4 este un număr par. Par si impar. Care este principala diferență dintre numerele pare și numerele impare?

Înainte de a vorbi despre numerele pare și impare, merită să înțelegeți câteva puncte despre ce grupuri de numere există. Acest lucru este necesar pentru a nu încerca să ne dăm seama de uniformitatea fracției.

Cu ce ​​cifre încep studiile în școala de bază?

Cele naturale vin pe primul loc. De asemenea, au apărut pentru prima dată istoric. Omenirea trebuia să numere lucrurile. Mai mult, la numărare nu se folosește zero, deci nu este inclus în grupul numerelor naturale. Aici totul este un număr întreg care este mai mare decât unu.

Pentru ei este dată mai întâi definiția parității. Pentru a înțelege ce număr este impar, trebuie să vă amintiți semnul par. Se termină cu unul dintre numerele: 0, 2, 4, 6, 8. Toate celelalte vor fi impare. Minimul dintre ele este egal cu unul. Nu există maxim.

Ce numere urmeaza?

Întreg. Setul lor include deja zero și toate numerele negative. Lanțul de numere naturale a fost limitat la stânga și a continuat la infinit spre dreapta. Cu numere întregi există un număr infinit de numere la stânga lui zero.

În acest moment, definiția parității se schimbă ușor. Acum ar trebui să fie divizibil cu doi fără rest. Aceasta înseamnă că numerele impare, atunci când sunt împărțite la doi, dau un răspuns cu un rest.

Mai mult, se introduce o notație generală par: pentru numerele pare - 2n, impare - (2n+1). Dacă pentru naturale nu există doar un maxim par sau impar, atunci pentru numerele întregi nu există un minim.

Ce atunci?

Numere raționale (un alt nume este real). Pe lângă cele menționate deja, acest set include și fracții. Adică numere care pot fi reprezentate ca doi. Primul dintre acestea este numărătorul și este reprezentat ca un număr întreg. Al doilea este numitorul, care nu este niciodată zero.

Apropo, conceptul de paritate nu este introdus pentru ei. Prin urmare, numerele impare scrise ca fracție nu există deloc.

Ce rezultate produc operațiile cu numere pare și impare?

Ele pot fi considerate în ordinea complexității operației aritmetice. Apoi, adunarea și scăderea vor veni pe primul și pe al doilea. Nu contează care dintre ele este executată, răspunsul va depinde doar de perechea inițială de numere. De exemplu, dacă numerele inițiale sunt pare, atunci rezultatul acțiunii va fi împărțit la doi. Același rezultat va fi dacă este diferența sau suma numerelor impare. Pentru a obține un număr impar, trebuie să adăugați sau să scădeți un număr par dintr-un număr impar.

Acest lucru poate fi verificat cu ușurință folosind înregistrarea lor comună. De exemplu, adunând două numere pare: 2n+2n = 4n = 2*2n. Aici 2n este un număr par, care se înmulțește și cu doi. Aceasta înseamnă că va fi cu siguranță divizibil cu doi. Adică răspunsul este egal.

Când adunăm par și impar, avem următoarea notație: 2n + (2n + 1) = 4n + 1. Primul termen este un număr par, la care se adaugă unul. Ultimul termen nu vă va permite să împărțiți complet acest rezultat la două.

A treia acțiune este înmulțirea. Când este executat, va exista întotdeauna un răspuns par dacă există cel puțin un factor par. În situația în care două numere impare sunt înmulțite, rezultatul va fi impar.

Pentru a ilustra aceasta din urmă, va trebui să scrieți acest lucru: (2n + 1) * (2n + 1) = 4n + 2n + 2n + 1 = 8n + 1. Din nou, primul termen este un număr par și unul va face este ciudat.

Cu a patra acțiune - împărțirea - totul nu este atât de simplu. Poti incepe cu doua pare. În primul rând, se poate dovedi a fi o fracțiune, apoi nu se pune problema de paritate. În al doilea rând, rezultatul este un număr întreg. Dar chiar și atunci este imposibil să obținem un răspuns fără ambiguitate la întrebarea despre paritatea viitoare. Acesta poate fi evaluat numai după ce diviziunea a fost finalizată. Răspunsul poate fi fie par, fie impar.

Dacă un număr impar este împărțit la un număr par, răspunsul este întotdeauna fracțional. Aceasta înseamnă că paritatea sa nu este determinată.

Când împărțirea implică numere impare, rezultatul poate fi și o fracție. Dar dacă răspunsul este întreg, atunci va fi cu siguranță ciudat.

La împărțirea par cu impar, ca în situația anterioară, sunt posibile două opțiuni: o fracție sau un întreg. În al doilea caz va fi întotdeauna egal.

Introducere. Conceptul de paritate este foarte important pentru dezvoltarea culturii matematice a unui elev. În teorie, acest concept este simplu și de obicei nu provoacă dificultăți. Problemele legate de paritate pot varia de la foarte simple la foarte complexe. Aceste sarcini fac posibilă introducerea elevului într-o gamă variată de idei matematice folosind material simplu.

Sarcina introductivă 1. Nikolai și fiul său și Peter și fiul său au mers la pescuit. Nikolai a prins la fel de mulți pești ca fiul său, iar Petru - la fel de mulți ca fiul său. Împreună am prins 27 de pești. Câți pești a prins Nikolai?

Soluţie. La început se pare că problemei lipsesc date: două necunoscute și o ecuație. Atunci cineva trebuie să realizeze că condițiile problemei sunt contradictorii. Într-adevăr, părinții au prins la fel de mulți pești ca și fiii. Dar atunci numărul total de pești trebuie să fie par, dar după condiție este impar.

Opțiune de raționament: Nikolai și fiul său au prins împreună un număr par de pești. Același lucru este valabil și pentru Petru și fiul său. Aceasta înseamnă că suma acestor numere este pară. (Dacă elevii înșiși nu înțeleg una dintre aceste considerații, ar trebui să li se ofere un mic indiciu).

Dar nu există nicio contradicție! Ceea ce a dus la contradicție a fost presupunerea implicită că erau patru oameni la pescuit. Dar ar putea fi trei dintre ei (Nikolai este fiul sau tatăl lui Petru). Din condiție rezultă acum că toată lumea a prins pește în mod egal, adică 9 pești fiecare. Este recomandabil să familiarizați școlarii cu această problemă (dar nu cu soluția ei) cu câteva zile înainte de începerea primei lecții.

1. Determinarea numerelor pare și impare

Prima lecție pe tema „Par-Impar” poate fi începută cu o întrebare amuzantă: „Zero este un număr par sau unul impar?” Băieții se gândesc... Atunci trebuie să începem o discuție: „Este zero divizibil cu 2”? După un timp, copiii răspund: „Da”. Apoi pun din nou aceeași întrebare: „Deci zero este un număr par sau impar?” Și aici totul este deja clar: „Chiar”!

Conceptul de paritate a numerelor este cunoscut încă din cele mai vechi timpuri și a primit adesea un sens mistic. Astfel, în mitologia chineză veche, numerele impare corespundeau yangului, ceea ce însemna cer, bun augur, iar numerele pare corespundeau yin, pământ, variabilitate și defavorabilitate. În Europa și în unele țări din est, se crede că un număr par de flori oferite aduce fericire. În Rusia, se obișnuiește să se aducă un număr par de flori numai la înmormântările morților. În cazurile în care în buchet sunt multe flori, uniformitatea sau ciudatul numărului lor nu mai joacă un asemenea rol.

Urmează o discuție despre problema introductivă. Vă permite să începeți o conversație despre definiția și proprietățile parității. În primul rând, am folosit faptul că un număr de formular P + P chiar (părinții au prins același număr de pești ca și fiii, așa că împreună au prins un număr par de pești).

Iată o altă problemă care ilustrează aceeași idee.

Sarcina 2. Lăcusta a sărit de-a lungul unei linii drepte și s-a întors la punctul de plecare. Toate săriturile au aceeași lungime. Demonstrați că a făcut un număr par de sărituri.

Soluţie. De câte ori a sărit la dreapta, de câte ori a sărit la stânga (de când s-a întors la punctul de plecare)... Rezultă că numărul este de forma P + P = 2P chiar? Și aceasta este doar o definiție.

Definiție. Numărul întreg este numit chiar, dacă este divizibil cu 2 fără rest, și ciudat, dacă nu este divizibil cu 2.

Astfel, „vederea generală” a numărului par 2 P, Unde P este un întreg arbitrar. Vorbim în mod specific despre numere întregi, și nu doar despre numere naturale (adică numere întregi pozitive). În special, este important să înțelegem că 0 este și un număr par.

Care este „aspectul general” al unui număr impar? 2 n+ 1. Într-adevăr, dacă scazi 1 dintr-un număr impar, acesta devine par, adică numărul impar este egal cu suma numărului par 2 Pși unități. Adesea folosit pentru a scrie un număr impar sub forma 2 P — 1.

2. Proprietățile numerelor pare și impare

Proprietatea 1 . Din definiția unui număr par rezultă imediat că produsul dintre orice număr (întreg) și un număr par este par. Dovada: k . 2P = 2(kn).

Proprietatea 2 . Este ceva mai dificil de verificat produsul a două numere impare este impar. Dovada: (2 k+ l)(2 n + 1) = 2(2kP + k + P) + 1.

Definiție. Sunt numite două numere întregi numere de aceeași paritate, dacă ambele sunt pare sau ambele sunt impare. Sunt numite două numere întregi numere de parităţi diferite, dacă unul dintre ele este par și celălalt este impar.

Proprietatea 3. Suma a două numere de parități diferite este impară.

Dovada: 2 k + 2P + 1 = 2(k + P) + 1 = 2m+ 1, unde m = k + P- un număr întreg. Suma este impară.

Proprietatea 4. Suma a două numere cu aceeași paritate este pară.

Dovada: 2 k + 2P = 2(k + P) = 2m, Unde m = k + P— un număr întreg. Astfel, suma este un număr par.

2k + 1 + 2P + 1 = 2(k + P + 1) = 2m, Unde m = k + P+ 1 este un număr întreg. Astfel, suma este un număr par.

Declarații inverse. Apoi îi puteți invita pe copii să formuleze și să demonstreze afirmații care conversează cu afirmații despre paritatea sumei.

Dacă suma a două numere este impară, atunci termenii au parități diferite. Dovada. Într-adevăr, dacă ar avea aceeași paritate, atunci suma ar fi egală.

Dacă suma a două numere este pară, atunci termenii au aceeași paritate. Dovada este similară.

Să trecem la următoarea proprietate a numerelor pare și impare.

Problema 3(pregătitoare). Suma a trei numere este impară. Câți termeni sunt impari? Răspuns: unul sau trei.

Soluţie. Nu este greu de dat exemple care să arate că ambele cazuri sunt posibile. Celelalte două cazuri (există doi termeni impari sau nu există deloc) conduc cu ușurință la o contradicție. Acum putem trece la formularea cea mai generală.

Proprietatea 5. Paritatea sumei coincide cu paritatea numărului de termeni impari.

Dovada. 2 a 1 + 1 + 2a 2 + 1 + … + 2a p + 1 = 2(a 1 + a 2 + … + a p) + P. Primul număr este par pentru că este un produs, unul dintre factorii săi este numărul doi, iar al doilea număr este par prin convenție ( n- număr par de termeni). Suma a două numere pare este pare.

Raționament similar este dat pentru un număr impar de termeni impari. Elevii concluzionează: ciudățenia sumei coincide cu ciudățenia numărului de termeni impari.

3. Probleme la aplicarea proprietăților pare și impar

Sarcina 4. Proprietarul a cumpărat un caiet general cu un volum de 96 de coli și și-a numerotat toate paginile în ordine cu numere de la 1 la 192. Cățelul Antoshka a roade 25 de coli din acest caiet și a adunat toate cele 50 de numere care erau scrise pe ele. Ar fi putut reuși în 1990?

Soluţie. Pe fiecare foaie, suma numerelor paginilor este impară, iar suma a 25 de numere impare este impară. Prin urmare, Antoshka nu a putut obține numărul 1990.

Sarcina 5.Școala are 1.688 de elevi, cu 373 de băieți mai mulți decât fete. Demonstrați că acest lucru nu se poate întâmpla.

Soluţie. Dacă fetelor X, atunci sunt 2 elevi în total X+ 373, iar acest număr este impar ca sumă a unui număr par și a unui număr impar.

Sarcina 6. Este numărul 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + … + 993 par sau impar?

Soluţie. Diferența 1 - 2 are aceeași paritate ca suma 1 + 2, diferența 3 - 4 are aceeași paritate ca suma 3 + 4 etc. Prin urmare, această sumă are aceeași paritate ca și suma 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + … + 993. Din cei 993 de termeni ai ultimei sume, 496 sunt par și 497 sunt impare, prin urmare suma este impară.

Sarcina 7. Pe rând se scriu numerele de la 1 la 10. Este posibil să plasați semnele plus și minus între ele pentru a obține o expresie egală cu zero?

Soluție: Nu, nu poți. Paritatea expresiei rezultate Mereu se va potrivi cu paritatea sume 1 + 2 + ... + 10 = 55. Această sumă va fi mereu ciudat, iar 0 este un număr par.

Sarcina 8. Este posibil să schimbi 100 de ruble cu 25 de monede de 1 și 5 ruble?

Soluţie. Nu, pentru că suma unui număr impar de termeni impari este un număr impar .

Problema 9. Într-o clădire cu cinci etaje, cu patru intrări, am numărat numărul de locuitori pe fiecare etaj și, în plus, în fiecare intrare. Toate cele 9 numere obținute pot fi impare?

Soluţie. Să notăm numărul de locuitori de pe etaje, respectiv, cu a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5, a numarului de locuitori in intrari, respectiv, prin b 1, b 2,b 3, b 4. Apoi, numărul total de locuitori ai casei poate fi calculat în două moduri - pe etaje și pe intrări:

a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5= b 1+ b 2 +b 3 + b 4. Dacă toate aceste 9 numere ar fi impare, atunci suma din partea stângă a egalității scrise ar fi impară, iar suma din partea dreaptă ar fi pară. Prin urmare, acest lucru este imposibil.

Problema 10. Este adevărată egalitatea: 1 2 + 2 3 + 3 4 + … + 99 100 = 20002007?

Soluţie. Produsele numerelor pare și impare sunt pare, iar suma termenilor pare este întotdeauna pare.

Problema 11. Este suma tuturor numerelor naturale de la 1 la 17 pară sau impară?

Soluţie. Dintre cele 17 numere naturale, 8 sunt pare: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, iar restul de 9 numere sunt impare. Suma tuturor acestor numere pare este pară, iar suma a nouă numere impare este impară. Apoi, suma tuturor celor 17 numere este impară ca sumă a unui număr par și a unui număr impar.

Problema 12. Lăcusta sare în linie dreaptă: prima dată cu 1 cm, a doua oară cu 2 cm etc. Se poate întoarce la locul său anterior după 25 de sărituri?

Soluţie. Pentru a reveni la vechiul loc, numărul total de centimetri trebuie să fie par, iar suma 1 + 2 + 3 + ... + 25 trebuie să fie impară. Prin urmare, lăcusta nu se va putea întoarce la locul inițial.

Probleme de rezolvat independent

Problema 13. Este posibil să schimbi 25 de ruble cu zece monede în valori de 1, 3 și 5 ruble?

Soluţie. Dacă adăugăm un număr par al oricăror numere întregi, obținem un număr par, iar 25 este un număr impar. Prin urmare, schimbați 25 de ruble. astfel este imposibil.

Problema 14. Jucării noi au fost aduse în magazinul „Totul pentru câini și pisici”. Zece jucării la prețul de 3, 5 sau 7 ruble pot costa un total de 53 de ruble?

Soluţie. Suma unui număr par de numere impare este par. Avem 10 numere (prețul unei jucării), toate sunt impare, ceea ce înseamnă că suma lor trebuie să fie pară. Dar 53 este un număr impar, deci nu poate fi obținut ca sumă a 10 numere impare.

Problema 15. Anton avea 5 batoane de ciocolată. Poate Anton, împărțind fiecare baton în 9, 15 sau 25 de bucăți, să obțină în total 100 de bucăți de ciocolată?

Soluţie. Nu, pentru că Dacă adăugați 5 numere impare, obțineți un rezultat impar. Și numărul 100 este par.

Problema 16. Nina avea 11 batoane de ciocolată de la fabrica din Kraskon. Poate Nina, împărțind fiecare baton în 7, 13 sau 21 de bucăți, să obțină în total 100 de bucăți de ciocolată?

Soluţie. Nu, pentru că Dacă adăugați 11 numere impare, obțineți un rezultat impar, iar 100 - un număr par.

Problema 17. Demonstrați că în egalitatea 1? 2? 3? 4 ? 5 ? 6? 7? 8 ? 9 =20, "?" - acestea sunt semne plus sau minus, s-a făcut o eroare.

Soluţie. Există un număr impar de numere impare în expresie. Răspunsul trebuie să fie un număr impar.

4. Probleme de intercalare

Proprietăți alternanţă:

1. Dacă în unele lanțuri închise se alternează obiecte de două tipuri, atunci există un număr par de ele (și un număr egal de fiecare tip).
2. Dacă în unele lanțuri închise se alternează obiecte de două tipuri:

• începutul și sfârșitul unui lanț de diferite tipuri, apoi conține un număr par de obiecte;
• începutul și sfârșitul aceluiași tip, apoi un număr impar.

3. Dimpotrivă: prin paritatea lungimii unui lanț alternativ, puteți afla dacă începutul și sfârșitul acestuia sunt de același tip sau diferite.

Problema 18. Se poate roti un sistem de 7 trepte dacă prima este cuplată cu a doua, a doua cu a treia etc., iar a șaptea este cuplată cu prima?

Soluţie. Nu. Dacă prima se rotește în sensul acelor de ceasornic, atunci toate angrenajele impare trebuie să se rotească în sensul acelor de ceasornic, dar prima și a șaptea nu se pot roti în sensul acelor de ceasornic în același timp .

Problema 19. Poate un cavaler să treacă de la pătratul a1 la pătratul h8, vizitând fiecare dintre celelalte pătrate exact o dată pe parcurs?

Soluţie. Nu el nu poate. Deoarece cavalerul trebuie să facă 63 de mutări, ultima sa mutare (impar) va fi pe un pătrat cu o paritate diferită de a1; dar h8 are aceeași culoare.

Problema 20. Toate piesele de domino au fost așezate (urmând regulile jocului) într-un lanț lung. La un capăt al acestui lanț erau 5 puncte. Câte puncte pot fi la celălalt capăt al lanțului?

Soluţie. Dacă undeva există un domino ∗ − 5, atunci lângă el există un domino 5 − ∗ - apare o împărțire în perechi. Câte piese de domino cu cinci sunt în total? Toți participă la această pereche?

Probleme de împerechere

Proprietate: Dacă obiectele pot fi împărțite în perechi, atunci numărul lor este par.

Problema 21. Este posibil să desenați o polilinie închisă cu 9 legături, fiecare dintre ele intersectând exact una dintre celelalte legături?

Soluţie. Dacă acest lucru ar fi posibil, atunci toate legăturile liniei întrerupte ar fi împărțite în perechi de cele care se intersectează. Cu toate acestea, atunci numărul de link-uri trebuie să fie par.

Problema 22.Șapte treisprezece brațe de pe planeta Thirteen-Arms au decis să organizeze un turneu de luptă între brațe. Vor putea ține dueluri pentru toate mâinile în același timp, astfel încât toate mâinile să ia parte și exact două mâini să se întâlnească în fiecare duel?

Soluţie. Jucătorii cu treisprezece brațe nu vor putea ține lupte pentru toate mâinile în același timp, deoarece la fiecare luptă iau parte două mâini și sunt 13 · 7 = 91 de mâini în total.

Problema 23.În lotul poporului sunt 100 de oameni, iar în fiecare seară trec de serviciu trei dintre ei. S-ar putea ca după ceva timp să se dovedească că toată lumea a fost la datorie cu toată lumea exact o dată?

Soluţie. Deoarece la fiecare îndatorire la care această persoană participă, el este de serviciu cu alți doi, atunci toți ceilalți pot fi împărțiți în perechi. Cu toate acestea, 99 este un număr impar.

Deci, îmi voi începe povestea cu numere pare. Ce numere sunt pare? Orice număr întreg care poate fi împărțit la doi fără rest este considerat par. În plus, numerele pare se termină cu una dintre cifrele date: 0, 2, 4, 6 sau 8.

De exemplu: -24, 0, 6, 38 sunt toate numere pare.

m = 2k este o formulă generală pentru scrierea numerelor pare, unde k este un număr întreg. Această formulă poate fi necesară pentru a rezolva multe probleme sau ecuații în clasele elementare.

Există un alt tip de numere în vastul regat al matematicii - numerele impare. Orice număr care nu poate fi împărțit la doi fără un rest, iar atunci când este împărțit la doi, restul este unul, este de obicei numit impar. Oricare dintre ele se termină cu unul dintre următoarele numere: 1, 3, 5, 7 sau 9.

Exemplu de numere impare: 3, 1, 7 și 35.

n = 2k + 1 este o formulă care poate fi folosită pentru a scrie orice numere impare, unde k este un număr întreg.

Adunarea și scăderea numerelor pare și impare

Există un anumit model în adunarea (sau scăderea) numerelor pare și impare. Am prezentat-o ​​folosind tabelul de mai jos pentru a vă facilita înțelegerea și amintirea materialului.

Operațiune	Rezultat	Exemplu
Chiar + Chiar
Par + Impar	Ciudat
Impar + Impar

Numerele pare și impare se vor comporta la fel dacă le scădeți în loc să le adăugați.

Înmulțirea numerelor pare și impare

La înmulțire, numerele pare și impare se comportă natural. Veți ști dinainte dacă rezultatul va fi par sau impar. Tabelul de mai jos prezintă toate opțiunile posibile pentru o mai bună asimilare a informațiilor.

Operațiune	Rezultat	Exemplu
Chiar * Chiar
Chiar ciudat
Impar * Impar	Ciudat

Acum să ne uităm la numerele fracționale.

Notarea zecimală a unui număr

Decimale sunt numere cu numitorul 10, 100, 1000 și așa mai departe, care sunt scrise fără numitor. Partea întreagă este separată de partea fracțională folosind o virgulă.

De exemplu: 3,14; 5,1; 6.789 este tot

Puteți face o varietate de operații matematice cu zecimale, cum ar fi compararea, adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea.

Dacă doriți să comparați două fracții, mai întâi egalizați numărul de zecimale adăugând zerouri la una dintre ele, apoi, scăzând punctul zecimal, comparați-le ca numere întregi. Să ne uităm la asta cu un exemplu. Să comparăm 5.15 și 5.1. Mai întâi, să egalăm fracțiile: 5,15 și 5,10. Acum să le scriem ca numere întregi: 515 și 510, prin urmare, primul număr este mai mare decât al doilea, ceea ce înseamnă că 5,15 este mai mare decât 5,1.

Dacă doriți să adăugați două fracții, urmați această regulă simplă: începeți de la sfârșitul fracției și adăugați (de exemplu) mai întâi sutimile, apoi zecimile, apoi pe cele întregi. Această regulă facilitează scăderea și înmulțirea zecimalelor.

Dar trebuie să împărțiți fracțiile ca numere întregi, numărând acolo unde trebuie să puneți o virgulă la sfârșit. Adică, mai întâi împărțiți întreaga parte și apoi partea fracțională.

De asemenea, fracțiile zecimale trebuie rotunjite. Pentru a face acest lucru, selectați la ce cifră doriți să rotunjiți fracția și înlocuiți numărul corespunzător de cifre cu zerouri. Rețineți că, dacă cifra care urmează acestei cifre a fost în intervalul de la 5 la 9 inclusiv, atunci ultima cifră care rămâne este mărită cu unu. Dacă cifra care urmează după această cifră a fost în intervalul de la 1 la 4 inclusiv, atunci ultima cifră rămasă nu este modificată.

Se spune că un număr întreg este chiar dacă este divizibil cu 2; altfel se numeste impar. Deci numerele pare sunt

și numere impare -

Din divizibilitatea numerelor pare cu doi rezultă că fiecare număr par poate fi scris sub forma , unde simbolul denotă un număr întreg arbitrar. Când un anumit simbol (cum ar fi o literă în cazul nostru) poate reprezenta orice element al unui set specificat de obiecte (mulțimea numerelor întregi în cazul nostru), spunem că domeniul acestui simbol este setul specificat de obiecte. În consecință, în cazul în cauză spunem că fiecare număr par poate fi scris sub forma , unde intervalul simbolului coincide cu mulțimea numerelor întregi. De exemplu, numerele pare 18, 34, 12 și -62 sunt de forma , unde sunt egale cu 9, 17, 6 și -31. Nu există niciun motiv special pentru a folosi scrisoarea. În loc să spunem că numerele pare sunt numere întregi de forma egal, s-ar putea spune că numerele pare sunt de forma sau sau

Când sunt adăugate două numere pare, rezultatul este, de asemenea, un număr par. Această împrejurare este ilustrată de următoarele exemple:

Totuși, pentru a demonstra afirmația generală că mulțimea numerelor pare este închisă sub adunare, un set de exemple nu este suficient. Pentru a da o astfel de dovadă, notăm un număr par cu , iar celălalt cu . Adăugând aceste numere, putem scrie

Suma este scrisă în formularul . Din aceasta putem observa că este divizibil cu 2. Nu ar fi suficient să scriem

întrucât ultima expresie este suma unui număr par și a aceluiași număr. Cu alte cuvinte, am demonstra că de două ori un număr par este din nou un număr par (de fapt, chiar divizibil cu 4), în timp ce trebuie să demonstrăm că suma oricăror două numere pare este un număr par. Prin urmare, am folosit notația pentru un număr par și pentru un alt număr par pentru a indica faptul că aceste numere pot fi diferite.

Ce notație poate fi folosită pentru a scrie orice număr impar? Rețineți că scăderea lui 1 dintr-un număr impar are ca rezultat un număr par. Prin urmare, se poate argumenta că orice număr impar este scris în formă.O înregistrare de acest fel nu este unică. În mod similar, am putea observa că adăugarea lui 1 la un număr impar produce un număr par și am putea concluziona din aceasta că orice număr impar se scrie ca

În mod similar, putem spune că orice număr impar este scris sub forma sau sau etc.

Este posibil să spunem că fiecare număr impar este scris sub forma Înlocuirea numerelor întregi în această formulă

obținem următorul set de numere:

Fiecare dintre aceste numere este impar, dar nu epuizează toate numerele impare. De exemplu, numărul impar 5 nu poate fi scris în acest fel. Astfel, nu este adevărat că fiecare număr impar este de forma , deși fiecare număr întreg al formei este impar. La fel, nu este adevărat că fiecare număr par este scris sub forma în care domeniul simbolului k este mulțimea tuturor numerelor întregi. De exemplu, 6 nu este egal cu niciun număr întreg pe care îl luăm ca A. Cu toate acestea, fiecare număr întreg al formei este par.

Relația dintre aceste afirmații este aceeași cu cea dintre afirmațiile „toate pisicile sunt animale” și „toate animalele sunt pisici”. Este clar că primul dintre ele este adevărat, dar al doilea nu este. Această relație va fi discutată în continuare în analiza afirmațiilor care implică sintagmele „atunci”, „numai atunci” și „atunci și numai atunci” (vezi § 3 din Capitolul II).

Exerciții

Care dintre următoarele afirmații sunt adevărate și care sunt false? (Se presupune că intervalul de caractere este setul tuturor numerelor întregi.)

1. Fiecare număr impar poate fi reprezentat ca

2. Fiecare număr întreg de tipul a) (vezi Exercițiul 1) este impar; același lucru este valabil și pentru numerele de forma b), c), d), e) și f).

3. Fiecare număr par poate fi reprezentat ca

4. Fiecare număr întreg de tipul a) (vezi Exercițiul 3) este par; același lucru este valabil și pentru numerele de forma b), c), d) și e).

Există perechi de contrarii în univers, care sunt un factor important în structura sa. Principalele proprietăți pe care numerologii le atribuie numerelor pare (1, 3, 5, 7, 9) și impare (2, 4, 6, 8), ca perechi de opuse, sunt următoarele:

1 - activ, hotărât, dominator, insensibil, conducere, inițiativă;
2 - pasiv, receptiv, slab, simpatic, subordonat;
3 - strălucitor, vesel, artistic, norocos, obținând ușor succesul;
4 - muncitor, plictisitor, lipsă de inițiativă, nefericit, muncă asiduă și înfrângere frecventă;
5 - activ, întreprinzător, nervos, nesigur, sexy;
6 - simplu, calm, casnic, asezat; iubirea mamei;
7 - retragere din lume, misticism, secrete;
8 - viața lumească; succesul sau eșecul material;
9 - perfecțiunea intelectuală și spirituală.

Numerele impare au proprietăți mult mai izbitoare. Pe lângă energia lui „1”, strălucirea și norocul lui „3”, mobilitatea aventuroasă și versatilitatea lui „5”, înțelepciunea lui „7” și perfecțiunea lui „9”, numerele chiar nu par atât de strălucitoare. Există 10 perechi principale de contrarii care există în Univers. Printre aceste perechi: par - impar, unu - multe, dreapta - stânga, bărbat - femeie, bine - rău. Unu, dreapta, masculin și bun au fost asociate cu numerele impare; multe, stânga, feminine și malefice - cu unele chiar.

Numerele impare au un anumit mijloc generator, în timp ce în orice număr par există o gaură perceptivă, ca o lacună în interiorul său. Proprietățile masculine ale numerelor impare falice apar din faptul că sunt mai puternice decât numerele pare. Dacă un număr par este împărțit în jumătate, atunci nu va mai rămâne nimic în mijloc cu excepția golului. Nu este ușor să spargi un număr impar, deoarece există un punct în mijloc. Dacă combinați numerele pare și impare, atunci cel impar va câștiga, deoarece rezultatul va fi întotdeauna impar. De aceea numerele impare au proprietăți masculine, puternice și dure, în timp ce numerele pare au proprietăți feminine, pasive și receptive.

Există un număr impar de numere impare: sunt cinci. Numărul par al numerelor pare este patru.

Numerele impare sunt solare, electrice, acide și dinamice. Sunt termeni; sunt combinate cu ceva. Numerele pare sunt lunare, magnetice, alcaline și statice. Sunt deductibile, sunt reduse. Ei rămân nemișcați pentru că au grupuri egale de perechi (2 și 4; 6 și 8).

Dacă grupăm numere impare, un număr va rămâne întotdeauna fără perechea lui (1 și 3; 5 și 7; 9). Acest lucru îi face dinamici. Două numere similare (două numere impare sau două numere pare) nu sunt favorabile.

par + par = par (static) 2+2=4
par + impar = impar (dinamic) 3+2=5
impar + impar = par (static) 3+3=6

Unele numere sunt prietenoase, altele sunt opuse unul altuia. Relațiile dintre numere sunt determinate de relațiile dintre planetele care le conduc (detalii în secțiunea „Compatibilitatea numerelor”). Când două numere prietenoase se ating, cooperarea lor nu este foarte productivă. La fel ca prietenii, se relaxează - și nu se întâmplă nimic. Dar când numerele ostile sunt în aceeași combinație, se forțează reciproc să fie în gardă și se încurajează reciproc să ia măsuri active; deci acești doi oameni muncesc mult mai mult. În acest caz, numerele ostile se dovedesc a fi de fapt prieteni, iar prietenii se dovedesc a fi adevărați dușmani, încetinind progresul. Numerele neutre rămân inactive. Ele nu oferă sprijin, nu provoacă sau suprimă activitate.