Sistemele numerice ale lumii antice. Dezvoltarea istorică a sistemelor de numere

Istoria înregistrării numerelor și a sistemelor de numere datează de la apariția numărării printre oameni. Oamenii au descris numărul de obiecte diferite folosind serifi sau liniuțe. Ele erau aplicate pe suprafețe care serveau ca „hârtie” la acea vreme: tăblițe de lut, scoarță de copac sau pietre. Arheologii datează primele informații despre astfel de înregistrări în perioada paleolitică, adică în mileniul 10-11 î.Hr.

Această metodă de înregistrare se numește sistem de numere de unități. Toate numerele au fost indicate printr-o linie de liniuțe (sau orice alte caractere, de exemplu, puncte): cu cât sunt mai multe caractere în linie, cu atât numărul este mai mare. Acest sistem de numărare nu era convenabil, deoarece cu numere mari era ușor să greșești numărul de bețe. De fiecare dată trebuiau numărate.

Pentru a simplifica numărarea, articolele au început să fie combinate în grupuri mici de 3, 5 și 10 unități. În plus, fiecare grup corespundea propriei desemnări a semnului de pe scrisoare. Deoarece cea mai convenabilă numărare a fost întotdeauna numărarea pe degete, combinațiile de obiecte de 10 și 5 unități au fost primele care au primit desemnarea lor. Acesta este ceea ce a pus bazele unui sistem de numere convenabil.

Sistemul folosit de grecii antici se numea Attic. Primele patru numere au fost scrise cu liniuțe. Numărul cinci avea propriul său semn - „pi”, la fel ca și numărul zece - prima literă a cuvântului „deca”. O sută, mii zece mii au fost scrise ca H, X, M.

Acest sistem a fost înlocuit în secolul III î.Hr. de sistemul ionian. Numerele de la unu la nouă au fost desemnate prin litere ale alfabetului grecesc: de la prima la a noua. Literele zece până la optsprezece au indicat zeci - de la zece la nouăzeci. Iar ultimele nouă au fost sute - de la o sută la nouă sute.

Slavii estici și sudici au notat, de asemenea, numere folosind alfabetul. Unii dintre ei au folosit alfabetul slav, dând fiecărei litere o valoare numerică. Celălalt - doar acele litere care se găsesc în alfabetul grecesc. O pictogramă specială, care a fost plasată deasupra numărului - „titlu”, a făcut posibilă distingerea literelor de numere. Această numerotare a fost folosită în Rusia până în secolul al XVIII-lea.

Începutul domniei lui Petru I a adus în țară numerotarea arabă, care este folosită și astăzi. Cu toate acestea, în cărți liturgiceîncă folosesc sistemul de înregistrare slav.

Fiecare dintre noi este cel puțin puțin familiarizat cu „sistemul roman”, care desemnează secole, aniversări, nume de conferințe, strofe de poezie și capitole de cărți. Aceasta este ceea ce vechii romani au folosit cândva. Cercetătorii cred că a fost împrumutat de locuitorii Romei de la etrusci. Toate numerele întregi din acest sistem până la 5000 sunt scrise folosind numerele I, V, X. Dacă există un număr mare în față și unul mai mic în spate, se adaugă. Dacă este invers – cel mai mic este în fața celui mai mare – se scad. Același număr este plasat de cel mult trei ori la rând. Orice operație aritmetică într-o astfel de notație a numerelor devine o sarcină dificilă. Cu toate acestea, până în secolul al XIII-lea în Italia și până în secolul al XVI-lea în Europa de Vest, l-au folosit.

Primul loc sau numerotarea pozițională a fost „creat” în Babilon în 4000 î.Hr. Esența sa este că o cifră poate reprezenta numere diferite, în funcție de locul în care se află. Un exemplu izbitor este sistemul zecimal modern. În funcție de poziția în număr, numărul poate reprezenta zece, unu sau o sută.

Sistemul babilonian era sexagesimal, deoarece inițial se baza nu pe 10, ci pe 60. Toate numerele mai mici decât acestea erau scrise în două semne - zeci și unități. Numerele în sine erau scrise pe tăblițe de lut cu bețișoare triunghiulare, așa că arătau ca o pană. Semnele s-au repetat în funcție de număr.

Sistemul sexagesimal nu sa răspândit dincolo de Babilonul Antic, dar fracțiile sexagesimale au fost folosite în țările din Asia Centrală, Europa de Vest, Orientul Mijlociu și Africa de Nord. Înainte de apariția zecimalelor, acestea au jucat un rol important în astronomie și alte științe. Astăzi ni se aduce aminte de acest sistem împărțind un minut în 60 de secunde, o oră în 60 de minute și un unghi în 360 de grade.

Toate sistemele numerice pot fi împărțite în poziționale și nepoziționale. Semnele pe care le folosim pentru a scrie numere se numesc numere.

Poziția unei cifre într-un număr scris în sistemele nepoziționale nu afectează valoarea pe care o denotă. Acestea sunt, de exemplu, sisteme care folosesc litere pentru a scrie numere - slave și romane.

Poziția unei cifre în sistemele poziționale determină valoarea mărimii care este scrisă în ea. În acest caz, poziția este locul pe care această cifră îl ocupă în număr. Iar numărul de cifre care sunt folosite pentru înregistrare se numește baza sistemului. Exemple de astfel de sistem sunt sexagesimalul babilonian și zecimalul modern.

Sistemele poziționale utilizează un număr mic de caractere, ceea ce facilitează scrierea numerelor mari. Acesta este motivul pentru care este mai frecventă în lume astăzi. În plus, oferă confort și simplitate atunci când se efectuează operații aritmetice pe numere.

Cel mai răspândit în vremea noastră este sistemul zecimal indo-arab. Pentru prima dată, zero a apărut în ea la scrierea numerelor. Are acest nume deoarece folosește zece cifre.

Cel mai simplu mod de a înțelege diferențele dintre un sistem pozițional și un sistem non-pozițional este să comparați cele două numere scrise într-unul și celălalt. Primul compară numere care se află în același loc, de la stânga la dreapta. Cu cât numărul este mai mare, cu atât valoarea în sine este mai mare. De exemplu, numărul 245 va fi mai mare decât numărul 123, deoarece 2 din această poziție este mai mare decât 1. Pentru un sistem nepozițional, această lege nu se aplică. Dacă comparăm Roman IX și VI, primul va fi mai mare decât al doilea, deși I în aceeași poziție este mai mic decât V.

Sistemul de numere binar de bază 2 reprezintă sistemul de numere pozițional pozitiv cu numere întregi. Vă permite să scrieți toate valorile numerice folosind două caractere. Cele mai frecvent utilizate numere sunt 0 și 1.

Sistemul pozițional pozitiv octal se bazează pe 8. Orice număr din el poate fi scris folosind numerele de la 0 la 7. Acest sistem este utilizat de dispozitivele digitale și computerizate. A fost cea care a fost folosită în zorii erei computerelor, dar acum a făcut loc unuia mai avansat - hexazecimal.

Cel mai recunoscut din lume, sistemul zecimal este un sistem pozițional cu o bază de 10. Folosește cifre arabe de la 0 la 9 pentru a reprezenta numere.

Unul dintre cele mai populare sisteme ale antichității, duozecimalul, este încă folosit în unele domenii ale științei. Este, de asemenea, principalul dintre unele popoare din Tibet și Nigeria, dar își amintește și de el însuși în alte culturi. De exemplu, în limba noastră se păstrează cuvântul „duzină”, iar în engleză „duzină”, care ne trimite la numărul doisprezece. Baza sa este 12. Literele A și B și numerele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 sunt folosite ca caractere.

Sistem numeric hexazecimal – reprezintă un sistem pozițional pozitiv cu o bază de 16 cifre. Ca numere, literele alfabetului latin A, B, C, D, E, F sunt folosite pentru a desemna numerele de la zece la cincisprezece și numerele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. , 0.

Sistemul de numere hexazecimale este folosit în programele de calculator moderne pentru a codifica fonturile. Numerele hexazecimale sunt folosite pentru a codifica culorile în multe programe moderne de grafică pe computer. Designerii web criptează, de asemenea, culoarea folosind codul hexazecimal. De exemplu, codul #00ff00 reprezintă culoarea verde. Cele două f din mijlocul acestui cod corespund numărului 256 în notație zecimală.

Când lucrați cu computere, cele mai frecvent utilizate sisteme de numere sunt binare, octale și hexazecimale. Atât oamenii, cât și computerele fac o treabă excelentă în aceste sisteme. Dar unele cazuri ne obligă să apelăm la sisteme de numere mai puțin populare. Astfel de sisteme sunt septenare, ternare și de bază 32. Toate operatii aritmetice nu sunt diferite de cele obișnuite.

Scopul cercetării mele: Căutare matematică și literatură istorică să ia în considerare toate sistemele de numere posibile. Obiective: 1) Studiul literaturii educaționale, de referință, metodologice, populare și distractive. 2) Compararea sistemelor de numere antice. 3) Familiarizarea cu utilizarea sistemelor de numere antice în timpurile moderne.

Cum a învățat o persoană să numere. Omul primitiv nu avea nevoie să numere cantități mari. Prin urmare, numărul a ajuns la 2 sau 3 - tot ce depășea această limită i se părea omului primitiv la fel de mult. Numeralul doi avea o origine calitativă - o pereche de brațe, picioare, ochi etc. Apoi, în procesul de dezvoltare a schimbului, au apărut standarde naturale de numărare: cinci, - în degete, pietricele, scoici etc.

Cum a învățat o persoană să numere. Deci, desemnările numerelor printre locuitorii uneia dintre insulele Malaezia arată astfel: 1 - degetul mic mana dreapta, 2 - degetul inelar, 3 - degetul mijlociu, 4 - degetul arătător, 5 - degetul mare, 6 - mână, 7 - cot, 8 - umăr, 9 - ureche, 10 - ochiul drept, 11 - ochiul stâng, 12 - nas, 13 - gură, 14 - urechea stângă etc. .

Cum a învățat o persoană să numere. Deja într-un stadiu superior de dezvoltare, oamenii au început să folosească diverse articole. Așadar, unii foloseau pietricele, boabe, o frânghie cu noduri pentru a-și aminti numerele, alții foloseau bețe cu crestături (etichete), o grămadă de tije, o grămadă de scoici, pietre etc... Acestea au fost primele dispozitive de numărare, care până la urmă a dus la formare diverse sisteme notare și crearea de mașini de calcul electronice moderne de mare viteză.

Vechiul sistem zecimal mayaș. La început, mayașii au folosit simboluri hieroglifice pentru a reprezenta numere:

Vechiul sistem zecimal mayaș. Apoi au început să-și noteze semnele digitale sub formă de puncte și liniuțe, iar un punct însemna întotdeauna unități dintr-o anumită ordine, iar o liniuță însemna cinci

Sistemul zecimal egiptean antic. Sistemul zecimal egiptean antic. Sistemul de numere egiptean antic, care a apărut în a doua jumătate a mileniului al treilea î.Hr., folosea numere speciale pentru a reprezenta numerele. Numerele din sistemul de numere egiptean au fost scrise ca combinații ale acestor cifre, în care fiecare dintre ele a fost repetată de cel mult nouă ori. Numărul 345 din Egipt a fost scris astfel:

Sistemul sexagesimal babilonian. Tot departe de zilele noastre, la două mii de ani î.Hr., într-o altă mare civilizație, babiloniană, oamenii notau numerele diferit. Numerele din acest sistem numeric erau alcătuite din două tipuri de semne: o pană dreaptă care servea la desemnarea unităților și o pană mincinoasă pentru a desemna zeci. Numărul 32, de exemplu, a fost scris astfel: Semnele au servit drept numere în acest sistem. Numărul 60 a fost din nou notat cu același semn ca 1. Prin urmare, sistemul numeric babilonian a fost numit sexagesimal.

Sistemul sexagesimal babilonian Pentru a determina valoarea unui număr, imaginea numărului trebuia împărțită în cifre de la dreapta la stânga. O nouă descărcare a început cu apariția unei pane drepte după una înclinată, dacă luăm în considerare numărul de la dreapta la stânga. Categoria a II-a Categoria I

Deoarece sistemul era sexagesimal, numărul 92, de exemplu, a fost extins și scris astfel: Ulterior, babilonienii au introdus un simbol special pentru a indica cifra sexagesimală lipsă, care corespunde apariției numărului 0 în numărul zecimal. Sistemul sexagesimal babilonian

Sistemul de numere romane. Sistemul de numere romane. Vechii romani foloseau numerotarea, care rămâne până astăzi sub denumirea de „numerarea romană”, în care numerele sunt reprezentate de litere ale alfabetului latin. În acest caz, litera I înseamnă întotdeauna unul, litera V înseamnă cinci, X înseamnă zece, L înseamnă cincizeci, C înseamnă o sută, D înseamnă cinci sute, M înseamnă o mie etc. Nu există informații sigure despre originea cifrelor romane. Numărul V ar putea servi inițial ca o imagine a unei mâini, iar numărul X ar putea fi format din două cinci. În numerotarea romană, urmele sistemului de numere în cinci ori sunt clar vizibile. Toate numerele întregi (până la 5000) sunt scrise prin repetarea numerelor de mai sus. Mai mult, dacă un număr mai mare vine înaintea unui număr mai mic, atunci se adună (De exemplu, VI = 6, adică; LX = 60, adică), dar dacă unul mai mic vine înaintea unuia mai mare (în acest caz nu poate fi repetat), apoi cel mai mic se scade din cel mai mare: IV = 4, i.e. 5 1; XL = 40, adică). Același număr este plasat de cel mult trei ori la rând: LXX = 70; LXXX = 80; numărul 90 este scris XC (nu XLXXX).

Sistemul de numere romane. Sistemul de numere romane. 1 - I 2 - II 3 - III 4 - IV 5 - V 6 - VI 7 - VII 8 - VIII 9 - IX 10 – X 11 - XI 13 - XIII 18 - XVIII 19 - XIX 22 - XXII 34 - XXXIV 39 - XXXIX 40 - XL 60 - LX 99- XCIX CC CDXXXVIII DCXLIX CMXCIX MCCVII MMXLV MMMDLV MMMDCLXXVIII MMMCM MMMCMXCIX Datorită inconvenientelor și complexității sale mari, sistemul numeric roman este acum foarte rar.

Sisteme numerice alfabetice. Sistemele numerice alfabetice reprezintă un grup special. Ei au folosit alfabetul alfabetic pentru a scrie numere. Un exemplu de sistem de numere alfabetice este slava. niste popoarele slave valorile numerice ale literelor au fost stabilite în ordinea literelor alfabetului slav; pentru alții, în special rușii, nu toate literele au jucat rolul numerelor, ci doar cele care sunt în alfabetul grec. În sistemul de numerotare slavă, toate literele alfabetului au fost folosite pentru a înregistra numere, deși cu o anumită încălcare a ordinii alfabetice. Litere diferite însemnau numere diferite de unități, zeci și sute. De exemplu, numărul 231 a fost scris ca ~ SLA (C 200, L 30, A 1). Un semn special a fost plasat deasupra literei care denotă un număr - „titlo” (de unde și numărul).

Sistem de numere zecimale. Sistem de numere zecimale. Cel mai faimos și utilizat în prezent sistem de numere este sistemul zecimal. Invenția sistemului numeric zecimal este una dintre principalele realizări ale gândirii umane. Fără ea, tehnologia modernă cu greu ar putea exista, cu atât mai puțin ar putea apărea. Motivul pentru care sistemul numeric zecimal a devenit general acceptat nu este deloc matematic. Oamenii sunt obișnuiți să numere în sistemul numeric zecimal pentru că au 10 degete pe mâini.

Sistem de numere zecimale. În antichitate, numerele acestui sistem erau reprezentate cu unghiuri. Acest lucru nu a fost întâmplător: fiecare număr reprezintă un număr bazat pe numărul de unghiuri din el. De exemplu, 0 - fără colțuri, 1 - un colț, 2 - două colțuri etc. Ulterior, scrierea numerelor zecimale a suferit modificări semnificative. Forma numerelor pe care o folosim astăzi a fost stabilită abia în secolul al XVI-lea.

Sistem de numere binar. Sistem de numere binar. Cel mai mic număr care poate fi luat ca bază a sistemului numeric este numărul doi. Sistemul corespunzător acestei baze, numit binar, este unul dintre cele foarte vechi. Comoditatea acestui sistem constă în simplitatea sa extraordinară. În sistemul binar sunt implicate doar două cifre 0 și 1, iar numărul 2 reprezintă unitatea cifrei următoare. 2 Regulile de operare pe numerele scrise în sistemul binar par, de asemenea, foarte simple. Regulile de bază ale adunării sunt date de egalitățile: 0+0=0.0+1=1.1+1=(10)2.

Sisteme antice de numărare. Sistemul babilonian a jucat un rol important în dezvoltarea matematicii și astronomiei și încă împărțim ora în 60 de minute și minutele în 60 de secunde și împărțim cercul în 360 de părți (grade) și 1 grad în 60 de minute. . Există, de asemenea, un ciclu de șaizeci de ani în numele anului conform calendarului arian. În general, sistemul de numere sexagesimal este greoi și incomod. Sistemul de numere romane, de asemenea datorita inconvenientului si complexitatii sale mari, este folosit in prezent acolo unde este cu adevarat convenabil: in literatura de specialitate (numerotarea capitolelor), in proiectarea documentelor (serie de pasapoarte, titluri de valoare etc.), in scop decorativ la ceas. cadrane și într-o serie de alte cazuri.

Sisteme antice de numărare. Elemente ale sistemului numeric duozecimal s-au păstrat în Anglia în sistemul de măsuri (1 picior = 12 inci) și în sistemul monetar (1 șiling = 12 pence). Îl întâlnim adesea în viața de zi cu zi: seturi de ceai și masă pentru 12 persoane, un set de 12 batiste. Timpul este, de asemenea, socotit în acest sistem ca 12 luni, 24 de ore într-o zi, un ciclu de 12 ani în numele anului conform calendar chinezesc. Sistemul numeric slav a fost păstrat în cărțile liturgice. Toate aceste sisteme sunt caracterizate de două Toate aceste sisteme sunt caracterizate de două neajunsuri, care au dus la deplasarea lor de dezavantaje, care au dus la deplasarea lor de către alții: necesitatea un numar mare diverse semne, în special pentru înfățișarea numerelor mari și, mai important, inconvenientul efectuării operațiilor aritmetice. efectuarea de operații aritmetice.

Sisteme antice de numărare. În prezent, cel mai comun sistem de numere este sistemul de numere zecimal. În conformitate cu acest sistem, de dragul echității, ar trebui să fie numit indian; aranjam semnele digitale într-o metodă de linie orizontală, folosind „principiul pozițional” - una dintre realizările remarcabile mintea umană. Aceasta înseamnă că numerele stau unul după altul într-o ordine strictă, de la dreapta la stânga de la prima poziție sau primul ordin până la cele ulterioare și anume: unități, zeci, sute, mii etc.

Sisteme antice de numărare. Cel mai vechi sistem de numere poate fi considerat pe bună dreptate sistemul de numere binar. Dar acest sistem are o serie de calități care îl fac foarte avantajos și necesar pentru utilizarea în telegrafe, precum și în calculatoare și calculatoare moderne.

ÎN lumea modernă Există multe moduri de a reprezenta numere. Un număr poate fi reprezentat printr-un grup de caractere dintr-un anumit alfabet.
Un sistem numeric este un set de reguli pentru desemnarea și denumirea numerelor.
Cel mai simplu sistem de numere este unar, care folosește doar 1 simbol (băț, nod, crestătură, pietricică etc.
Cel mai perfect principiu pentru reprezentarea numerelor este principiul pozițional (locului), conform căruia același semn numeric (cifră) are sensuri diferite in functie de locul in care se afla.
În ciuda aparentei naturalețe a unui astfel de sistem, acesta a fost rezultatul unei lungi dezvoltări istorice. Apariția sistemului numeric zecimal este asociată cu numărarea pe degete. Au existat sisteme de numere cu alte baze: 5, 12 (numărând în zeci), 20 (urme ale unui astfel de sistem sunt păstrate în limba franceză, de exemplu quatre - vingts, adică literalmente patru - douăzeci, înseamnă 80), 40, 60 , etc. Când se calculează pe un computer, sistemul numeric de bază 2 este adesea folosit.

Popoarele primitive nu aveau un sistem de numere dezvoltat. În secolul al XIX-lea, multe triburi din Australia și Polinezia aveau doar două numere: unu și doi; combinațiile lor au format numerele: 3 - doi - unu, 4 - doi - doi, 5 - doi - doi - unu și 6 - doi - doi - doi. Despre toate numerele mai mari de 6 s-a vorbit despre „mult”, fără a le individualiza. Odată cu dezvoltarea vieții sociale și economice, a apărut necesitatea creării unor sisteme numerice care să permită desemnarea unor colecții din ce în ce mai mari de obiecte. Unul dintre cele mai vechi sisteme de numere este numerotarea hieroglifică egipteană, care a apărut încă din anii 2500 - 3000 î.Hr. e. Era un sistem de numere zecimal non-pozițional, în care doar principiul adunării era folosit pentru a înregistra numerele (numerele exprimate prin cifre adiacente se adună).
Sisteme de numere similare au fost grecești erodiane, romane, siriace etc.

Cifrele romane sunt numele tradițional pentru un sistem de semne pentru desemnarea numerelor, bazat pe utilizarea simbolurilor speciale pentru zecimale:
I V X L C D M
1 5 10 50 100 500 1000
Sistemele de numere mai avansate sunt alfabetice: ionică, slavă, ebraică, arabă, precum și georgiană și armeană.
În sistemele de numere alfabetice, numerele sunt scrise mult mai scurt decât în ​​cele anterioare; in plus, este mult mai usor sa faci operatii aritmetice pe numerele scrise in numeratie alfabetica. Cu toate acestea, în sistemele de numere alfabetice nu puteți scrie numere arbitrar mari.
În sistemul numeric al vechilor babilonieni, care a apărut aproximativ în 2000 î.Hr. e. toate numerele au fost scrise folosind două semne: (pentru unu) și (pentru zece). Numerele până la 60 au fost scrise ca combinații ale acestor două semne folosind principiul adunării. Numărul 60 a fost din nou desemnat printr-un semn, fiind o unitate de cea mai înaltă categorie. Pentru a înregistra numerele de la 60 la 3600, a fost folosit din nou principiul adunării, iar numărul 36.000 a fost notat cu același semn ca unul etc. Numărul 343 = 5*60+4*10+3 în acest sistem a fost scris ca acest:
Cu toate acestea, din cauza absenței unui semn pentru zero, care ar putea fi folosit pentru a marca cifrele lipsă, înregistrarea numerelor în acest sistem de numere nu a fost clară. Particularitatea sistemului de numere babilonian a fost că valoarea absolută a numerelor a rămas incertă.

Un alt sistem numeric bazat pe principiul pozițional a apărut în rândul indienilor mayași, locuitori ai Peninsulei Yucatan (America Centrală) la mijlocul mileniului I d.Hr. e. Mayașii aveau două sisteme numerice: unul, care amintește de cel egiptean, era folosit Viata de zi cu zi, celălalt este pozițional, cu o bază de 20 și un semn special pentru zero, folosit în calculele calendaristice. Înregistrarea în acest sistem, ca și în cel modern, a fost absolută.

Sistemul modern de numere zecimale poziționale a apărut pe baza numerotării, care a apărut cel târziu în secolul al V-lea. in India. Înainte de aceasta, India avea sisteme de numere care foloseau nu numai principiul adunării, ci și principiul înmulțirii (unitatea unei cifre este înmulțită cu numărul din stânga). Vechiul sistem de numere chinezesc și unele altele au fost construite într-un mod similar. Dacă, de exemplu, desemnăm în mod convențional numărul 3 ca simbol III și numărul 10 ca simbol X, atunci numărul 30 va fi scris ca IIIX (trei zeci). Astfel de sisteme numerice ar putea servi ca o abordare pentru crearea numerotării poziționale zecimale.

Sistemul pozițional zecimal face posibilă, în principiu, scrierea unor numere arbitrar mari. Scrierea numerelor în el este compactă și convenabilă pentru efectuarea operațiilor aritmetice. Prin urmare, la scurt timp după înființare, sistemul de numere poziționale zecimale începe să se răspândească din India către vest și est. În secolul al IX-lea au apărut manuscrise în arabă, care stabileau acest sistem de numere; în secolul al X-lea, numerotarea pozițională zecimală a ajuns în Spania; la începutul secolului al XII-lea, a apărut în alte țări europene. Noul sistem de numere a fost numit arabă deoarece în Europa a fost introdus pentru prima dată prin traduceri latine din arabă. Abia în secolul al XVI-lea noua numerotare a devenit larg răspândită în știință și viața de zi cu zi. În Rusia începe să se răspândească în secolul al XVII-lea și chiar la începutul secolului al XVIII-lea. îl înlocuiește pe cel alfabetic. Odată cu introducerea fracțiilor zecimale, sistemul de numere poziționale zecimale a devenit un mijloc universal de scriere a tuturor numerelor reale.

Memoria omenirii nu ne-a păstrat și nici nu ne-a transmis numele inventatorului roții sau al roții olarului. Acest lucru nu este surprinzător: au trecut mai bine de 10 mii de ani de când oamenii s-au apucat serios de agricultură, creșterea vitelor și producția de bunuri simple. Este și mai imposibil să numim geniul care a pus primul întrebarea „cât?”

În epoca de piatră, când oamenii strângeau fructe, pescuiau și vânau animale, nevoia de a număra a apărut la fel de firesc ca și nevoia de a face foc. Acest lucru este dovedit de descoperirile arheologilor pe siturile oamenilor primitivi. De exemplu, în 1937, în Moravia, pe locul unuia dintre aceste situri, a fost găsit un os de lup cu 55 de crestături adânci. Mai târziu, în alte locuri, oamenii de știință au găsit obiecte de piatră la fel de vechi, cu puncte și liniuțe grupate în grupuri de 3 sau 5. Acestea au fost sisteme antice numere de înregistrare - sisteme de numere.

Sisteme numerice din cele mai vechi timpuri până în zilele noastre.

Cel mai vechi sistem de scriere a numerelor se numește unitate, deoarece orice număr din el se formează prin repetarea unui semn, simbolizând unul. Grupările și pictogramele auxiliare sunt folosite doar pentru a facilita percepția numerelor mari.

Sistemul unitar de numere al oamenilor primitivi care desenau bețe pe pereții peșterilor sau făceau crestături pe oasele de animale și ramurile copacilor nu a fost uitat nici astăzi. Cum să aflați ce curs învață un cadet al școlii militare? Numără câte dungi sunt cusute pe mâneca uniformei sale. Numărul de avioane inamice doborâte de un as în luptele aeriene este indicat de numărul de stele pictate pe fuselajul aeronavei sale.

Mai târziu, au apărut multe sisteme de numere diferite, iată cele mai faimoase dintre ele.

În jurul anilor 3-2,5 mii de ani î.Hr., egiptenii antici au venit cu propriul lor sistem numeric. În ea, numerele cheie: 1, 10, 100 etc. au fost reprezentate cu icoane hieroglifice speciale. Egiptenii le-au sculptat pe pereții camerelor funerare și le-au scris cu un stilou de trestie pe suluri de papirus.

Printre numeroasele sisteme de numere hieroglifice care au existat la diferite momente, națiuni diferite, doar unul este încă în uz. Numerele sale sunt familiare tuturor, deși au deja aproximativ 2,5 mii de ani. Aceste numere se găsesc pe cadranele ceasurilor, frontoanele clădirilor antice și moderne, pe monumente și pe paginile cărților. Ei bine, desigur, vorbim despre sistemul de numere roman.

Cum se citesc cifrele romane? Una dintre regulile de scriere a numerelor romane spune: „dacă o cifră mai mare vine înaintea uneia mai mici, atunci se adaugă, dar dacă una mai mică vine înaintea uneia mai mari (în acest caz, cifra mai mică nu se poate repeta), atunci cel mai mic se scade din cel mai mare.”

În zilele noastre, este interzis să scrieți oricare dintre cifrele romane într-un număr de mai mult de trei ori la rând. În acest sens, expresiile VIII, XXXX etc. sunt considerate incorecte. Cu toate acestea, vechii romani nu știau nimic despre o astfel de restricție, iar numărul 1995 ar fi scris cel mai probabil astfel: MDCCCCLXXXXV.

Pe lângă cele egiptene și romane, sistemele de numere hieroglifice includ fenicia, palmira, cretană, siriană, greacă atică sau erodiană (din mesajul gramaticianului Herodian, care a trăit în secolele 2-3, istoricii europenii de vest pentru prima dată). aflat despre existența sa). Sunt cunoscute și sistemele hieroglifice vechi chinezești, indiene vechi și aztece. În ele, ca și în sistemele egipteană și romană, sunt introduse numere cheie, pentru a desemna ce hieroglife speciale sunt folosite. Toate celelalte numere se formează prin adăugarea pe o parte sau alta a numărului cheie al altor numere cheie, eventual cu unele repetări.

Este interesant de observat că multe popoare au folosit același simbol pentru a desemna numărul 1 - o liniuță verticală. Exact asta număr străvechiîn istoria omenirii. A apărut dintr-o linie simplă pe pământ, dintr-o crestătură dintr-un copac sau dintr-un os.

Alături de sistemele hieroglifice, sistemele în care numerele erau reprezentate prin litere ale alfabetului au fost utilizate pe scară largă în timpurile străvechi. Exact asta era numerotarea alfabetică grecească, numită ionică. A înlocuit sistemul atic în secolul al III-lea î.Hr. e. Împreună cu creștinismul și scrierea, această numerotare a venit la slavi - mai întâi la sud, apoi la est.

Sisteme de numere similare, în care literele alfabetului se dublau ca numere, erau folosite în antichitate de arabi, evrei, georgieni și armeni.

Intrările de numere în numerotarea alfabetică sunt mai scurte decât în ​​numerotarea hieroglifică. Dar ambele sisteme de reprezentare a numerelor au un dezavantaj foarte semnificativ: operațiile aritmetice pe astfel de numere sunt o sarcină foarte intensă de muncă. Sistemele poziționale nu au acest inconvenient. Ideea de a atribui numerelor diferite valori în funcție de poziția lor în înregistrarea numerelor a apărut pentru prima dată în mileniul III î.Hr. Hei. în Mesopotamia (Interfluve) printre vechii oameni talentați - sumerienii. De la ei a trecut la babilonieni - noii stăpâni ai Mesopotamiei, motiv pentru care a intrat în istorie ca sistem de numere babilonian.

Sistemul sexagesimal a fost utilizat pe scară largă în calculele astronomice până la Renaștere.

Indienii mayași, care au trăit în America Centrală, la început nouă eră reprezentau numerele aproximativ la fel ca vechii sumerieni. Mayașii au inventat un sistem de numere similar, dar cu baze diferite - cinci cifre-douăzeci.

Cea mai veche intrare cunoscută în sistemul zecimal pozițional a fost descoperită în India și datează din 595. Apariția binecunoscutului zero a fost pregătită de sistemele numerice care au fost folosite de mult timp nu numai în India, ci și în China antică. În aceste sisteme antice de înregistrare acelasi numar unități, zeci, sute sau mii, au fost folosite aceleași simboluri, dar au fost marcate suplimentar în ce cifră se aflau. Treptat, am observat că, chiar dacă nu indicați numele cifrelor, numărul poate fi totuși citit, deoarece fiecare cifră are propriul „scaun” - poziție. Și dacă poziția este goală, atunci trebuie să fie marcată cu o pictogramă specială - zero. Un astfel de semn a început să apară în textele babiloniene de mai târziu, dar nu a fost niciodată pus la sfârșitul unui număr. Abia în India, în secolul al IX-lea, zeroul și-a luat în sfârșit locul în numerotare, care s-a răspândit apoi în întreaga lume.

Numerotarea indiană a venit mai întâi în țările arabe și apoi în Europa de Vest. Matematicianul din Asia Centrală al-Khwarizmi a vorbit despre asta în detaliu. Regulile simple și convenabile pentru adunarea și scăderea numerelor arbitrar mari scrise în sistemul pozițional l-au făcut deosebit de popular. Și din moment ce opera lui al-Khwarizmi a fost scrisă într-o limbă comună Lumea musulmană limba – arabă, apoi numele incorect „Araba” a fost atribuit numerotării indiene în Europa.

În sistemul zecimal există doar 10 cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Se mai spune că aceste cifre reprezintă coeficienții de expansiune a unui număr dat în puteri de 10 , iar numărul 10 însuși se numește baza sistemului Reckoning. „Greutatea” unei cifre în notația zecimală a unui număr este determinată de poziția sa: cu cât o anumită poziție este mai departe de cifra cea mai din dreapta a unităților, cu atât „soliditatea” și „greutatea” este mai mare. Prin urmare, sistemul adoptat de scriere a numerelor se numește sistem numeric pozițional zecimal.

Un sistem de numere poziționale în care puterile lui 2 sunt alese ca numere de bază se numește sistem de numere pozițional binar. Pentru a distinge numerele scrise în diferite sisteme numerice, acestea sunt incluse între paranteze, iar baza sistemului numeric este indicată în dreapta jos. De exemplu, intrarea (1100)2 înseamnă același număr ca și intrarea (12)10. Deoarece folosim cu toții sistemul numeric zecimal, baza zecimală nu este de obicei indicată: (1100)2=12.

Sistemul de numere binare a devenit una dintre sursele enormei revoluții informatice care a avut loc în secolul al XX-lea. Din punct de vedere tehnic, este ușor să reproduci două numere: unul - curentul curge în elementul semiconductor, zero - nu curge curent. Stările elementului „curent trece” și „curent nu trece” se pot înlocui reciproc în perioade foarte scurte de timp - milioanemi de secundă. Acest lucru vă permite să efectuați operații aritmetice pe cifre binare la o viteză incredibilă.

În comparație cu tabelele voluminoase de înmulțire și adunare din sistemul zecimal, tabelele de înmulțire și adunare pentru numerele binare sunt miniaturale.

Operațiunile sunt simple, iar computerul le realizează impecabil. Dar uneori apare un fel de defecțiune în mașină sau în programul care solicită computerului să efectueze calcule conține o eroare. Apoi programatorii trebuie să se verifice de două ori pe ei înșiși și pe computer, așa că un bun specialist nu poate face fără cunoștințe despre întreaga bucătărie de computer care „gătește” numere binare.

Dezavantajele sistemului binar includ doar înregistrarea „lungă” a numerelor (cu cât sunt mai puține cifre în sistem, cu atât numărul va fi scris mai lung). Conversia la un sistem binar este puțin probabil să se facă mental, așa că au început să fie folosite sisteme care sunt legate de sistemul de numere binar, în care scrierea unui număr pe hârtie este mai scurtă decât în ​​binar, iar algoritmii de translație nu necesită calcule complexe.

Există 8 cifre în sistemul octal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Cifra 1 scrisă în cifra cea mai puțin semnificativă înseamnă - la fel ca într-un număr zecimal, doar unul și în următorul cifra înseamnă 8, în următorul - 64 etc.

Scrierea unui număr în sistemul octal este destul de compactă, dar este și mai compactă în sistemul hexazecimal. Pentru primele zece cifre se folosesc numerele uzuale: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, iar pentru celelalte șase cifre se folosesc primele litere ale alfabetului latin: A -10, B-11, C-12, D-13, E-14, F-15. Ca și în sistemul octal, cifra 1, scrisă cu cifra cea mai puțin semnificativă, înseamnă unu. În următoarea cifră, același număr 1 înseamnă 16, în următorul – 256 etc. cifra F scrisă în cifra cea mai puțin semnificativă înseamnă 15, în următoarea cifră – 15∙16 etc.

Astfel, în tehnologiile informaționale moderne, atunci când se creează software, se folosește în principal sistemul de numere binare, deoarece este mai ușor pentru un computer să opereze cu un număr mare de elemente simple decât cu un număr mic de elemente complexe.

Concluzie

În realitatea modernă, oamenii folosesc multe sisteme numerice. Uneori nici noi înșine nici nu observăm că, de exemplu, folosim sistemul sexagesimal în ceasuri, duozecimal în calendar etc. Nu le observăm în jurul nostru, dar nu ne putem imagina viața fără ele. Istoria a rezolvat aceste sisteme, iar unele dintre ele au dispărut fără urmă, dar acum există diferite sisteme în care este mai convenabil să le folosești. De exemplu, este mai ușor pentru o persoană să perceapă numere zecimale scurte, dar este mai convenabil ca un computer să lucreze cu un număr mare de semnale simple în numere binare. De-a lungul timpului, avantajele și dezavantajele diferitelor sisteme de numere au fost dezvăluite, iar acum sunt folosite exact acolo unde este nevoie.

Acesta este un mod de reprezentare a numerelor și regulile corespunzătoare pentru operarea cu numere.

Diferitele sisteme numerice care au existat în trecut și care sunt folosite astăzi pot fi împărțite în non-pozițional și pozițional.

Sisteme nepoziționale ale antichității

Un studiu efectuat de arheologi despre „însemnări” din timpul paleoliticului pe os, piatră și lemn a arătat că oamenii au căutat să grupeze semnele de 3, 5, 7 și 10 piese. Această grupare a făcut numărarea mai ușoară. Oamenii au învățat să numere nu numai în unități, ci și în trei, cinci, etc. De la prima instrument de calcul oamenii aveau degete, așa că numărarea se făcea cel mai adesea în grupuri de 5 sau 10 articole.

Mai târziu, zece zeci (sute), zece sute (mii) etc.. Pentru ușurința înregistrării, astfel de numere cheie au început să fie desemnate cu pictograme speciale - numere. Dacă, la numărarea obiectelor, erau încă 2 sute, 5 zeci și încă 4 obiecte, atunci la înregistrarea acestei valori, semnul sutelor a fost repetat de două ori, semnul zecilor de cinci ori, iar unitățile semnează de patru ori.

În astfel de sisteme numerice, poziția semnului în înregistrarea numerelor nu depinde de valoarea pe care o denotă; de aceea se numesc sisteme numerice nepoziționale.

Sistemele non-poziționale au fost folosite de vechii egipteni, greci, romani și alte câteva popoare din antichitate.

numere mayașe

Sunteți familiarizat cu sistemul numeric zecimal pozițional încă din copilărie, dar poate nu știați că se numește așa.

Ce înseamnă proprietatea pozițională a unui sistem numeric este ușor de înțeles folosind exemplul oricărui număr zecimal format din mai multe cifre. De exemplu, în numărul 333, primele trei înseamnă trei sute, a doua - trei zeci, a treia - trei. Aceeași cifră, în funcție de poziția sa în notația numerică, denotă semnificații diferite.

333 = 3 100 + 3 10 + 3.

Alt exemplu:

32.478 = 3 10 000 + 2 1000 + 4 100 + 7 10 + 8 = 3 10 4 + 2 10 3 + 4 10 2 + 7 10 1 + 8 10 0.

Aceasta arată că orice număr zecimal poate fi reprezentat ca suma produselor cifrelor sale constitutive prin puterile corespunzătoare ale zece. Același lucru este valabil și pentru zecimale.

26.387 = 2 10 1 + 6 10 0 + 3 10 -1 + 8 10 -2 + 7 10 -3.

Evident, numărul „zece” nu este singura bază posibilă pentru sistemul pozițional. Celebrul matematician rus N. N. Luzin a spus-o astfel: „Avantajele sistemului zecimal nu sunt matematice, ci zoologice. Dacă am avea opt degete în loc de zece pe mâini, atunci omenirea ar folosi sistemul octal.”

Orice număr natural mai mare decât 1 poate fi luat ca bază a sistemului de numere poziționale.Sistemul babilonian menționat mai sus avea o bază de 60. Urmele acestui sistem au supraviețuit până astăzi în ordinea numărării unităților de timp (1 oră = 60 de minute, 1 minut = 60 de secunde).

Pentru a scrie numere în sistemul pozițional de bază n, trebuie să aveți un alfabet de n cifre. De obicei în acest scop când n < 10 folosește primele n cifre arabe, iar când n > 10, litere sunt adăugate celor zece cifre arabe.

Iată exemple de alfabete ale mai multor sisteme:

Baza sistemului căruia îi aparține un număr este de obicei indicată printr-un indice la acel număr:

101101 2, 3671 8, ЗВ8F 16.

Cum se construiește o serie de numere naturale în diferite sisteme de numere poziționale? Acest lucru se întâmplă după același principiu ca și în sistemul zecimal. Mai întâi sunt numere cu o singură cifră, apoi numere cu două cifre, apoi numere cu trei cifre etc. d. Cel mai mare număr dintr-o singură cifră din sistemul zecimal este 9. Apoi vin numerele din două cifre - 10, 11,12, ... Cel mai mare număr de două cifre este 99, apoi 100, 101, 102 etc. la 999, apoi la 1000 etc. d.

De exemplu, luați în considerare sistemul cinci. În ea, seria numerelor naturale arată astfel:

1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34, 40, 41, 42, 43, 44, 100, 101, …, 444, 1000, ... .

Se poate observa că aici numărul de cifre „crește” mai repede decât în ​​sistemul zecimal. Numărul de cifre crește cel mai rapid în sistemul de numere binar. Următorul tabel compară începuturile seriei naturale de numere zecimale și binare:

10	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
2	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011

Pe scurt despre principalul lucru

Un sistem numeric este un mod specific de a scrie numere și regulile corespunzătoare pentru operarea numerelor.

Sistemele numerice pot fi poziționale sau nepoziționale. Un exemplu de sistem non-pozițional este sistemul numeric roman.

Într-un sistem de numere poziționale, valoarea cantitativă a fiecărei cifre depinde de poziția cifrei în număr.

Alfabetul unui sistem numeric este setul de numere folosit în acesta. Baza sistemului numeric este egală cu puterea alfabetului (numărul de cifre).

Cea mai mică bază posibilă a unui sistem de numere pozițional este 2. Un astfel de sistem se numește binar.

Sistemul de numere arabe este zecimal și pozițional.

Întrebări și sarcini

1. Ce este un sistem numeric?
2. Care este principala diferență dintre sistemele de numere poziționale și nepoziționale?
3. Care este baza sistemului numeric?
4. De ce sistemul numeric arab se numește pozițional zecimal?
5. Care este cea mai mică bază pentru un sistem pozițional?
6. Care sunt următoarele numere scrise cu cifre romane egale în sistemul zecimal:
XI; IX; LX; CLX; MDXLVIII?
7. Scrieți cu cifre romane numerele egale cu următoarele zecimale:
13; 99; 666; 444; 1692.
8. Notați o succesiune de douăzeci de numere în seria naturală, începând de la unu, pentru sistemele poziționale cu bazele 2, 3, 5, 8. Prezentați rezultatele sub forma unui tabel:

n=10	1	2	3	...	19	20
n=2
n=3
n=5
n=8

9. Construiți tabele de înmulțire pentru numere cu o singură cifră în sisteme de numere binare și ternare.

I. Semakin, L. Zalogova, S. Rusakov, L. Shestakova, Informatica, clasa a IX-a
Trimis de cititorii de pe site-uri de internet

Culegere de note pentru lecțiile de informatică, programa de informatică pentru clasa a 9-a, materiale de pregătire pentru lecții, teme gata făcute

Conținutul lecției notele de lecție sprijinirea metodelor de accelerare a prezentării lecției cadru tehnologii interactive Practică sarcini și exerciții ateliere de autotestare, instruiri, cazuri, întrebări teme pentru acasă întrebări de discuție întrebări retorice de la elevi Ilustrații audio, clipuri video și multimedia fotografii, imagini, grafice, tabele, diagrame, umor, anecdote, glume, benzi desenate, pilde, proverbe, cuvinte încrucișate, citate Suplimente rezumate articole trucuri pentru pătuțurile curioși manuale dicționar de bază și suplimentar de termeni altele Îmbunătățirea manualelor și lecțiilorcorectarea erorilor din manual actualizarea unui fragment dintr-un manual, elemente de inovație în lecție, înlocuirea cunoștințelor învechite cu altele noi Doar pentru profesori lecții perfecte plan calendaristic pentru anul; recomandări metodologice; programe de discuții Lecții integrate

Dacă aveți corecții sau sugestii pentru această lecție,