pentru a afla dacă 39 este divizibil cu 3, să-i calculăm suma cifrelor: 3+9=12. Și pentru a afla dacă 12 este divizibil cu 3, găsim suma cifrelor numărului 12, avem 1+2=3. Deoarece am primit numărul 3, care este divizibil cu 3, atunci, în virtutea testului de divizibilitate cu 3, numărul 12 este divizibil cu 3. Prin urmare, 39 este divizibil cu 3, deoarece suma cifrelor sale este 12, iar 12 este divizibil cu 3. În cele din urmă, 907.333.812 este divizibil cu 3, deoarece suma cifrelor sale este 39, iar 39 este divizibil cu 3.

Pentru a consolida materialul, vom analiza soluția la un alt exemplu.

Exemplu.

Este −543.205 divizibil cu 3?

Soluţie.

Să calculăm suma cifrelor acestui număr: 5+4+3+2+0+5=19. La rândul său, suma cifrelor numărului 19 este 1+9=10, iar suma cifrelor numărului 10 este 1+0=1. Deoarece am primit numărul 1, care nu este divizibil cu 3, din testul de divizibilitate cu 3 rezultă că 10 nu este divizibil cu 3. Prin urmare, 19 nu este divizibil cu 3, deoarece suma cifrelor sale este 10, iar 10 nu este divizibil cu 3. Prin urmare, numărul inițial −543.205 nu este divizibil cu 3, deoarece suma cifrelor sale, egală cu 19, nu este divizibil cu 3.

Răspuns:

Nu.

Este de remarcat faptul că împărțirea directă a unui număr dat la 3 ne permite, de asemenea, să concluzionam dacă un anumit număr este divizibil cu 3 sau nu. Prin aceasta dorim să spunem că nu trebuie să neglijăm împărțirea în favoarea criteriului divizibilității cu 3. În ultimul exemplu, 543.205 cu 3, ne-am asigura că 543.205 nu este divizibil cu 3, din care am putea spune că −543.205 nu este divizibil cu 3.

Dovada testului de divizibilitate cu 3

Următoarea reprezentare a numărului a ne va ajuta să demonstrăm testul de divizibilitate cu 3. Orice număr natural a putem, după care ne permite să obținem o reprezentare de forma , unde a n, a n−1, ..., a 0 sunt numerele de la stânga la dreapta în notația numărului a. Pentru claritate, dăm un exemplu de astfel de reprezentare: 528=500+20+8=5·100+2·10+8.

Acum să notăm un număr de egalități destul de evidente: 10=9+1=3·3+1, 100=99+1=33·3+1, 1 000=999+1=333·3+1 și așa mai departe .

Înlocuirea în egalitate a=a n ·10 n +a n−1 ·10 n−1 +…+a 2 ·10 2 +a 1 ·10+a 0în loc de 10, 100, 1.000 și așa mai departe, expresiile 3·3+1, 33·3+1, 999+1=333·3+1 și așa mai departe, obținem
.

Și permit ca egalitatea rezultată să fie rescrisă după cum urmează:

Expresie este suma cifrelor numărului a. Pentru concizie și comoditate, să-l notăm cu litera A, adică acceptăm . Apoi obținem o reprezentare a numărului a din formă, pe care o vom folosi pentru a demonstra testul de divizibilitate cu 3.

De asemenea, pentru a demonstra testul de divizibilitate cu 3, avem nevoie de următoarele proprietăți de divizibilitate:

• Pentru ca un întreg a să fie divizibil cu un întreg b este necesar și suficient ca a să fie divizibil cu modulul lui b;
• dacă în egalitatea a=s+t toți termenii, cu excepția unuia, sunt divizibili cu un număr întreg b, atunci acest singur termen este de asemenea divizibil cu b.

Acum suntem pe deplin pregătiți și putem realiza dovada de divizibilitate cu 3, pentru comoditate, formulăm acest criteriu sub forma unei condiții necesare și suficiente pentru divizibilitatea cu 3.

Teorema.

Pentru ca un întreg a să fie divizibil cu 3, este necesar și suficient ca suma cifrelor sale să fie divizibil cu 3.

Dovada.

Pentru a=0 teorema este evidentă.

Dacă a este diferit de zero, atunci modulul numărului a este un număr natural, atunci reprezentarea este posibilă, unde este suma cifrelor numărului a.

Deoarece suma și produsul numerelor întregi este un număr întreg, atunci este un număr întreg, atunci, după definiția divizibilității, produsul este divizibil cu 3 pentru orice a 0, a 1, ..., a n.

Dacă suma cifrelor unui număr a este divizibil cu 3, adică A este divizibil cu 3, atunci, datorită proprietății de divizibilitate indicată înainte de teoremă, este divizibil cu 3, prin urmare, a este divizibil cu 3. Deci suficiența este dovedită.

Dacă a este divizibil cu 3, apoi este divizibil cu 3, apoi, datorită aceleiași proprietăți de divizibilitate, numărul A este divizibil cu 3, adică suma cifrelor numărului a este divizibil cu 3. Necesitatea a fost dovedită.

Alte cazuri de divizibilitate cu 3

Uneori, numerele întregi nu sunt specificate în mod explicit, ci ca valoare a unei anumite valori pentru o anumită valoare a unei variabile. De exemplu, valoarea unei expresii pentru un număr natural n este un număr natural. Este clar că atunci când se specifică numerele în acest fel, împărțirea directă cu 3 nu va ajuta la stabilirea divizibilității lor cu 3, iar testul divizibilității cu 3 nu poate fi aplicat întotdeauna. Acum vom lua în considerare mai multe abordări pentru a rezolva astfel de probleme.

Esența acestor abordări este reprezentarea expresiei originale ca un produs al mai multor factori, iar dacă cel puțin unul dintre factori este divizibil cu 3, atunci, datorită proprietății de divizibilitate corespunzătoare, se va putea concluziona că întregul produs este divizibil cu 3.

Uneori, această abordare vă permite să o implementați. Să ne uităm la soluția exemplu.

Exemplu.

Este valoarea expresiei divizibilă cu 3 pentru orice număr natural n?

Soluţie.

Egalitatea este evidentă. Să folosim formula binomială a lui Newton:

În ultima expresie putem scoate 3 dintre paranteze și obținem . Produsul rezultat este împărțit la 3, deoarece conține un factor de 3, iar valoarea expresiei din paranteze pentru n natural reprezintă un număr natural. Prin urmare, este divizibil cu 3 pentru orice număr natural n.

Răspuns:

Da.

În multe cazuri, este posibil să se dovedească divizibilitatea cu 3. Să ne uităm la aplicația sa atunci când rezolvăm un exemplu.

Exemplu.

Demonstrați că pentru orice număr natural n, valoarea expresiei este divizibilă cu 3.

Soluţie.

Pentru a demonstra acest lucru, vom folosi metoda inducției matematice.

La n=1 valoarea expresiei este , iar 6 este împărțit la 3.

Să presupunem că valoarea expresiei este divizibilă cu 3 când n=k, adică divizibil cu 3.

Având în vedere că este divizibil cu 3, vom arăta că valoarea expresiei pentru n=k+1 este divizibil cu 3, adică vom arăta că este divizibil cu 3.

Să facem câteva transformări:

Expresia este divizibilă cu 3 și expresia este divizibil cu 3, deci suma lor este divizibil cu 3.

Deci, folosind metoda inducției matematice, a fost demonstrată divizibilitatea cu 3 pentru orice număr natural n.

Să arătăm o altă abordare pentru a demonstra divizibilitatea cu 3. Dacă arătăm că pentru n=3 m, n=3 m+1 și n=3 m+2, unde m este un întreg arbitrar, valoarea unei expresii (cu variabila n) este divizibilă cu 3, atunci acest lucru se va dovedi Divizibilitatea unei expresii cu 3 pentru orice număr întreg n. Să luăm în considerare această abordare atunci când rezolvăm exemplul anterior.

Prin urmare, pentru orice număr natural n este divizibil cu 3.

Răspuns:

Da.

Bibliografie.

• Vilenkin N.Ya. si altele.Matematica. Clasa a VI-a: manual pentru instituţiile de învăţământ general.
• Vinogradov I.M. Fundamentele teoriei numerelor.
• Mihailovici Sh.H. Teoria numerelor.
• Kulikov L.Ya. şi altele.Culegere de probleme de algebră şi teoria numerelor: Manual pentru studenţii la fizică şi matematică. specialităţile institutelor pedagogice.

Să începem să luăm în considerare subiectul „Testul de divizibilitate cu 3”. Să începem cu formularea semnului și să dăm demonstrația teoremei. Apoi vom lua în considerare principalele abordări pentru stabilirea divizibilității cu 3 a numerelor a căror valoare este dată de o expresie. Secțiunea oferă o analiză a soluției principalelor tipuri de probleme pe baza utilizării testului de divizibilitate cu 3.

Test de divizibilitate cu 3, exemple

Testul divizibilității cu 3 este formulat simplu: un număr întreg va fi divizibil cu 3 fără rest dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 3. Dacă valoarea totală a tuturor cifrelor care alcătuiesc un număr întreg nu este divizibilă cu 3, atunci numărul original în sine nu este divizibil cu 3. Puteți obține suma tuturor cifrelor dintr-un număr întreg prin adăugarea de numere naturale.

Acum să ne uităm la exemple de utilizare a testului de divizibilitate cu 3.

Exemplul 1

Este numărul 42 divizibil cu 3?

Soluţie

Pentru a răspunde la această întrebare, adunăm toate numerele care alcătuiesc numărul - 42: 4 + 2 = 6.

Răspuns: Conform testului de divizibilitate, deoarece suma cifrelor incluse în numărul inițial este divizibil cu trei, atunci numărul original în sine este divizibil cu 3.

Pentru a răspunde la întrebarea dacă numărul 0 este divizibil cu 3, avem nevoie de proprietatea de divizibilitate, conform căreia zero este divizibil cu orice număr întreg. Se dovedește că zero este divizibil cu trei.

Există probleme pentru care este necesar să se folosească de mai multe ori testul de divizibilitate cu 3.

Exemplul 2

Arată că numărul 907 444 812 este divizibil cu 3.

Soluţie

Să găsim suma tuturor cifrelor care formează numărul inițial: 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39 . Acum trebuie să stabilim dacă numărul 39 este divizibil cu 3. Încă o dată adunăm numerele care alcătuiesc acest număr: 3 + 9 = 12 . Trebuie doar să adunăm din nou numerele pentru a obține răspunsul final: 1 + 2 = 3 . Numărul 3 este divizibil cu 3

Răspuns: numărul original 907 444 812 este de asemenea divizibil cu 3.

Exemplul 3

Numărul este divizibil cu 3? − 543 205 ?

Soluţie

Să calculăm suma cifrelor care alcătuiesc numărul inițial: 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19 . Acum să calculăm suma cifrelor numărului rezultat: 1 + 9 = 10 . Pentru a obține răspunsul final, găsim rezultatul încă o adăugare: 1 + 0 = 1 .
Răspuns: 1 nu este divizibil cu 3, ceea ce înseamnă că numărul inițial nu este divizibil cu 3.

Pentru a determina dacă un număr dat este divizibil cu 3 fără rest, putem împărți numărul dat la 3. Dacă împărțiți numărul − 543 205 din exemplul discutat mai sus cu o coloană de trei, atunci nu vom obține un număr întreg în răspuns. Aceasta înseamnă și că − 543 205 nu poate fi împărțit la 3 fără rest.

Dovada testului de divizibilitate cu 3

Aici vom avea nevoie de următoarele abilități: descompunerea unui număr în cifre și regula înmulțirii cu 10, 100 etc. Pentru a realiza proba, trebuie să obținem o reprezentare a numărului a din formular , Unde a n , a n - 1 , … , a 0- acestea sunt numerele care sunt situate de la stânga la dreapta în notația unui număr.

Iată un exemplu folosind un anumit număr: 528 = 500 + 20 + 8 = 5 100 + 2 10 + 8.

Să scriem o serie de egalități: 10 = 9 + 1 = 3 3 + 1, 100 = 99 + 1 = 33 3 + 1, 1.000 = 999 + 1 = 333 3 + 1 și așa mai departe.

Acum să înlocuim aceste egalități în loc de 10, 100 și 1000 în egalitățile date mai devreme a = a n 10 n + a n - 1 10 n - 1 + … + a 2 10 2 + a 1 10 + a 0.

Iată cum am ajuns la egalitate:

a = a n 10 n + … + a 2 100 + a 1 10 + a 0 = = a n 33. . . . 3 3 + 1 + … + a 2 33 3 + 1 + a 1 3 3 + 1 + a 0

Acum să aplicăm proprietățile adunării și proprietățile înmulțirii numerelor naturale pentru a rescrie egalitatea rezultată după cum urmează:

a = a n · 33 . . . 3 · 3 + 1 + . . . + + a 2 · 33 · 3 + 1 + a 1 · 3 · 3 + 1 + a 0 = = 3 · 33 . . . 3 a n + a n + . . . + + 3 · 33 · a 2 + a 2 + 3 · 3 · a 1 + a 1 + a 0 = = 3 · 33 . . . 3 a n + . . . + + 3 · 33 · a 2 + 3 · 3 · a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 · a n + … + 33 · a 2 + 3 · a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0

Expresia a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 este suma cifrelor numărului original a. Să introducem o nouă notație scurtă pentru aceasta A. Se obține: A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 .

În acest caz, reprezentarea numărului este a = 3 33. . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A ia forma pe care ne va fi convenabil să o folosim pentru a demonstra testul de divizibilitate cu 3.

Definiția 1

Acum amintiți-vă următoarele proprietăți de divizibilitate:

• condiție necesară și suficientă pentru ca un întreg a să fie divizibil cu un întreg
  ​​​​​​ b , este condiția prin care modulul numărului a este împărțit la modulul numărului b;
• dacă în egalitate a = s + t toți termenii, cu excepția unuia, sunt divizibili cu un număr întreg b, atunci acest singur termen este de asemenea divizibil cu b.

Am pus bazele pentru demonstrarea testului de divizibilitate cu 3. Acum să formulăm această caracteristică sub forma unei teoreme și să o demonstrăm.

Teorema 1

Pentru a afirma că întregul a este divizibil cu 3, este necesar și suficient pentru noi ca suma cifrelor care formează notația numărului a să fie divizibil cu 3.

Dovada 1

Dacă luăm valoarea a = 0, atunci teorema este evidentă.

Dacă luăm un număr a care este diferit de zero, atunci modulul numărului a va fi un număr natural. Acest lucru ne permite să scriem următoarea egalitate:

a = 3 · 33 . . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A , unde A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 - suma cifrelor numărului a.

Deoarece suma și produsul numerelor întregi este un număr întreg, atunci
33. . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 este un număr întreg, atunci, prin definiția divizibilității, produsul este 3 · 33. . . 3 a n + . . . + 33 a 2 + 3 a 1 este divizibil cu 3 pentru orice a 0 , a 1 , … , a n.

Dacă suma cifrelor unui număr A impartit de 3 , acesta este, A impartit de 3 , apoi datorită proprietății de divizibilitate indicată înainte de teoremă, a se împarte la 3 , prin urmare, A impartit de 3 . Deci suficiența este dovedită.

Dacă A impartit de 3 , atunci a este și divizibil cu 3 , apoi datorită aceleiași proprietăți de divizibilitate, numărul
A impartit de 3 , adică suma cifrelor unui număr A impartit de 3 . Necesitatea a fost dovedită.

Alte cazuri de divizibilitate prin 3

Numerele întregi pot fi specificate ca valoare a unei expresii care conține o variabilă, având în vedere o anumită valoare a acelei variabile. Astfel, pentru un număr natural n, valoarea expresiei 4 n + 3 n - 1 este un număr natural. În acest caz, împărțirea directă prin 3 nu ne poate da un răspuns la întrebarea dacă un număr este divizibil cu 3 . Aplicarea testului de divizibilitate pentru 3 poate fi, de asemenea, dificil. Să ne uităm la exemple de astfel de probleme și să analizăm metodele de rezolvare a acestora.

Se pot folosi mai multe abordări pentru a rezolva astfel de probleme. Esența unuia dintre ele este următoarea:

• reprezentăm expresia originală ca un produs al mai multor factori;
• aflați dacă cel puțin unul dintre factori poate fi împărțit la 3 ;
• Pe baza proprietății de divizibilitate, concluzionăm că întregul produs este divizibil cu 3 .

Când rezolvăm, de multe ori trebuie să recurgem la utilizarea formulei binomiale a lui Newton.

Exemplul 4

Este valoarea expresiei 4 n + 3 n - 1 divizibil cu 3 sub orice firesc n?

Soluţie

Să scriem egalitatea 4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 . Să aplicăm formula binomială a lui Newton:

4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 = = (C n 0 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + . . . + + C n n - 2 3 2 · 1 n - 2 + C n n - 1 · 3 · 1 n - 1 + C n n · 1 n) + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 · 3 2 + n · 3 + 1 + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 3 2 + 6 n - 3

Acum hai să-l scoatem 3 în afara parantezelor: 3 · 3 n - 1 + C n 1 · 3 n - 2 + . . . + C n n - 2 · 3 + 2 n - 1 . Produsul rezultat conține multiplicatorul 3 , iar valoarea expresiei din paranteze pentru n natural reprezintă un număr natural. Acest lucru ne permite să afirmăm că produsul rezultat și expresia originală 4 n + 3 n - 1 sunt împărțite la 3 .

Răspuns: Da.

Putem folosi și metoda inducției matematice.

Exemplul 5

Demonstrați folosind metoda inducției matematice că pentru orice număr natural
n valoarea expresiei n n 2 + 5 se împarte la 3 .

Soluţie

Să aflăm valoarea expresiei n · n 2 + 5 când n=1: 1 · 1 2 + 5 = 6 . 6 este divizibil cu 3 .

Acum să presupunem că valoarea expresiei n n 2 + 5 at n = k impartit de 3 . De fapt, va trebui să lucrăm cu expresia k k 2 + 5, care ne așteptăm să fie divizibil cu 3 .

Considerând că k k 2 + 5 este divizibil cu 3 , vom arăta că valoarea expresiei n · n 2 + 5 at n = k + 1 impartit de 3 , adică vom arăta că k + 1 k + 1 2 + 5 este divizibil cu 3 .

Să efectuăm transformările:

k + 1 k + 1 2 + 5 = = (k + 1) (k 2 + 2 k + 6) = = k (k 2 + 2 k + 6) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5 + 2 k + 1) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + k 2 k + 1 + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + 3 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + k + 2

Expresia k · (k 2 + 5) se împarte la 3 iar expresia 3 k 2 + k + 2 se împarte la 3 , deci suma lor este împărțită la 3 .

Deci am demonstrat că valoarea expresiei n · (n 2 + 5) este divizibilă cu 3 pentru orice număr natural n.

Acum să ne uităm la abordarea de a demonstra divizibilitatea prin 3 , care se bazează pe următorul algoritm de acțiuni:

• arătăm că valoarea acestei expresii cu variabila n pentru n = 3 m, n = 3 m + 1 și n = 3 m + 2, Unde m– un număr întreg arbitrar, divizibil cu 3 ;
• concluzionăm că expresia va fi divizibilă cu 3 pentru orice număr întreg n.

Pentru a nu distrage atenția de la detalii minore, vom aplica acest algoritm la soluția exemplului anterior.

Exemplul 6

Să se arate că n · (n 2 + 5) este divizibil cu 3 pentru orice număr natural n.

Soluţie

Să ne prefacem că n = 3 m. Atunci: n · n 2 + 5 = 3 m · 3 m 2 + 5 = 3 m · 9 m 2 + 5. Produsul pe care l-am primit conține un multiplicator 3 , prin urmare produsul în sine este împărțit în 3 .

Să ne prefacem că n = 3 m + 1. Apoi:

n · n 2 + 5 = 3 m · 3 m 2 + 5 = (3 m + 1) · 9 m 2 + 6 m + 6 = = 3 m + 1 · 3 · (2 ​​​​m2 + 2 m + 2)

Produsul pe care l-am primit este împărțit în 3 .

Să presupunem că n = 3 m + 2. Apoi:

n · n 2 + 5 = 3 m + 1 · 3 m + 2 2 + 5 = 3 m + 2 · 9 m 2 + 12 m + 9 = = 3 m + 2 · 3 · 3 m 2 + 4 m + 3

Această lucrare este, de asemenea, împărțită în 3 .

Răspuns: Deci am demonstrat că expresia n n 2 + 5 este divizibil cu 3 pentru orice număr natural n.

Exemplul 7

Este divizibil cu 3 valoarea expresiei 10 3 n + 10 2 n + 1 pentru un număr natural n.

Soluţie

Să ne prefacem că n=1. Primim:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 3 + 10 2 + 1 = 1000 + 100 + 1 = 1104

Să ne prefacem că n=2. Primim:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 6 + 10 4 + 1 = 1000 000 + 10000 + 1 = 1010001

Deci putem concluziona că pentru orice n natural vom obține numere care sunt divizibile cu 3. Aceasta înseamnă că 10 3 n + 10 2 n + 1 pentru orice număr natural n este divizibil cu 3.

Răspuns: da

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Acest articol dezvăluie semnificația testului de divizibilitate cu 6. Formularea acestuia va fi introdusă cu exemple de soluții. Mai jos dăm o dovadă a testului de divizibilitate cu 6 folosind exemplul unor expresii.

Test de divizibilitate cu 6, exemple

Formularea testului de divizibilitate cu 6 include testul de divizibilitate cu 2 și 3: dacă un număr se termină cu cifrele 0, 2, 4, 6, 8 și suma cifrelor este divizibilă cu 3 fără rest, atunci un astfel de număr este divizibil cu 6; Dacă cel puțin o condiție este absentă, numărul dat nu va fi divizibil cu 6. Cu alte cuvinte, un număr va fi divizibil cu 6 atunci când este divizibil cu 2 și 3.

Aplicarea testului de divizibilitate cu 6 lucrări în 2 etape:

• verificarea divizibilității cu 2, adică numărul trebuie să se termine în 2 pentru divizibilitatea explicită cu 2; în absența numerelor 0, 2, 4, 6, 8 la sfârșitul numărului, împărțirea cu 6 este imposibilă;
• verificarea divizibilității cu 3, iar verificarea se face prin împărțirea sumei cifrelor unui număr la 3 fără rest, ceea ce înseamnă că întregul număr poate fi divizibil cu 3; Pe baza paragrafului anterior, este clar că întregul număr este divizibil cu 6, deoarece sunt îndeplinite condițiile de împărțire cu 3 și 2.

Exemplul 1

Verificați dacă numărul 8813 e divizibil cu 6?

Soluţie

Evident, pentru a răspunde trebuie să fii atent la ultima cifră a numărului. Deoarece 3 nu este divizibil cu 2, rezultă că o condiție nu este adevărată. Obținem că numărul dat nu este divizibil cu 6.

Răspuns: Nu.

Exemplul 2

Aflați dacă este posibil să împărțiți numărul 934 la 6 fără rest.

Soluţie

Răspuns: Nu.

Exemplul 3

Verificați divizibilitatea cu 6 numere − 7 269 708 .

Soluţie

Să trecem la ultima cifră a numărului. Deoarece valoarea sa este 8, prima condiție este îndeplinită, adică 8 este divizibil cu 2. Să trecem la verificarea dacă a doua condiție este îndeplinită. Pentru a face acest lucru, adăugați cifrele numărului dat 7 + 2 + 6 + 9 + 7 + 0 + 8 = 39. Se poate observa că 39 este divizibil cu 3 fără rest. Adică obținem (39: 3 = 13). Evident, ambele condiții sunt îndeplinite, ceea ce înseamnă că numărul dat va fi împărțit la 6 fără rest.

Răspuns: da, se imparte.

Pentru a verifica divizibilitatea cu 6, puteți împărți direct la numărul 6 fără a verifica semnele de divizibilitate după acesta.

Dovada testului de divizibilitate cu 6

Să luăm în considerare dovada testului de divizibilitate cu 6 cu condiții necesare și suficiente.

Teorema 1

Pentru ca un întreg a să fie divizibil cu 6, este necesar și suficient ca acest număr să fie divizibil cu 2 și 3.

Dovada 1

În primul rând, trebuie să demonstrați că divizibilitatea numărului a cu 6 determină divizibilitatea acestuia cu 2 și 3. Folosind proprietatea divizibilității: dacă un întreg este divizibil cu b, atunci produsul lui m·a cu m fiind un întreg este de asemenea divizibil cu b.

Rezultă că atunci când împărțiți a la 6, puteți folosi proprietatea divizibilității pentru a reprezenta egalitatea ca a = 6 · q, unde q este un număr întreg. Această notație a produsului sugerează că prezența unui multiplicator garantează împărțirea cu 2 și 3. Necesitatea a fost dovedită.

Pentru a demonstra pe deplin divizibilitatea cu 6, trebuie dovedită suficiența. Pentru a face acest lucru, trebuie să demonstrați că, dacă un număr este divizibil cu 2 și 3, atunci este și divizibil cu 6 fără rest.

Este necesar să se aplice teorema fundamentală a aritmeticii. Dacă produsul mai multor factori întregi pozitivi care nu sunt egali cu unii este divizibil cu un număr prim p, atunci cel puțin un factor este divizibil cu p.

Avem că întregul a este divizibil cu 2, atunci există un număr q când a = 2 · q. Aceeași expresie este împărțită la 3, unde 2 · q este împărțit la 3. Evident, 2 nu este divizibil cu 3. Din teoremă rezultă că q trebuie să fie divizibil cu 3. De aici obținem că există un întreg q 1, unde q = 3 · q 1. Aceasta înseamnă că inegalitatea rezultată este de forma a = 2 q = 2 3 q 1 = 6 q 1 spune că numărul a va fi divizibil cu 6. Suficiența a fost dovedită.

Alte cazuri de divizibilitate cu 6

Această secțiune discută modalități de a demonstra divizibilitatea cu 6 cu variabile. Astfel de cazuri necesită o altă metodă de rezolvare. Avem o afirmație: dacă unul dintre factorii întregi dintr-un produs este divizibil cu un număr dat, atunci întregul produs va fi împărțit la acest număr. Cu alte cuvinte, atunci când o expresie dată este prezentată ca un produs, cel puțin unul dintre factori este divizibil cu 6, atunci întreaga expresie va fi divizibilă cu 6.

Astfel de expresii sunt mai ușor de rezolvat prin înlocuirea formulei binomiale a lui Newton.

Exemplul 4

Determinați dacă expresia 7 n - 12 n + 11 este divizibil cu 6.

Soluţie

Să ne imaginăm numărul 7 ca sumă 6 + 1. De aici obținem o notație de forma 7 n - 12 n + 11 = (6 + 1) n - 12 n + 11. Să aplicăm formula binomială a lui Newton. După transformări avem asta

7 n - 12 n + 11 = (6 + 1) n - 12 n + 11 = = (C n 0 6 n + C n 1 6 n - 1 + . . . + + C n n - 2 6 2 · 1 n - 2 + C n n - 1 · 6 · 1 n - 1 + C n n · 1 n) - 12 n + 11 = = (6 n + C n 1 · 6 n - 1 + . . . + C n n - 2 · 6 2 + n · 6 + 1) - 12 n + 11 = = 6 n + C n 1 · 6 n - 1 + . . . + C n n - 2 6 2 - 6 n + 12 = = 6 (6 n - 1 + C n 1 6 n - 2 + ... + C n n - 2 6 1 - n + 2)

Produsul rezultat este divizibil cu 6, deoarece unul dintre factori este egal cu 6. Rezultă că n poate fi orice număr întreg natural, iar expresia dată este divizibilă cu 6.

Răspuns: Da.

Când o expresie este specificată folosind un polinom, atunci trebuie făcute transformări. Vedem că trebuie să recurgem la factorizarea polinomului. aflăm că variabila n va lua forma și va fi scrisă ca n = 6 · m, n = 6 · m + 1, n = 6 · m + 2, …, n = 6 · m + 5, numărul m este un număr întreg. Dacă divizibilitatea pentru fiecare n are sens, atunci divizibilitatea unui număr dat cu 6 pentru orice valoare a întregului n va fi dovedită.

Exemplul 5

Demonstrați că pentru orice valoare a numărului întreg n, expresia n 3 + 5 n este divizibil cu 6.

Soluţie

Mai întâi, să factorizăm expresia dată și să aflăm că n 3 + 5 n = n · (n 2 + 5) . Dacă n = 6 m, atunci n (n 2 + 5) = 6 m (36 m 2 + 5). Evident, prezența unui factor de 6 înseamnă că expresia este divizibilă cu 6 pentru orice valoare întreagă m.

Dacă n = 6 m + 1, obținem

n (n 2 + 5) = (6 m + 1) 6 m + 1 2 + 5 = = (6 m + 1) (36 m 2 + 12 m + 1 + 5) = = (6 m + 1) 6 (6 m 2 + 2 m + 1)

Produsul va fi divizibil cu 6, deoarece are un factor egal cu 6.

Dacă n = 6 m + 2, atunci

n (n 2 + 5) = (6 m + 2) 6 m + 2 2 + 5 = = 2 (3 m + 1) (36 m 2 + 24 m + 4 + 5) = = 2 (3 m + 1) ) 3 (12 m 2 + 8 m + 3) = = 6 (3 m + 1) (12 m 2 + 8 m + 3)

Expresia va fi divizibilă cu 6, deoarece notația conține un factor de 6.

Același lucru este valabil și pentru n = 6 m + 3, n = 6 m + 4 și n = 6 m + 5. Când înlocuim, ajungem la concluzia că pentru orice valoare întreagă a lui m, aceste expresii vor fi divizibile cu 6. Rezultă că expresia dată este divizibilă cu 6 pentru orice valoare întreagă a lui n.

Acum să ne uităm la un exemplu de soluție folosind metoda inducției matematice. Rezolvarea se va face conform conditiilor din primul exemplu.

Exemplul 6

Demonstrați că o expresie de forma 7 n - 12 n + 11 va fi divizibilă cu 6, unde va accepta orice valori întregi ale expresiei.

Soluţie

Să rezolvăm acest exemplu folosind metoda inducției matematice. Vom efectua algoritmul strict pas cu pas.

Să verificăm dacă expresia este divizibilă cu 6 când n = 1. Apoi obținem o expresie de forma 7 1 - 12 · 1 + 11 = 6. Evident, 6 se va împărți de la sine.

Să luăm n = k în expresia originală. Când este divizibil cu 6, atunci putem presupune că 7 k - 12 k + 11 va fi divizibil cu 6.

Să trecem la demonstrarea împărțirii cu 6 a unei expresii de forma 7 n - 12 n + 11 cu n = k + 1. De aici rezultă că este necesar să se dovedească divizibilitatea expresiei 7 k + 1 - 12 · (k + 1) + 11 cu 6, și trebuie să se țină seama că 7 k - 12 k + 11 este divizibil cu 6. Să transformăm expresia și să învățăm asta

7 k + 1 - 12 (k + 1) + 11 = 7 7 k - 12 k - 1 = = 7 (7 k - 12 k + 11) + 72 k - 78 = = 7 (7 k - 12 k + 11) ) + 6 (12 k - 13)

Evident, primul termen va fi divizibil cu 6, deoarece 7 k - 12 k + 11 este divizibil cu 6. Al doilea termen este, de asemenea, divizibil cu 6, deoarece unul dintre factori este 6. De aici concluzionăm că toate condițiile sunt îndeplinite, ceea ce înseamnă că întreaga sumă va fi împărțită la 6.

Metoda inducției matematice demonstrează că o expresie dată de forma 7 n - 12 n + 11 va fi divizibil cu 6 atunci când n ia valoarea oricărui număr natural.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Există semne prin care uneori este ușor să afli, fără a împărți efectiv, dacă un anumit număr este divizibil sau nu cu alte numere.

Se numesc numerele care sunt divizibile cu 2 chiar. Numărul zero se referă și la numerele pare. Toate celelalte numere sunt apelate ciudat:

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... - par,
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... - impar.

Semne de divizibilitate

Testul de divizibilitate cu 2. Un număr este divizibil cu 2 dacă ultima lui cifră este pară. De exemplu, numărul 4376 este divizibil cu 2, deoarece ultima cifră (6) este pară.

Testul de divizibilitate cu 3. Numai acele numere a căror sumă de cifre este divizibilă cu 3 sunt divizibile cu 3. De exemplu, numărul 10815 este divizibil cu 3, deoarece suma cifrelor sale 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 este divizibil cu 3.

Teste de divizibilitate cu 4. Un număr este divizibil cu 4 dacă ultimele sale două cifre sunt zero sau formează un număr care este divizibil cu 4. De exemplu, numărul 244500 este divizibil cu 4 deoarece se termină cu două zerouri. Numerele 14708 și 7524 sunt divizibile cu 4 deoarece ultimele două cifre ale acestor numere (08 și 24) sunt divizibile cu 4.

Teste de divizibilitate cu 5. Acele numere care se termină cu 0 sau 5 sunt divizibile cu 5. De exemplu, numărul 320 este divizibil cu 5, deoarece ultima cifră este 0.

Testul de divizibilitate cu 6. Un număr este divizibil cu 6 dacă este divizibil cu 2 și 3. De exemplu, numărul 912 este divizibil cu 6 deoarece este divizibil cu 2 și 3.

Teste de divizibilitate cu 8. Împărțite la 8 sunt acele numere ale căror ultime trei cifre sunt zero sau formează un număr care este divizibil cu 8. De exemplu, numărul 27000 este divizibil cu 8, deoarece se termină cu trei zerouri. Numărul 63128 este divizibil cu 8 deoarece ultimele trei cifre formează numărul (128), care este divizibil cu 8.

Testul de divizibilitate cu 9. Numai acele numere a căror sumă de cifre este divizibilă cu 9 sunt divizibile cu 9. De exemplu, numărul 2637 este divizibil cu 9, deoarece suma cifrelor sale 2 + 6 + 3 + 7 = 18 este divizibil cu 9.

Semne de divizibilitate cu 10, 100, 1000 etc. Acele numere care se termină cu un zero, două zerouri, trei zerouri și așa mai departe sunt împărțite la 10, 100, 1000 și așa mai departe. De exemplu, numărul 3800 este divizibil cu 10 și 100.

Semnele „copilărești” de divizibilitate cu 3 și 9, după cum puteți vedea deja, nu sunt suficiente pentru cele asociate cu divizibilitatea numerelor întregi și a numerelor naturale, dar și mai „copilești” sunt semne de divizibilitate cu 4, 8 și 25, iar testul ceva mai complex al divizibilității cu 11 este foarte simplu și util de folosit - l-ai văzut și tu.

Testul de divizibilitate cu 4 este asta

un număr natural este divizibil cu 4 dacă și numai dacă numărul format din ultimele sale două cifre este divizibil cu 4

Acest semn este destul de evident - dacă renunțați la ultimele două cifre ale unui număr dat, de exemplu. împărțiți-l în cei doi termeni corespunzători, apoi primul termen se va termina în două zerouri, adică împărțiți la 100, și prin urmare cu 4 și, prin urmare, totul depinde de al doilea termen, format din două cifre.

La fel de evident este analogul testul de divizibilitate cu 8:

un număr natural este divizibil cu 8 dacă și numai dacă numărul format din ultimele sale trei cifre este divizibil cu 8

Pentru a demonstra acest lucru, este suficient să renunțați la aceste trei cifre și să rețineți că 1000 este divizibil cu 8.

Testul de divizibilitate cu 11 poate fi formulat astfel:

Un număr natural este divizibil cu 11 dacă și numai dacă diferența dintre suma cifrelor sale din locurile pare și suma cifrelor sale din locurile impare este divizibilă cu 11.

Cel mai simplu mod de a o dovedi (și chiar de a o inventa, de a o deriva) este cu ajutorul comparațiilor (desigur, modulo 11). Adevărat, aici apare o dificultate euristică: trebuie să ghiciți că o putere de 10 cu un exponent impar plus unu este divizibil cu 11.

După ce am ghicit, este destul de simplu să demonstrezi acest lucru chiar și la nivelul „copiilor”: $10^n=999…99+1=999…90+9 + 1=999…90+10$, iar pentru n impar în primul termenul din partea dreaptă numărul de nouă par, adică. acest termen este divizibil cu 11. Vă puteți referi și la formula pentru suma puterilor impare, și este și mai ușor de observat că $10\equiv-1 (mod 11)$, deci 10 la o putere impară a identității este comparabil cu -1, adică. 10 2 k -1 este împărțit la 11.

Să facem demonstrația: din moment ce $10\equiv-1 (mod 11)$, atunci pentru n $10^n\equiv1$, și pentru n impar $10^n\equiv-1$ și, prin urmare, $c=a_(0 )\ times10^k+a_(1)\times10^(k-1)+a_(2)\times10^(k-2)+…+a_(k-1)\times10+a_(k)\equiv a_ (k )-a_(k-1)-a_(k-2)-a_(k-3)+…+a_1\times(-1)^(k-1)+a_(0)\times(-1) )^ k$ multiplicatorul $(-1)^k$ oferă aici alternanța necesară de semne, iar exponentul este ales astfel încât pentru k chiar ultimul termen $a_(0)\times(-1)^k$ să coincidă cu a 0 . Expresia din partea dreaptă a acestei egalități este diferența dintre sumă s cifrele din număr Cuîn locuri pare și impare. Este convenabil să o suni semn al sumei alternante cifre numere Cu.

Ca rezultat, am demonstrat că c-s=0, adică. numărul c și suma alternativă a cifrelor sale în când este împărțit la 11 dau resturi egale și am obținut o afirmație mai puternică decât este necesar.

Testul de divizibilitate cu 11 poate fi, desigur, dovedit fără a fi folosit metoda de comparare- atât folosind formula pentru suma puterilor impare, cât și fără a se baza pe „artileria grea” a algebrei.

Dar și „elementar” semne de divizibilitate cu 3 și 9 de fapt, au nevoie de clarificări și pot fi formulate cam așa:

un număr natural este divizibil cu 3 dacă și numai dacă suma cifrelor sale este divizibil cu 3

Și același lucru este valabil și pentru semnul divizibilității cu 9. Această formulare subliniază că, dacă suma cifrelor unui număr nu este divizibilă cu 3, atunci numărul în sine nu este divizibil cu 3.

Din punctul de vedere al rezolvării problemelor, este și mai important că din aceste semne, strict vorbind, nu poți afla decât dacă un anumit număr este divizibil sau nu divizibil cu 3 și, respectiv, 9. Dar pentru a rezolva multe, inclusiv foarte probleme simple, generalizările lor sunt absolut necesare, asemănătoare cu ceea ce am avut în considerarea numărului 11: ca și în acest caz, resturile corespunzătoare sunt egale, i.e.

restul când un număr este împărțit la 3 este același cu restul când suma cifrelor sale este împărțită la 3; Restul când un număr este împărțit la 9 este același cu restul când suma cifrelor sale este împărțită la 9.

Aceste afirmații au fost aproape dovedite în clasa a V-a - este suficient să repetăm ​​raționamentul efectuat acolo și să adăugăm la ele că diferența dintre un număr și suma cifrelor sale este divizibilă cu 3 și 9, adică. resturile corespunzătoare sunt aceleași.

Este clar că afirmații similare sunt adevărate pentru caracteristicile 4 și 8.