Istoria numerelor și sistemul numeric. Dezvoltarea istorică a sistemelor de numere

Sistemul de numere egiptean antic

În sistemul de numere egiptean antic, care a apărut în a doua jumătate a mileniului al treilea î.Hr. î.Hr., numerele speciale au fost folosite pentru a desemna numerele 1, 0, 102,103, 104, 105, 106, 107. Numerele din sistemul numeric egiptean au fost scrise ca combinații ale acestor numere, în care fiecare dintre ele a fost repetat de cel mult nouă ori. .

Sistemul de numere egiptean antic se baza pe principiul simplu al adunării, conform căruia valoarea unui număr este egală cu suma valorilor cifrelor implicate în înregistrarea acestuia. Oamenii de știință clasifică sistemul de numere egiptean antic ca zecimal non-pozițional.

În această figură sunt prezentate diferite versiuni ale imaginii XBCTK a sistemului egiptean.

Gif" width="14" height="15">.gif" width="17" height="18">.gif" width="14" height="15 src=">.gif" width="14 " height="15 src=">. Numărul 60 și toate puterile sale au fost din nou notate prin semn. Pentru a determina valoarea unui număr, acesta a fost împărțit în cifre, de la dreapta la stânga (o cifră nouă a început cu apariția unei pane drepte după una înclinată), iar în fiecare cifră nouă numărul indica un număr de 60 de ori mai mare decât in cea precedenta.

Ulterior, babilonienii au introdus un simbol special pentru a indica cifra sexagesimală lipsă - https://pandia.ru/text/78/213/images/image007_27.jpg" width="324 height=123" height="123">

Urmele sistemului babilonian au supraviețuit până astăzi: o oră este împărțită în 60 de minute, iar minutele în 60 de secunde;

un cerc este împărțit în 360 de părți (grade). Oamenii de știință numesc sistemul numeric babilonian sexagesimal. Acesta este primul sistem cunoscut bazat parțial pe principiul pozițional.

Sistemul de numere romane

Dintre toate sistemele antice, a supraviețuit până în zilele noastre. Nu prea fundamental diferit de cel egiptean. Pentru a desemna numerele 1, 5, 10, 50, 100, 500 și 100, se folosesc litere mari ale alfabetului latin, respectiv: I, V, X, L, C, D și M.

Un număr este indicat printr-un set de cifre consecutive. Valoarea unui număr este definită ca suma sau diferența cifrelor dintr-un număr. Dacă numărul mai mic este la stânga celui mai mare, atunci se scade, dacă la dreapta, atunci se adună. .

De exemplu, numărul1794 va fi scris astfel:MDCCXCIV.

Formarea numerelor conform regulilor menționate este destul de complexă și nu garantează întotdeauna același rezultat de înregistrare. De exemplu, este departe de a fi evident care dintre următoarele forme de scriere a numărului 1998 în sistemul numeric roman este corectă: MCMXCVIII sau MXMVIII(Și într-adevăr, care este adevărat?).

În antichitate, sistemele de numere care aminteau vag de cele romane erau utilizate pe scară largă în Rus'. Cu ajutorul lor, colectorii au completat bonuri de plată a impozitelor și au făcut înscrieri în caietul fiscal. De exemplu, 1232 de ruble 24 de copeici au fost descrise astfel: Iată textul legilor despre aceste așa-numite semne yasak:

„Astfel încât pe fiecare chitanță eliberată nobilului șef, de la care se va plăti yasak-ul, pe lângă faptul că este menționat în cuvinte, numărul de ruble și copeici contribuite să fie afișat cu semne speciale, astfel încât cei care predau o simplă numărare din aceasta. data poate fi sigură de valabilitatea mărturiei. Semnele folosite în chitanță înseamnă:

stea - o mie de ruble;

roată - o sută de ruble;

pătrat - zece ruble;

X – o rublă;

I I I I I I I I I I – zececopeici;

I – copecul.

Astfel încât să fie imposibil să se facă adăugări aici, toate astfel de semne ar trebui să fie conturate într-un cerc cu linii drepte.”

Sisteme alfabetice

Sistemele non-poziționale mai avansate au fost sistemele alfabetice: Slavă, Greacă, Feniciană și altele. În ele, numerele de la 1 la 9, numerele întregi de zeci (de la 10 la 90) și numerele întregi de sute (de la 100 la 900) au fost desemnate prin litere ale alfabetului.

Un semn special „~” a fost plasat deasupra literelor care denotă numere.

Este interesant că numerele de la 11 („unul peste zece”) la 19 („nouă peste zece”) au fost scrise în același mod în care au fost numite, adică numărul care denotă unu a fost scris înaintea numărului care denotă zece. Unele nume de numere slave au supraviețuit până astăzi, totuși, într-un sens ușor diferit: – „întuneric”, – „legiune”. Cea mai mare dintre valori a fost numită „punte” (1050). Se credea că „mintea umană nu poate înțelege mai mult decât atât”.

Sistemul multiplicativ indian

Principiul multiplicativ este următorul: să fie, de exemplu, zecile notate cu simbolul X, iar sutele cu simbolul Y. Apoi scrierea numărului 323 va arăta astfel: 3Y 2X 3. În astfel de sisteme de scriere acelasi numar unități, zeci, sute sau mii, se folosesc aceleași simboluri, dar după fiecare simbol există un simbol care indică numele categoriei.

Sistemul duodenului

Sistemul de numere duozecimale era destul de răspândit. Originea sa este, de asemenea, legată de numărarea pe degete. Falangele celor patru degete rămase au fost numărate cu degetul mare: sunt în total 12. Elemente ale sistemului numeric duozecimal s-au păstrat în Anglia în sistemul de măsuri (1 picior = 12 inci) și în sistemul monetar (1 șiling = 12 pence). Numerele în engleză de la unu la doisprezece au propriul nume, numerele ulterioare sunt compuse.

Apariția lui zero

Acum este greu de imaginat, dar oamenii au lucrat la inventarea acestui număr, atât de familiar pentru noi, de mai bine de un mileniu. Numai odată cu inventarea sistemelor multiplicative a apărut întrebarea cu privire la necesitatea unui simbol care să indice cantitatea lipsă. Prototipul lui zero a fost, aparent, semnul Ο, introdus de oamenii de știință greci (conform primei litere a cuvântului grecesc Ουδεν - nimic).

După ce ați studiat acest subiect, veți învăța și veți repeta:

Ce sisteme numerice există;
- cum se convertesc numerele dintr-un sistem numeric în altul;
- cu ce sisteme numerice lucreaza calculatorul;
- cum sunt reprezentate diferite numere în memoria computerului.

Din cele mai vechi timpuri, oamenii s-au confruntat cu problema desemnării (codării) informațiilor numerice.

Copiii mici își arată vârsta pe degete. Un pilot a doborât un avion, primește un asterisc pentru el, Robinson Crusoe a numărat zilele cu crestături.

Numărul desemna niște obiecte reale ale căror proprietăți erau aceleași. Când numărăm sau relatăm ceva, parcă depersonalizăm obiectele, adică. dam de înțeles că proprietățile lor sunt aceleași. Dar cea mai importantă proprietate a unui număr este prezența unui obiect, adică. unitatea și absența acesteia, adică zero.

Ce este un număr?

Acesta este alfabetul numerelor, un set de simboluri cu care codificăm numerele. Numerele sunt alfabetul numeric.

Numerele și numerele sunt două lucruri diferite! Să considerăm două numere 5 2 și 2 5. Numerele sunt aceleași - 5 și 2.

Cum sunt diferite aceste numere?

În ordinea numerelor? - Da! Dar este mai bine să spunem - poziția cifrei în număr.

Să ne gândim ce este un sistem numeric?

Asta scrie numere? Da! Dar nu putem scrie așa cum ne place - alții trebuie să ne înțeleagă. Prin urmare, este, de asemenea, necesar să folosiți anumite reguli pentru înregistrarea acestora.

Conceptul de sistem numeric

Numerele sunt folosite pentru a înregistra informații despre numărul de obiecte. Numerele sunt scrise folosind sisteme speciale de semne numite sisteme numerice. Alfabetul sistemelor de numere este format din simboluri numite cifre. De exemplu, în sistemul numeric zecimal, numerele sunt scrise folosind zece cifre binecunoscute: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Un sistem numeric este un sistem cu semne în care numerele sunt scrise conform anumitor reguli folosind simboluri ale unui anumit alfabet numit cifre.

Toate sistemele numerice sunt împărțite în două grupuri mari: pozițional și non-pozițional sisteme de numere. În sistemele de numere poziționale, valoarea unei cifre depinde de poziția sa în număr, dar în sistemele de numere non-poziționale nu depinde.

Sistemele de numere non-poziționale au apărut mai devreme decât cele poziționale, așa că vom lua în considerare mai întâi diverse sisteme de numere non-poziționale.

Sisteme numerice non-poziționale

Un sistem numeric nepozițional este un sistem numeric în care echivalentul cantitativ („greutatea”) al unei cifre nu depinde de locația acesteia în înregistrarea numerelor.

Sistemele nepoziționale includ: sistemul numeric roman, sistemele numerice alfabetice și altele.

La început, oamenii pur și simplu distingeau între UN obiect din fața lor sau nu. Dacă erau mai multe articole, ei spuneau „MULTE”.

Primele concepte ale matematicii au fost „mai puțin”, „mai mult”, „la fel”.

Dacă un trib schimba peștele prins cu cuțite de piatră făcute de oameni dintr-un alt trib, nu era nevoie să numărăm câți pești și câte cuțite au adus. A fost suficient să așezi câte un cuțit lângă fiecare pește pentru ca schimbul dintre triburi să aibă loc.

Contul a apărut atunci când o persoană trebuia să-și informeze colegii de trib despre numărul de obiecte pe care le-a găsit.

Și, din moment ce multe popoare din cele mai vechi timpuri nu comunicau între ele, atunci națiuni diferite Au apărut diferite sisteme de numerotare și reprezentare a numerelor și cifrelor.

Cifrele în multe limbi indică faptul că instrumentele de numărare ale omului primitiv erau în primul rând degetele.

Degetele s-au dovedit a fi o mașină de calcul excelentă. Cu ajutorul lor, se putea număra până la 5, iar dacă iei două mâini, atunci până la 10. În antichitate, oamenii mergeau desculți. Prin urmare, își puteau folosi degetele de la mâini și de la picioare pentru a număra. Există încă triburi în Polinezia care folosesc sistemul numeric al 20-lea.

Cu toate acestea, sunt cunoscute popoare ale căror unități de numărare nu erau degetele, ci articulațiile lor.

Sistemul de numere duozecimale era destul de răspândit. Originea sa este legată de numărarea pe degete. Au numărat cu degetul mare falangele celorlalte patru degete: sunt 12 în total.

Elemente ale sistemului numeric duozecimal s-au păstrat în Anglia în sistemul de măsuri (1 picior = 12 inci) și în sistemul monetar (1 șiling = 12 pence). Adesea, în viața de zi cu zi întâlnim sistemul numeric duozecimal: seturi de ceai și masă pentru 12 persoane, un set de batiste - 12 piese.

Numerele în engleză de la unu la doisprezece au propriul nume, numerele ulterioare sunt compuse:

Pentru numerele de la 13 la 19, sfârșitul cuvintelor este adolescent. De exemplu, 15 -- cincisprezece.

Numărarea degetelor a fost păstrată în unele locuri până astăzi. De exemplu, la cea mai mare bursă de cereale din lume din Chicago, ofertele și cererile, precum și prețurile, sunt anunțate de brokeri pe degete fără un singur cuvânt.

A fost dificil să memorezi numere mari, așa că diverse dispozitive au fost adăugate la „mașina de numărat” a brațelor și picioarelor. Era nevoie să scriem numerele.

Numărul de obiecte a fost reprezentat prin desenarea liniuțelor sau serifilor pe orice suprafață tare: piatră, lut...

Sistem de numere de unitate („stick”)

Nevoia de a scrie numere a apărut în vremuri foarte străvechi, de îndată ce oamenii au început să numere. Numărul de obiecte era înfățișat prin trasarea de linii sau serifi pe orice suprafață tare: piatră, lut, lemn (inventarea hârtiei era încă foarte, foarte departe). Fiecare obiect dintr-o astfel de înregistrare corespundea unei linii. Arheologii au găsit astfel de „înregistrări” în timpul săpăturilor de straturi culturale datând din perioada paleolitică (10 - 11 mii de ani î.Hr.).

Oamenii de știință au numit această metodă de scriere a numerelor sistem de numere de unitate („stick”). În ea, a fost folosit un singur tip de semn pentru a înregistra numere - „stick”. Fiecare număr dintr-un astfel de sistem de numere a fost desemnat folosind o linie formată din bastoane, al căror număr era egal cu numărul desemnat. Peruvenii foloseau snururi multicolore cu noduri legate pentru a-și aminti numerele. Mod interesant folosit pentru înregistrarea numerelor de către civilizațiile indiene în jurul secolului al VIII-lea î.Hr nouă eră. Au folosit „scrierea nodurilor” - fire legate între ele. Simbolurile de pe aceste fire erau noduri, adesea cu pietre sau scoici țesute în ele. Înregistrarea înnodată a numerelor permitea incașilor să transmită informații despre numărul de războinici, să indice numărul de decese sau nașteri într-o anumită provincie și așa mai departe.

În jurul anului 1100 d.Hr e. rege englez Henric I a inventat unul dintre cele mai neobișnuite sisteme monetare din istorie, numit sistemul „tijă de măsurare”. Acest sistem monetar a durat 726 de ani și a fost abolit în 1826.

O fâșie de lemn lustruit cu crestături care indică denumirea a fost despicată pe toată lungimea ei pentru a păstra crestăturile.

Inconvenientele unui astfel de sistem de scriere a numerelor și limitările aplicării lui sunt evidente: cu cât numărul care trebuie scris este mai mare, cu atât șirul de bețe este mai lung. Da și la înregistrare un numar mare Este ușor să faci o greșeală aplicând prea multe bețișoare sau, dimpotrivă, neterminându-le.

Sistemul de numere zecimal egiptean antic (2,5 mii î.Hr.)

În jurul mileniului III î.Hr., vechii egipteni au venit cu propriul sistem numeric, în care numerele cheie erau 1, 10, 100 etc. au fost folosite icoane speciale – hieroglife.

Toate celelalte numere au fost compuse din aceste numere cheie folosind operația de adunare. Notaţie Egiptul antic este zecimal, dar nepozițional și aditiv.

Cifrele numărului au fost înregistrate începând cu cele mai mari valori și terminând cu cele mai mici. Dacă nu existau zeci, unități sau altă cifră, atunci am trecut la următoarea cifră.

Încercați să adăugați aceste două numere, știind că nu puteți utiliza mai mult de 9 hieroglife identice și veți înțelege imediat că este nevoie de o persoană specială pentru a lucra cu acest sistem. Pentru o persoană obișnuită Acest lucru nu este posibil.

Sistemul numeric zecimal roman (2 mii de ani î.Hr. până în prezent)

Cel mai comun dintre sistemele de numere nepoziționale este sistemul roman.

Principala problemă cu cifrele romane este că înmulțirea și împărțirea sunt dificile. Un alt dezavantaj al sistemului roman este: Scrierea numerelor mari necesită introducerea de noi simboluri. Numerele fracționale pot fi scrise doar ca raport de două numere. Cu toate acestea, ele au fost de bază până la sfârșitul Evului Mediu. Dar în vremea noastră se mai folosesc.

Îți amintești unde?

Semnificația unei cifre nu depinde de poziția sa în număr.

De exemplu, în numărul XXX (30), numărul X apare de trei ori și în fiecare caz indică aceeași valoare - numărul 10, trei numere de 10 însumează 30.

Mărimea unui număr în sistemul numeric roman este definită ca suma sau diferența cifrelor din număr. Dacă numărul mai mic este la stânga celui mai mare, atunci se scade, dacă la dreapta se adună.

Amintiți-vă: 5, 50, 500 nu se repetă!

Care se pot repeta?

Dacă există o cifră minoră la stânga cifrei majore, se scade. Dacă cifra cea mai mică este în dreapta celei mai înalte, atunci se adaugă - I, X, C, M pot fi repetate de până la 3 ori.

De exemplu:

1) MMIV = 1000+1000+5-1 = 2004

2) 149 = (O sută este C, patruzeci este XL și nouă este IX) = CXLIX

De exemplu, scrierea numărului zecimal 1998 în sistemul numeric roman ar arăta astfel: MSMХСVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) + 5 + 1 + 1 + 1.

Sisteme numerice alfabetice
slavă chirilică alfabetică zecimală

Această numerotare a fost creată împreună cu sistemul alfabetic slav pentru a traduce cărțile biblice sacre pentru slavi de către călugării greci, frații Chiril și Metodie, în secolul al IX-lea. Această formă de scriere a numerelor a devenit larg răspândită datorită faptului că era complet asemănătoare cu notația greacă a numerelor. Până în secolul al XVII-lea, această formă de înregistrare a numerelor era oficială pe teritoriu Rusia modernă, Belarus, Ucraina, Bulgaria, Ungaria, Serbia și Croația. Până acum, cărțile bisericești ortodoxe folosesc această numerotare.

Numerele erau scrise din cifre în același mod de la stânga la dreapta, de la mare la mic. Numerele de la 11 la 19 au fost scrise cu două cifre, unitatea fiind înainte de zece:

Citim literal „paisprezece” - „patru și zece”. După cum auzim, scriem: nu 10+4, ci 4+10, - patru și zece. Numerele de la 21 și mai sus au fost scrise invers, cu semnul zecilor scris primul.

Notația numerică folosită de slavi este aditivă, adică folosește doar adunarea:

= 800+60+3

Pentru a nu confunda literele cu cifrele, s-au folosit titluri - linii orizontale deasupra numerelor, pe care le vedem în figură.

Pentru a indica numere mai mari de 900, au fost folosite pictograme speciale care au fost adăugate la literă. Așa s-au format numerele:

Numerotarea slavă a existat până la sfârșitul secolului al XVII-lea, până când sistemul de numere zecimale poziționale a venit în Rusia din Europa odată cu reformele lui Petru I.

Sistemele de numere indiene antice

Sistemul de numere Kharoshti a fost folosit în India între secolul al VI-lea î.Hr. și secolul al III-lea d.Hr. Acesta a fost un sistem de numere aditiv non-pozițional. Se știu puține despre ea, deoarece puține documente scrise din acea epocă au supraviețuit. Sistemul Kharoshti este interesant prin faptul că numărul patru este ales ca pas intermediar între unu și zece. Numerele erau scrise de la dreapta la stânga.

Odată cu acest sistem, a existat un alt sistem de numere Brahmi în India.

Numerele Brahmi au fost scrise de la stânga la dreapta. Cu toate acestea, ambele sisteme aveau destul de multe în comun. În special, primele trei cifre sunt foarte asemănătoare. Lucrul comun era că până la o sută se folosea metoda aditivă, iar după aceea se folosea metoda multiplicativă. O diferență importantă între numerele Brahmi a fost că numerele de la 4 la 90 erau reprezentate de un singur semn. Această caracteristică a numerelor Brahmi a fost folosită mai târziu pentru a crea un sistem zecimal pozițional în India.

ÎN India antică Exista și un sistem verbal de numere. Era multiplicativ și pozițional. Semnul zero a fost pronunțat ca „gol”, „cer” sau „gaură”. Unitatea este ca „lună” sau „pământ”. Doi este ca „gemeni”, sau „ochi”, sau „nări”, sau „buze”. Patru ca „oceane”, „direcții cardinale”. De exemplu, numărul 2441 a fost pronunțat astfel: ochii oceanelor sunt direcțiile cardinale ale lunii.

Dezavantajele sistemelor numerice non-poziționale:

1. Există o nevoie constantă de a introduce noi simboluri pentru înregistrarea numerelor mari.

2. Este imposibil de reprezentat fracționar și numere negative.

3. Este dificil să se efectueze operații aritmetice, deoarece nu există algoritmi pentru efectuarea lor. În special, toate națiunile, împreună cu sistemele de numere, aveau metode de numărare a degetelor, iar grecii aveau o tablă de numărare a abac - ceva ca abacul nostru.

Până la sfârșitul Evului Mediu, nu a existat un sistem universal de înregistrare a numerelor. Numai odată cu dezvoltarea matematicii, fizicii, tehnologiei, comerțului și a sistemului financiar a apărut nevoia unui singur sistem de numere universal, deși chiar și acum multe triburi, națiuni și naționalități folosesc alte sisteme de numere.

Dar încă folosim elemente ale sistemului numeric non-pozițional în vorbirea de zi cu zi, în special, spunem o sută, nu zece zeci, o mie, un milion, un miliard, un trilion.

Sisteme numerice poziționale

Un sistem numeric pozițional este un sistem numeric în care echivalentul cantitativ („greutatea”) al unei cifre depinde de locația acesteia în notația numărului.

Orice sistem numeric pozițional este caracterizat de baza sa.

Baza sistemului numeric pozițional - numărul de cifre diferite utilizate pentru a reprezenta numere într-un sistem de numere dat.

Orice număr natural poate fi luat ca bază - doi, trei, patru, ..., formând un nou sistem pozițional: binar, ternar, cuaternar etc.

zecimal/sexagezimal babilonian

În Babilonul antic, în jurul mileniului al II-lea î.Hr., exista un astfel de sistem de numere - numerele mai mici de 60 erau indicate cu două semne: pentru unu și pentru zece. Aveau un aspect în formă de pană, deoarece babilonienii scriau pe tăblițe de lut cu bețișoare triunghiulare. Aceste semne au fost repetate de numărul necesar de ori, de exemplu

Se crede că sumerienii aveau un sistem zecimal, iar după ce au fost cuceriți de semiți, sistemul lor a fost adaptat la sistemul sexagesimal al semiților.

Notația sexagesimală a numerelor întregi nu a fost utilizată pe scară largă în afara regatului asiro-babilonian, dar fracțiile sexagesimale sunt încă folosite în măsurarea timpului. De exemplu, un minut = 60 de secunde, o oră = 60 de minute.

zecimală chineză veche

Acest sistem este unul dintre cele mai vechi și mai progresive, deoarece conține aceleași principii ca și cel modern „arab” pe care îl folosim. Acest sistem a apărut acum aproximativ 4.000 de mii de ani în China.

Numerele din acest sistem, la fel ca al nostru, au fost scrise de la stânga la dreapta, de la cel mai mare la cel mai mic. Dacă nu erau zeci, unități sau altă cifră, atunci la început nu au pus nimic și au trecut la următoarea cifră. (În timpul dinastiei Ming, a fost introdus un semn pentru o cifră goală - un cerc - un analog al zeroului nostru). Pentru a nu încurca cifrele, s-au folosit mai multe hieroglife de serviciu, scrise după hieroglifa principală, și care arată ce valoare ia hieroglifa-cifra într-o cifră dată.

Aceasta este notație multiplicativă deoarece folosește înmulțirea. Este zecimal, are semnul zero, iar pe lângă acesta este pozițional. Acestea. aproape corespunde sistemului de numere „arabe”.

Sistemul numeric de bază mayaș sau numărare lungă

Acest sistem este foarte interesant deoarece dezvoltarea lui nu a fost influențată de nicio civilizație din Europa și Asia. Acest sistem a fost folosit pentru observații calendaristice și astronomice. Trăsătura sa caracteristică a fost prezența unui zero (o imagine a unei scoici). Baza acestui sistem a fost numărul 20, deși urmele sistemului de cinci ori sunt puternic vizibile. Primele 19 numere au fost obținute prin combinarea punctelor (unu) și liniuțelor (cinci).

Numărul 20 era înfățișat cu două cifre, zero și una în partea de sus și se numea uinalu. Numerele au fost notate într-o coloană, cu cele mai mici cifre în jos și cele mai mari în sus, rezultând o „biblioteca” cu rafturi. Dacă numărul zero a apărut fără o unitate în partea de sus, aceasta însemna că nu existau unități pentru această cifră. Dar, dacă cel puțin o unitate a fost în această cifră, atunci semnul zero a dispărut, de exemplu, numărul 21, acesta va fi . De asemenea, în sistemul nostru de numere: 10 – cu zero, 11 – fără el. Iată câteva exemple de numere:

Există o excepție de la sistemul de numărare baza-20 al anticului Maya: dacă adăugați doar o unitate de ordinul întâi la numărul 359, această excepție intră imediat în vigoare. Esența sa se rezumă la următoarele: 360 este un număr de început de ordinul al treilea și locul lui nu mai este pe al doilea, ci pe al treilea raft.

Dar apoi se dovedește că numărul inițial al celui de-al treilea ordin nu este de douăzeci de ori mai mare decât numărul inițial al celui de-al doilea (20x20 = 400, nu 360!), ci doar optsprezece! Aceasta înseamnă că principiul de douăzeci de ori a fost încălcat! Asta e corect. Aceasta este excepția.

Faptul este că, printre indienii mayași, 20 de zile rude au format o lună sau uinal. 18 luni-uinaluri formate pe an sau ton (360 de zile pe an) și așa mai departe:

K"in = 1 zi. Vinal = 20 k"in = 20 zile. Tun = 18 Vinal = 360 zile = aproximativ 1 an. K"atun = 20 tun = 7200 zile = aproximativ 20 ani. Bak"tun = 20 k"atun = 144.000 zile = aproximativ 400 ani. Pictun = 20 bak"tun = 2.880.000 zile = aproximativ 8.000 ani. Kalabtun = 20 pictuns = 57.600.000 de zile = aproximativ 160.000 de ani. K"inchiltun = 20 kalabtun = 1152000000 zile = aproximativ 3200000 ani. Alavtun = 20 k"inchiltun = 23040000000 zile = aproximativ 64000000 ani.

Acesta este un sistem de numere destul de complex, folosit în principal de preoți pentru observații astronomice; un alt sistem mayaș era aditiv, similar cu cel egiptean, și era folosit în viața de zi cu zi.

Istoria numerelor „arabe”.

Istoria numerelor noastre familiare „arabe” este foarte confuză. Este imposibil să spunem exact și sigur cum s-au întâmplat. Iată o versiune a acestei povești de origine. Un lucru este cert: datorită vechilor astronomi, și anume calculelor lor precise, avem numerele noastre.

După cum știm deja, în sistemul numeric babilonian există un semn care indică cifrele lipsă. În jurul secolului al II-lea î.Hr. Astronomii greci (de exemplu, Claudius Ptolemeu) s-au familiarizat cu observațiile astronomice ale babilonienilor. Ei și-au adoptat sistemul de numere pozițional, dar au notat numerele întregi nu folosind pene, ci în propria lor numerotare alfabetică și fracții în sistemul numeric sexagesimal babilonian. Dar pentru a indica valoarea zero a cifrei, astronomii greci au început să folosească simbolul „0” (prima literă a cuvântului grecesc Ouden - nimic).

Între secolele al II-lea și al VI-lea d.Hr. Astronomii indieni s-au familiarizat cu astronomia greacă. Au adoptat sistemul sexagesimal și zeroul grecesc rotund. Indienii au combinat principiile numerotării grecești cu sistemul multiplicativ zecimal preluat din China. De asemenea, au început să desemneze numere cu un singur semn, așa cum era obișnuit în vechea numerotare indiană Brahmi. Acesta a fost pasul final în crearea sistemului numeric zecimal pozițional.

Lucrarea strălucitoare a matematicienilor indieni a fost adoptată de matematicienii arabi, iar Al-Khwarizmi a scris în secolul al IX-lea cartea „Arta indiană a numărării”, în care descrie sistemul numeric pozițional zecimal. Reguli simple și convenabile pentru adăugarea și scăderea unor numere arbitrar mari scrise în sistemul pozițional l-au făcut deosebit de popular în rândul comercianților europeni.

În secolul al XII-lea. Juan de Sevilla a tradus cartea „Arta indiană de a număra” în latină, iar sistemul de numărare indian s-a răspândit pe scară largă în toată Europa. Și din moment ce lucrarea lui Al-Khwarizmi a fost scrisă arabic, apoi numele incorect „Araba” a fost atribuit numerotării indiene în Europa. Dar arabii înșiși numesc numerele indiene, iar aritmetica bazată pe sistemul zecimal - numărarea indiană.

Forma numerelor „arabe” s-a schimbat foarte mult de-a lungul timpului. Forma în care le scriem a fost stabilită în secolul al XVI-lea.

Chiar și Pușkin și-a propus propria versiune a formei numerelor arabe. El a decis că toate cele zece cifre arabe, inclusiv zero, se potrivesc într-un pătrat magic.

Sistem de numere poziționale zecimale

Oamenii de știință indieni au făcut una dintre cele mai importante descoperiri în matematică - au inventat sistemul de numere poziționale, care este folosit acum de întreaga lume. Al-Khwarizmi a descris aritmetica indiană în detaliu în cartea sa.

Muhammad bin Musa al-Khorezm

În jurul anului 850 d.Hr. a scris o carte despre reguli generale rezolvarea de probleme aritmetice folosind ecuații. Se numea „Kitab al-Jabr”. Această carte și-a dat numele științei algebrei.

Trei sute de ani mai târziu (în 1120) această carte a fost tradusă în latină și a devenit primul manual de aritmetică „indiană” pentru toate orașele europene.

Istoria lui zero.

Zero poate fi diferit. În primul rând, zero este o cifră care este folosită pentru a indica un loc gol; în al doilea rând, zero este un număr neobișnuit, deoarece nu poți împărți cu zero și atunci când este înmulțit cu zero, orice număr devine zero; în al treilea rând, este necesar zero pentru scădere și adunare, în caz contrar, cât va fi dacă scădeți 5 din 5?

Zero a apărut pentru prima dată în vechiul sistem numeric babilonian; a fost folosit pentru a indica cifrele lipsă în numere, dar numere precum 1 și 60 au fost scrise în același mod, deoarece nu puneau un zero la sfârșitul numărului. În sistemul lor, zero a servit ca spațiu în text.

Marele astronom grec Ptolemeu poate fi considerat inventatorul formei zero, deoarece în textele sale în locul semnului spațiului există litera greacă omicron, care amintește foarte mult de semnul zero modern. Dar Ptolemeu folosește zero în același sens ca și babilonienii. Pe o inscripție de perete din India în secolul al IX-lea d.Hr. Prima dată când apare simbolul zero este la sfârșitul unui număr. Aceasta este prima desemnare general acceptată pentru semnul zero modern. Matematicienii indieni au inventat zero în toate cele trei sensuri ale sale. De exemplu, matematicianul indian Brahmagupta din secolul al VII-lea d.Hr. a început în mod activ să folosească numere negative și operații cu zero. Dar el a susținut că un număr împărțit la zero este zero, ceea ce este desigur o eroare, dar o adevărată îndrăzneală matematică care a dus la o altă descoperire remarcabilă a matematicienilor indieni. Și în secolul al XII-lea, un alt matematician indian Bhaskara face o altă încercare de a înțelege ce se va întâmpla atunci când este împărțit la zero. El scrie: "o cantitate împărțită la zero devine o fracție al cărei numitor este zero. Această fracție se numește infinit."

Leonardo Fibonacci, în lucrarea sa „Liber abaci” (1202), numește semnul 0 în arabă zephirum. Cuvântul zephirum este cuvântul arab as-sifr, care provine de la cuvântul indian sunya, adică gol, care a servit drept nume pentru zero. Din cuvântul zephirum provine cuvântul francez zero (zero) și cuvântul italian zero. Pe de altă parte, din arabă provine cuvântul as-sifr cuvânt rusesc număr. Până la mijlocul secolului al XVII-lea, acest cuvânt a fost folosit special pentru a se referi la zero. Cuvântul latin nullus (nimic) a intrat în uz pentru a însemna zero în secolul al XVI-lea.

Zero este un semn unic. Zero este un concept pur abstract, una dintre cele mai mari realizări ale omului. Nu se găsește în natura din jurul nostru. Puteți face cu ușurință fără zero în calculele mentale, dar este imposibil să faceți fără înregistrarea cu precizie a numerelor. În plus, zero este în contrast cu toate celelalte numere și simbolizează lumea infinită. Și dacă „totul este număr”, atunci nimic este totul!

Baze folosite astăzi:

10 - sistemul de numere zecimal obișnuit (zece degete pe mâini). Alfabetul: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

60 - inventat în Babilonul Antic: împărțirea unei ore în 60 de minute, a minutelor în 60 de secunde și a unui unghi în 360 de grade.

12 - răspândit de anglo-saxoni: sunt 12 luni într-un an, două perioade de 12 ore într-o zi, 12 inci într-un picior

7 - folosit pentru a număra zilele săptămânii

Acesta este un mod de reprezentare a numerelor și regulile corespunzătoare pentru operarea cu numere.

Diferitele sisteme numerice care au existat în trecut și care sunt folosite astăzi pot fi împărțite în non-pozițional și pozițional.

Sisteme nepoziționale ale antichității

Un studiu al arheologilor despre „însemnări” din timpul paleoliticului pe os, piatră și lemn a arătat că oamenii au căutat să grupeze semnele de 3, 5, 7 și 10 piese. Această grupare a făcut numărarea mai ușoară. Oamenii au învățat să numere nu numai în unități, ci și în trei, cinci, etc. De la prima instrument de calcul oamenii aveau degete, așa că numărarea se făcea cel mai adesea în grupuri de 5 sau 10 articole.

Mai târziu, zece zeci (sute), zece sute (mii) etc. au primit numele lor. Pentru ușurința înregistrării, astfel de numere cheie au început să fie desemnate cu pictograme speciale - numere. Dacă, la numărarea obiectelor, mai erau 2 sute, 5 zeci și încă 4 obiecte, atunci la înregistrarea acestei valori, semnul sutelor a fost repetat de două ori, semnul zecilor de cinci ori, iar unitățile semnează de patru ori.

În astfel de sisteme numerice, poziția semnului în înregistrarea numerelor nu depinde de valoarea pe care o denotă; de aceea se numesc sisteme numerice nepoziționale.

Sistemele non-poziționale au fost folosite de vechii egipteni, greci, romani și alte câteva popoare din antichitate.

numere mayașe

Sunteți familiarizat cu sistemul numeric zecimal pozițional încă din copilărie, dar poate nu știați că se numește așa.

Ce înseamnă proprietatea pozițională a unui sistem numeric este ușor de înțeles folosind exemplul oricărui număr zecimal format din mai multe cifre. De exemplu, în numărul 333, primele trei înseamnă trei sute, a doua - trei zeci, a treia - trei unități. Aceeași cifră, în funcție de poziția sa în notația numerică, denotă semnificații diferite.

333 = 3 100 + 3 10 + 3.

Alt exemplu:

32.478 = 3 10 000 + 2 1000 + 4 100 + 7 10 + 8 = 3 10 4 + 2 10 3 + 4 10 2 + 7 10 1 + 8 10 0.

Aceasta arată că orice număr zecimal poate fi reprezentat ca suma produselor cifrelor sale constitutive prin puterile corespunzătoare ale zece. Același lucru este valabil și pentru zecimale.

26.387 = 2 10 1 + 6 10 0 + 3 10 -1 + 8 10 -2 + 7 10 -3.

Evident, numărul „zece” nu este singura bază posibilă pentru sistemul pozițional. Celebrul matematician rus N. N. Luzin a spus-o astfel: „Avantajele sistemului zecimal nu sunt matematice, ci zoologice. Dacă am avea opt degete în loc de zece pe mâini, atunci omenirea ar folosi sistemul octal.”

Orice număr natural mai mare decât 1 poate fi luat ca bază a sistemului de numere poziționale.Sistemul babilonian menționat mai sus avea o bază de 60. Urmele acestui sistem au supraviețuit până astăzi în ordinea numărării unităților de timp (1 oră = 60 de minute, 1 minut = 60 de secunde).

Pentru a scrie numere în sistemul pozițional de bază n, trebuie să aveți un alfabet de n cifre. De obicei în acest scop când n < 10 folosește primele n cifre arabe, iar când n > 10, litere sunt adăugate celor zece cifre arabe.

Iată exemple de alfabete ale mai multor sisteme:

Baza sistemului căruia îi aparține un număr este de obicei indicată printr-un indice la acel număr:

101101 2, 3671 8, ЗВ8F 16.

Cum se construiește o serie de numere naturale în diferite sisteme de numere poziționale? Acest lucru se întâmplă după același principiu ca și în sistemul zecimal. Mai întâi sunt numere cu o singură cifră, apoi numere cu două cifre, apoi numere cu trei cifre etc. d. Cel mai mare număr dintr-o singură cifră din sistemul zecimal este 9. Apoi vin numerele din două cifre - 10, 11,12, ... Cel mai mare număr de două cifre este 99, apoi 100, 101, 102 etc. la 999, apoi la 1000 etc. d.

De exemplu, luați în considerare sistemul cinci. În ea, seria numerelor naturale arată astfel:

1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34, 40, 41, 42, 43, 44, 100, 101, …, 444, 1000, ... .

Se poate observa că aici numărul de cifre „crește” mai repede decât în ​​sistemul zecimal. Numărul de cifre crește cel mai rapid în sistemul de numere binar. Următorul tabel compară începuturile seriei naturale de numere zecimale și binare:

10	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
2	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011

Pe scurt despre principalul lucru

Un sistem numeric este un mod specific de a scrie numere și regulile corespunzătoare pentru operarea numerelor.

Sistemele numerice pot fi poziționale sau nepoziționale. Un exemplu de sistem non-pozițional este sistemul numeric roman.

Într-un sistem de numere poziționale, valoarea cantitativă a fiecărei cifre depinde de poziția cifrei în număr.

Alfabetul unui sistem numeric este setul de numere folosit în acesta. Baza sistemului numeric este egală cu puterea alfabetului (numărul de cifre).

Cea mai mică bază posibilă a unui sistem de numere pozițional este 2. Un astfel de sistem se numește binar.

Sistemul de numere arabe este zecimal și pozițional.

Întrebări și sarcini

1. Ce este un sistem numeric?
2. Care este principala diferență dintre sistemele de numere poziționale și nepoziționale?
3. Care este baza sistemului numeric?
4. De ce sistemul numeric arab se numește pozițional zecimal?
5. Care este cea mai mică bază pentru un sistem pozițional?
6. Care sunt următoarele numere scrise cu cifre romane egale în sistemul zecimal:
XI; IX; LX; CLX; MDXLVIII?
7. Scrie cu cifre romane numerele egale cu următoarele zecimale:
13; 99; 666; 444; 1692.
8. Notați o succesiune de douăzeci de numere în seria naturală, începând de la unu, pentru sistemele poziționale cu bazele 2, 3, 5, 8. Prezentați rezultatele sub forma unui tabel:

n = 10	1	2	3	...	19	20
n=2
n=3
n=5
n=8

9. Construiți tabele de înmulțire pentru numere cu o singură cifră în sisteme de numere binare și ternare.

I. Semakin, L. Zalogova, S. Rusakov, L. Shestakova, Informatica, clasa a IX-a
Trimis de cititorii de pe site-uri de internet

Culegere de note pentru lecțiile de informatică, programa de informatică pentru clasa a 9-a, materiale de pregătire pentru lecții, teme gata făcute

Conținutul lecției notele de lecție sprijinirea metodelor de accelerare a prezentării lecției cadru tehnologii interactive Practică sarcini și exerciții ateliere de autotestare, instruiri, cazuri, întrebări teme pentru acasă întrebări de discuție întrebări retorice de la elevi Ilustrații audio, clipuri video și multimedia fotografii, imagini, grafice, tabele, diagrame, umor, anecdote, glume, benzi desenate, pilde, proverbe, cuvinte încrucișate, citate Suplimente rezumate articole trucuri pentru pătuțurile curioși manuale dicționar de bază și suplimentar de termeni altele Îmbunătățirea manualelor și lecțiilorcorectarea erorilor din manual actualizarea unui fragment dintr-un manual, elemente de inovație în lecție, înlocuirea cunoștințelor învechite cu altele noi Doar pentru profesori lecții perfecte plan calendaristic pentru anul; recomandări metodologice; programe de discuții Lecții integrate

Dacă aveți corecții sau sugestii pentru această lecție,

Istoria înregistrării numerelor și a sistemelor de numere datează de la apariția numărării printre oameni. Oamenii au descris numărul diverse articole folosind serif sau liniuțe. Ele erau aplicate pe suprafețe care serveau ca „hârtie” la acea vreme: tăblițe de lut, scoarță de copac sau pietre. Arheologii datează primele informații despre astfel de înregistrări în perioada paleolitică, adică în mileniul 10-11 î.Hr.

Această metodă de înregistrare se numește sistem de numere de unități. Toate numerele au fost indicate printr-o linie de liniuțe (sau orice alte caractere, de exemplu, puncte): cu cât sunt mai multe caractere în linie, cu atât numărul este mai mare. Acest sistem de numărare nu era convenabil, deoarece cu numere mari era ușor să greșești numărul de bețe. De fiecare dată trebuiau numărate.

Pentru a simplifica numărarea, articolele au început să fie combinate în grupuri mici de 3, 5 și 10 unități. În plus, fiecare grup corespundea propriei desemnări a semnului de pe scrisoare. Deoarece cea mai convenabilă numărare a fost întotdeauna numărarea pe degete, combinațiile de obiecte de 10 și 5 unități au fost primele care au primit desemnarea lor. Acesta este ceea ce a pus bazele unui sistem de numere convenabil.

Sistemul folosit de grecii antici se numea Attic. Primele patru numere au fost scrise cu liniuțe. Numărul cinci avea propriul său semn - „pi”, la fel ca și numărul zece - prima literă a cuvântului „deca”. O sută, mii zece mii au fost scrise ca H, X, M.

Acest sistem a fost înlocuit în secolul III î.Hr. de sistemul ionian. Numerele de la unu la nouă au fost desemnate prin litere ale alfabetului grecesc: de la prima la a noua. Literele zece până la optsprezece au indicat zeci - de la zece la nouăzeci. Iar ultimele nouă au fost sute - de la o sută la nouă sute.

Slavii estici și sudici au notat, de asemenea, numere folosind alfabetul. Unii dintre ei au folosit alfabetul slav, dând fiecărei litere o valoare numerică. Celălalt - doar acele litere care se găsesc în alfabetul grecesc. O pictogramă specială, care a fost plasată deasupra numărului - „titlu”, a făcut posibilă distingerea literelor de numere. Această numerotare a fost folosită în Rusia până în secolul al XVIII-lea.

Începutul domniei lui Petru I a adus în țară numerotarea arabă, care este folosită și astăzi. Cu toate acestea, în cărți liturgiceîncă folosesc sistemul de înregistrare slav.

Fiecare dintre noi este cel puțin puțin familiarizat cu „sistemul roman”, care desemnează secole, aniversări, nume de conferințe, strofe de poezie și capitole de cărți. Aceasta este ceea ce vechii romani au folosit cândva. Cercetătorii cred că a fost împrumutat de locuitorii Romei de la etrusci. Toate numerele întregi din acest sistem până la 5000 sunt scrise folosind numerele I, V, X. Dacă există un număr mare în față și unul mai mic în spate, se adaugă. Dacă este invers – cel mai mic este în fața celui mai mare – se scad. Același număr este plasat de cel mult trei ori la rând. Orice operație aritmetică într-o astfel de notație a numerelor devine o sarcină dificilă. Cu toate acestea, până în secolul al XIII-lea în Italia și până în secolul al XVI-lea în țări Europa de Vest l-au folosit.

Primul loc sau numerotarea pozițională a fost „creat” în Babilon în 4000 î.Hr. Esența sa este că o cifră poate reprezenta numere diferite, în funcție de locul în care se află. Un exemplu izbitor este sistemul zecimal modern. În funcție de poziția în număr, numărul poate reprezenta zece, unu sau o sută.

Sistemul babilonian era sexagesimal, deoarece inițial se baza nu pe 10, ci pe 60. Toate numerele mai mici decât acestea erau scrise în două semne - zeci și unități. Numerele în sine erau scrise pe tăblițe de lut cu bețișoare triunghiulare, așa că arătau ca o pană. Semnele s-au repetat în funcție de număr.

Sistemul sexagesimal nu sa răspândit dincolo de Babilonul Antic, dar fracțiile sexagesimale au fost folosite în țările din Asia Centrală, Europa de Vest, Orientul Mijlociu și Africa de Nord. Înainte de apariția zecimalelor, acestea au jucat un rol important în astronomie și alte științe. Astăzi ni se aduce aminte de acest sistem împărțind un minut în 60 de secunde, o oră în 60 de minute și un unghi în 360 de grade.

Toate sistemele numerice pot fi împărțite în poziționale și nepoziționale. Semnele pe care le folosim pentru a scrie numere se numesc numere.

Poziția unei cifre într-un număr scris în sistemele nepoziționale nu afectează valoarea pe care o denotă. Acestea sunt, de exemplu, sisteme care folosesc litere pentru a scrie numere - slave și romane.

Poziția unei cifre în sistemele poziționale determină valoarea mărimii care este scrisă în ea. În acest caz, poziția este locul pe care această cifră îl ocupă în număr. Iar numărul de cifre care sunt folosite pentru înregistrare se numește baza sistemului. Exemple de astfel de sistem sunt sexagesimalul babilonian și zecimalul modern.

Sistemele poziționale utilizează un număr mic de caractere, ceea ce facilitează scrierea numerelor mari. Acesta este motivul pentru care este mai frecventă în lume astăzi. În plus, oferă confort și simplitate atunci când se efectuează operații aritmetice pe numere.

Cel mai răspândit în vremea noastră este sistemul zecimal indo-arab. Pentru prima dată, zero a apărut în ea la scrierea numerelor. Are acest nume deoarece folosește zece cifre.

Cel mai simplu mod de a înțelege diferențele dintre un sistem pozițional și un sistem non-pozițional este să comparați cele două numere scrise într-unul și celălalt. Primul compară numere care se află în același loc, de la stânga la dreapta. Cu cât numărul este mai mare, cu atât valoarea în sine este mai mare. De exemplu, numărul 245 va fi mai mare decât numărul 123, deoarece 2 din această poziție este mai mare decât 1. Pentru un sistem nepozițional, această lege nu se aplică. Dacă comparăm Roman IX și VI, primul va fi mai mare decât al doilea, deși I în aceeași poziție este mai mic decât V.

Sistemul de numere binar de bază 2 reprezintă sistemul de numere pozițional pozitiv cu numere întregi. Vă permite să scrieți toate valorile numerice folosind două caractere. Cele mai frecvent utilizate numere sunt 0 și 1.

Sistemul pozițional pozitiv octal se bazează pe 8. Orice număr din el poate fi scris folosind numerele de la 0 la 7. Acest sistem este utilizat de dispozitivele digitale și computerizate. A fost cea care a fost folosită în zorii erei computerelor, dar acum a făcut loc unuia mai avansat - hexazecimal.

Cel mai recunoscut din lume, sistemul zecimal este un sistem pozițional cu o bază de 10. Folosește cifre arabe de la 0 la 9 pentru a reprezenta numere.

Unul dintre cele mai populare sisteme ale antichității, duozecimalul, este încă folosit în unele domenii ale științei. Este, de asemenea, principalul dintre unele popoare din Tibet și Nigeria, dar își amintește și de el însuși în alte culturi. De exemplu, în limba noastră se păstrează cuvântul „duzină”, iar în engleză „duzină”, care ne trimite la numărul doisprezece. Baza sa este 12. Literele A și B și numerele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 sunt folosite ca semne.

Sistem numeric hexazecimal – reprezintă un sistem pozițional pozitiv cu o bază de 16 cifre. Ca numere, literele alfabetului latin A, B, C, D, E, F sunt folosite pentru a desemna numerele de la zece la cincisprezece și numerele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. , 0.

Sistemul de numere hexazecimale este folosit în programele de calculator moderne pentru a codifica fonturile. Numerele hexazecimale sunt folosite pentru a codifica culorile în multe programe moderne de grafică pe computer. Designerii web criptează, de asemenea, culoarea folosind codul hexazecimal. De exemplu, codul #00ff00 reprezintă culoarea verde. Cele două f din mijlocul acestui cod corespund numărului 256 în notație zecimală.

Când lucrați cu computere, cele mai frecvent utilizate sisteme de numere sunt binare, octale și hexazecimale. Atât oamenii, cât și computerele fac o treabă excelentă în aceste sisteme. Dar unele cazuri ne obligă să apelăm la sisteme de numere mai puțin populare. Astfel de sisteme sunt septenare, ternare și de bază 32. Toate operatii aritmetice nu sunt diferite de cele obișnuite.

Istoria dezvoltării sistemelor de numere . 2

Sisteme de numere binare 6

Aritmetică binară 10

Forme de reprezentare a numerelor cu virgulă fixă ​​și mobilă. 13

Adăugarea numerelor cu punct fix. 16

Adăugarea numerelor în virgulă mobilă. 16

Înmulțirea numerelor în virgulă fixă. 17

Înmulțirea numerelor în virgulă mobilă. 18

9. Coduri directe, inverse și suplimentare. Cod modificat. 20

Istoria dezvoltării sistemelor de numere.

Calculul, numerotarea, este un set de tehnici de reprezentare a numerelor naturale. În orice sistem numeric, unele simboluri (cuvinte sau semne) sunt folosite pentru a desemna anumite numere, numite numere de noduri, numerele rămase (algoritmice) sunt obținute în urma unor operații din numere de noduri. Sistemele numerice diferă în alegerea numerelor cheie și a metodelor de generare a celor algoritmice, iar odată cu apariția notațiilor scrise pentru simboluri numerice, sistemele numerice au început să difere în ceea ce privește natura semnelor numerice și principiile înregistrării lor.

Cel mai perfect principiu pentru reprezentarea numerelor este principiul pozițional, conform căruia același semn numeric (cifră) are semnificații diferite în funcție de locul în care se află. Un astfel de sistem de numere se bazează pe faptul că un anumit număr n unități (baza sistemului numeric) sunt combinate într-o unitate din a doua cifră, n unități din a doua cifră sunt combinate într-o unitate din a treia cifră etc. Baza sistemului numeric poate fi orice număr mai mare decât unu. Astfel de sisteme includ sistemul modern de numere zecimale (cu baza n=10). În ea, numerele 0,1,...,9 sunt folosite pentru a indica primele zece numere.

În ciuda aparentei naturalețe a unui astfel de sistem, acesta a fost rezultatul unei lungi dezvoltări istorice. Apariția sistemului numeric zecimal este asociată cu numărarea pe degete. Au existat sisteme de numere cu o altă bază: 5,12 (numărând în zeci), 20 (urme ale unui astfel de sistem sunt păstrate în limba franceză, de exemplu quatre - vingts, adică literalmente patru - douăzeci, înseamnă 80), 40, 60 etc. Când calculează Calculatoarele folosesc adesea un sistem numeric de bază 2.

Popoarele primitive nu aveau un sistem de numere dezvoltat. În secolul al XIX-lea, multe triburi din Australia și Polinezia aveau doar două numere: unu și doi; combinațiile lor au format numerele: 3 - doi - unu, 4 - doi - doi, 5 - doi - doi - unu și 6 - doi - doi - doi. Despre toate numerele mai mari de 6 s-a vorbit despre „mult”, fără a le individualiza. Odată cu dezvoltarea vieții sociale și economice, a apărut necesitatea creării unor sisteme numerice care să permită desemnarea unor colecții din ce în ce mai mari de obiecte. Unul dintre cele mai vechi sisteme de numere este numerotarea hieroglifică egipteană, care a apărut încă din anii 2500 - 3000 î.Hr. e. Era un sistem de numere zecimal non-pozițional, în care doar principiul adunării era folosit pentru înregistrarea numerelor (numerele exprimate prin cifre adiacente se adună). Erau semne speciale pentru unitate ▯ , zece ⋓, o sută și alte zecimale până la . Numărul 343 a fost scris astfel:

Sisteme de numere similare au fost grecești erodiane, romane, siriace etc.

Cifrele romane sunt numele tradițional pentru un sistem de semne pentru desemnarea numerelor, bazat pe utilizarea simbolurilor speciale pentru zecimale:

1 5 10 50 100 500 1000

A apărut în jurul anului 500 î.Hr. e. printre etrusci și a fost folosit în Roma antică; uneori folosit și astăzi. În acest sistem de numere, numerele naturale sunt scrise prin repetarea acestor cifre. Mai mult, dacă un număr mai mare este în fața unuia mai mic, atunci se adună (principiul adunării), dar dacă unul mai mic este în fața unuia mai mare, atunci cel mai mic se scade din cel mai mare (cel principiul scăderii). Ultima regulă se aplică doar pentru a evita repetarea aceluiași număr de patru ori. De exemplu, I, X, C sunt plasate respectiv înainte de X, C, M pentru a indica 9, 90, 900 sau înainte de V, L, D pentru a indica 4, 40, 400.

De exemplu, VI=5+1=6, IV=5-1=4 (în loc de IIII), XIX=10+10-1=19 (în loc de XVIIII), XL=50-10=40 (în loc de XXXX ), XXXIII= 10+10+10+1+1+1=33 etc. Efectuarea de operații aritmetice pe numere cu mai multe cifre în acest sistem este foarte incomod.

Sistemele de numere mai avansate sunt alfabetice: ionică, slavă, ebraică, arabă, precum și georgiană și armeană. Primul sistem de numere alfabetice a fost aparent ionic, care a apărut în coloniile grecești din Asia Mică la mijlocul secolului al V-lea î.Hr. e. În sistemele de numere alfabetice, numerele de la 1 la 9, precum și toate zecile și sutele, sunt de obicei desemnate prin litere succesive ale alfabetului (peste care sunt plasate liniuțe pentru a distinge intrările numerelor de cuvinte). Numărul 343 în sistemul ionian a fost scris astfel:
(Aici - 300, - 40, - 3).

Valoare digitală Alfabetul slav. Deci pentru chirilic:

Pentru a indica numerele deasupra literelor, un semn special este titlul (uneori deasupra fiecărei litere, alteori doar deasupra primei sau deasupra întregului număr).La scrierea numerelor mai mari de 10, numerele erau scrise de la stânga la dreapta în ordinea descrescătoare a numărului. zecimale (cu toate acestea, uneori pentru numerele de la 11 la 19 unități au fost scrise mai devreme de zece). Pentru a desemna miile, în fața numărului acestora a fost plasat un semn special (stânga jos). De exemplu:

Pentru a desemna și a denumi zecimale mai mari (mai mult
) existau două sisteme: „număr mic” și „număr mare”; acest din urmă sistem includea numere până la
sau chiar
(„mintea umană nu poate înțelege mai mult decât atât”):

Numerele slave au fost principala denumire digitală în Rusia până în secolul al XVIII-lea.

În sistemele de numere alfabetice, numerele sunt scrise mult mai scurt decât în ​​cele anterioare; in plus, este mult mai usor sa faci operatii aritmetice pe numerele scrise in numeratie alfabetica. Cu toate acestea, în sistemele de numere alfabetice nu puteți scrie numere arbitrar mari. Grecii au extins numerotarea ionică: au notat numerele 1000, 2000,...,9000 cu aceleași litere ca 1,2,...,9, dar au pus o contur în stânga jos: deci,
a reprezentat 1000, - 2000, etc. A fost introdus un nou semn pentru 10.000. Cu toate acestea, sistemul numeric ionian s-a dovedit a fi nepotrivit pentru calculele astronomice ale erei elenistice, iar astronomii greci din acea vreme au început să combine sistemul alfabetic cu sexagesimalul babilonian - primul sistem de numere cunoscut de noi pe baza principiului pozițional. În sistemul numeric al vechilor babilonieni, care a apărut aproximativ în 2000 î.Hr. e. toate numerele au fost scrise folosind două semne: (pentru unu) și (pentru zece). Numerele până la 60 au fost scrise ca combinații ale acestor două semne folosind principiul adunării. Numărul 60 a fost din nou desemnat printr-un semn, fiind o unitate de cea mai înaltă categorie. Pentru a înregistra numerele de la 60 la 3600, a fost folosit din nou principiul adunării, iar numărul 36.000 a fost notat cu același semn ca unul etc. Numărul 343 = 5*60+4*10+3 în acest sistem a fost scris ca acest:

Cu toate acestea, din cauza absenței unui semn pentru zero, care ar putea fi folosit pentru a marca cifrele lipsă, înregistrarea numerelor în acest sistem de numere nu a fost clară. Particularitatea sistemului de numere babilonian a fost că valoarea absolută a numerelor a rămas incertă.

Un alt sistem numeric bazat pe principiul pozițional a apărut în rândul indienilor mayași, locuitori ai Peninsulei Yucatan (America Centrală) la mijlocul mileniului I d.Hr. e. Mayașii aveau două sisteme numerice: unul, care amintește de cel egiptean, era folosit în viața de zi cu zi, celălalt - pozițional, cu o bază de 20 și un semn special pentru zero, era folosit în calculele calendaristice. Înregistrarea în acest sistem, ca și în cel modern, a fost absolută.

Sistemul modern de numere zecimale poziționale a apărut pe baza numerotării, care a apărut cel târziu în secolul al V-lea. in India. Înainte de aceasta, India avea sisteme de numere care foloseau nu numai principiul adunării, ci și principiul înmulțirii (unitatea unei cifre este înmulțită cu numărul din stânga). Vechiul sistem de numere chinezesc și unele altele au fost construite într-un mod similar. Dacă, de exemplu, desemnăm în mod convențional numărul 3 ca simbol III și numărul 10 ca simbol X, atunci numărul 30 va fi scris ca IIIX (trei zeci). Astfel de sisteme numerice ar putea servi ca o abordare pentru crearea numerotării poziționale zecimale.

Sistemul pozițional zecimal face posibilă, în principiu, scrierea unor numere arbitrar mari. Scrierea numerelor în el este compactă și convenabilă pentru efectuarea operațiilor aritmetice. Prin urmare, la scurt timp după înființare, sistemul de numere poziționale zecimale începe să se răspândească din India către vest și est. În secolul al IX-lea au apărut manuscrise în arabă, care stabileau acest sistem de numere; în secolul al X-lea, numerotarea pozițională zecimală a ajuns în Spania; la începutul secolului al XII-lea, a apărut în alte țări europene. Noul sistem de numere a fost numit arabă deoarece în Europa a fost introdus pentru prima dată prin traduceri latine din arabă. Abia în secolul al XVI-lea noua numerotare a devenit larg răspândită în știință și viața de zi cu zi. În Rusia începe să se răspândească în secolul al XVII-lea și chiar la începutul secolului al XVIII-lea. îl înlocuiește pe cel alfabetic. Odată cu introducerea fracțiilor zecimale, sistemul de numere poziționale zecimale a devenit un mijloc universal de scriere a tuturor numerelor reale.