Иллюстрированный самоучитель по цифровой графике. Система счисления Двоично восьмеричная система счисления таблица

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Тип урока: урок введения нового материала в 8 классе.

Дидактическая цель урока: ознакомление учащихся с восьмеричной системой счисления, с переводом чисел из восьмеричной в десятичную систему счисления, и обратно, а так же с переводом из восьмеричной системы счисления в двоичную систему счисления и обратно. Отработка навыков перевода из одной системы счисления в другую.

Развивающая цель урока : развитие умения рассуждать, сравнивать, делать выводы. Развитие памяти, внимательности, познавательного интереса к предмету с использованием соответствующих заданий.

Воспитательная: формирование самоконтроля у школьников.

Этапы урока:

1. Организация начала урока – 2 мин.
2. Проверка домашнего задания – 10 мин.
3. Подготовка учащихся к усвоению новых знаний – 5 мин.
4. Введение нового материала – 8 мин.
5. Первичное закрепление нового материала – 5 мин.
6. Контроль и самопроверка знаний – 10 мин.
7. Информация о домашнем задании – 3 мин.
8. Подведение итогов урока – 2 мин.

Структура урока:

• Проверка домашнего задания.
• Знакомство с записями восьмеричных чисел.
• Перевод целого числа из восьмеричной системы счисления в десятичную с проверкой.
• Перевод числа из восьмеричной системы счисления в двоичную и обратно.
• Информация о домашнем задании.
• Подведение итогов урока.

Средства обучения:

1. Приложение операционной системы Windows XP-Калькулятор.
2. Индивидуальная карточка учащегося.
3. Алгоритм работы в приложении о.с. Windows XP-Калькулятор.
4. Презентация.
5. Карточка с заданием для перевода чисел из восьмеричной системы счисления в десятичную систему счисления.
6. Карточка с заданиями для перевода из одной системы счисления в другую с помощью двоично-восьмеричной таблицы.
7. Карточка с творческим заданием.

Ход урока

1 этап. Организация начала урока.

Цель этапа: подготовка учащихся к работе на занятиях.

Здравствуйте, ребята!

Сегодня на уроке мы с вами познакомимся с восьмеричной системой счисления и отработаем навыки перевода из одной системы счисления в другую.

Получают индивидуальные карточки, которые подписывают и куда будут вносить ответы заданий.

Ф.И.
№1	№2	№3

2 этап. Проверка выполнения домашнего задания.

Цель этапа: установление правильности и осознанности выполнения домашнего задания всеми учащимися, выявление пробелов и их коррекция.

Проверим выполнение домашнего задания с помощью стандартного приложения ОС Windows XP-Калькулятор.

Домашнее задание: переведите числа из двоичной системы счисления в десятичную и сделайте проверку.

Получают листы с алгоритмом работы в приложении Калькулятор, проверяют домашнее задание за ПК.

Ответы проверим с помощью презентации к уроку.

1. 10 2 =2 10
2. 11 2 =3 10
3. 100 2 =4 10
4. 101 2 =5 10
5. 110 2 =6 10
6. 111 2 =7 10

3 этап. Введение нового материала.

Цель этапа: обеспечение восприятия, осмысления и первичного запоминания знаний и способов действий, связей и отношений в объекте изучения.

Запишите тему сегодняшнего урока: «Восьмеричная система счисления».

Основание: 8

Алфавит цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Рассмотрим перевод целого числа из восьмеричной системы счисления в десятичную и выполним проверку.

Алгоритм перевода целого числа из восьмеричной системы счисления в десятичную.

Записать восьмеричное число в развернутой форме и вычислить ее значение.

10
21 8 =2*8 1 +1*8 0 =16+1=17 10

Выполним проверку.

Алгоритм перевода целого числа из десятичной системы счисления в восьмеричную.

1. Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа на 8 до получения результата строго меньше основания системы.
2. Полученные остатки записать в обратной последовательности.

10
71 8 =7*8 1 +1*8 0 =56+1=57 10

4 этап. Первичное закрепление нового материала.

Цель этапа: установление правильности и осознанности усвоения нового учебного материала.

Задание №1 на первичное закрепление нового материала. Приложение 3

Перевести число из восьмеричной системы счисления в десятичную и выполнить проверку.

210
114 8 =1*8 2 +1*8 1 +4*8 0 =64+8+4=76 10

Проверка:

Выбрать правильный ответ под соответствующей буквой и записать букву в индивидуальную карточку.

О) 84 10
У) 76 10
Е) 97 10

5 этап. Контроль и самопроверка знаний.

Цель этапа: выявление качества и уровня овладения знаниями и способами действий.

Мы научились переводить числа из одной системы в другую, а теперь рассмотрим способы переводов, которые не требуют от нас каких-либо вычислений. Для этого в тетради начертим таблицу, состоящую из двух столбцов. Число в 8-ой системе счисления соответствует тройке цифр двоичной системы счисления. Например, 0 8 =000 2 , 1 8 =001 2 , далее обратимся к проверяемому в начале урока домашнему заданию. Таблица легко заполняется.

Двоично-восьмеричная система счисления.

8	2
0	000
1	001
2	010
3	011
4	100
5	101
6	110
7	111

При переводе восьмеричного числа в двоичное заменяют каждую восьмеричную цифру на соответствующую тройку цифр из таблицы. Для обратной операции, то есть для перевода из двоичной в восьмеричную систему, двоичное число разбивают на тройки цифр, потом заменяют каждую группу одной восьмеричной цифрой.

Например:

714 8 =111 001 100 2
101 110 100 2 =564 8 .

Учащимся раздаются карточки с заданиями. После их решения, правильные ответы помещаются в индивидуальную карточку ученика.

Задания №2, №3 на контроль и самопроверку знаний. Приложение 4

Переведите числа из одной системы счисления в другую (с помощью двоично-восьмеричной таблицы).

2. Переведите число из восьмеричной системы счисления в двоичную систему счисления.

ц) 1101001 2 ; р)101 011 010 2 ; в) 111001100 2 ;

3. Переведите из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления.

а) 77 8 ; о) 64 8 ; в) 29 8 ;

Сдайте индивидуальные карточки и раздаточный материал. Проверим ответы с помощью слайда № 7 презентации к уроку.

Правильные ответы:

№2 р)101 011 010 2

Индивидуальная карточка примет вид:

Ф.И.
№1	№2	№3
У	Р	А

Ученики получают раздаточный материал с творческим заданием. Даны координаты точек в разных системах счисления. Необходимо выполнить перевод координат в десятичную систему счисления, отметить и соединить точки на координатной плоскости.

Даны координаты точек:

1 (100 2 ,1 2)
2 (100 2 , 110 2)
3 (100 2 , 1000 2)
4 (10 8 ,10 8)
5 (6 8 ,7 8)
6 (10 8 ,6 8)

Выполните перевод чисел в десятичную систему счисления и в координатной плоскости поставьте и соедините все точки.

Ответ (в десятичной системе счисления):

1	2	3	4	5	6
(4,1)	(4,6)	(4,8)	(8,8)	(6,7)	(8,6)

Рисунок 1

6 этап. Информация о домашнем задании.

Цель этапа: обеспечение понимания цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.

Переведите числа из восьмеричной системы счисления в двоичную, затем в десятичную систему счисления.

35 8 →А 2 →А 10

65 8 → А 2 →А 10

215 8 → А 2 →А 10

7 этап. Подведение итогов урока.

Цель этапа: дать анализ и оценку успешности достижения цели.

Если у вас в индивидуальной карте получилось слово: УРА, то вы получили «5».

Если справились с 2-мя заданиями, то оценка «4».

Если решили 1-о задание, то вы получили «3».

Сегодня на уроке мы познакомились с восьмеричной системой счисления, рассмотрели разные способы перевода чисел из одной системы счисления в другую. Одни из способов требовали от нас решать задачи математическими методами, другие с привлечением компьютера, третьи не требовали от нас каких-либо вычислений.

Позиционная система счисления с основанием 8, в которой для записи чисел используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. См. также: Позиционные системы счисления Финансовый словарь Финам … Финансовый словарь

- (octal notation) Система чисел, использующая для выражения чисел восемь цифр от 0 до 7. Так, десятичное число 26 в восьмеричной системе будет записано как 32. Не будучи столь популярной, как шестнадцатиричная система счисления (hexadecimal… … Словарь бизнес-терминов

- — Тематики электросвязь, основные понятия EN octal notation … Справочник технического переводчика

восьмеричная система счисления

восьмеричная система - aštuonetainė sistema statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. octal notation; octal number system; octal system; octonary notation vok. Achtersystem, n; oktales Zahlsystem, n; Oktalschreibweise, f; Oktalsystem, n rus. восьмеричная система … Automatikos terminų žodynas

Двенадцатеричная система счисления позиционная система счисления с целочисленным основанием 12. Используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. Существует другая система обозначения, где для недостающих цифр используют не A и B, а t от… … Википедия

- (hexadecimal notation) Числовая система, использующая десять цифр от 0 до 9 и буквы от A до F для выражения чисел. Например, десятичное число 26 записывается в этой системе как 1А. Числа шестидесятеричной системы широко используются в… … Словарь бизнес-терминов

Системы счисления в культуре Индо арабская система счисления Арабская Индийские Тамильская Бирманская Кхмерская Лаоская Монгольская Тайская Восточноазиатские системы счисления Китайская Японская Сучжоу Корейская Вьетнамская Счётные палочки… … Википедия

Если мы обращаемся к восьмеричной системе счисления, то это означает, что можно использовать гораздо больше цифр, чем это принято в двоичной, но меньше, чем в десятичной, а именно можно оперировать восемью цифрами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 - и не более.

Логика конвертирования десятичных чисел в восьмеричные (кодирование в восьмеричную систему счисления) совершенно идентична приведенной выше.

Более подробная информация - в разд. "Запись целых чисел в двоичной системе счисления" данной главы.

Действительно, в определенный момент цифры заканчиваются (наступает "кризис переходного периода").

Десятичное число "8" становится восьмеричным числом "10" ("восьмеричной десяткой"). Число "9" будет восьмеричным числом "11", число "10" - восьмеричным числом "12". И так далее до десятичного числа "15", которое в восьмеричном виде равно числу "17". А дальше?

Цифры снова кончились. Как будет представлено десятичное число "16" в восьмеричной системе счисления?

Но сумма "7 8 + 1" равняется "10" в восьмеричной системе счисления, а, следовательно, восьмеричный "десяток" необходимо складывать с "десятком", уже имеющимся, т. е. получается сумма, присутствующая в восьмеричной системе: "1 + 1 = 2". В результате получается, что:

Представим эту информацию в виде таблицы (табл. 4.4).

Таблица 4.4 . Соответствие десятичных и восьмеричных чисел.

Десятичные числа	Восьмеричные числа	Десятичные числа	Восьмеричные числа
0-7	0-7	25-63	31-77
8	10	64	100
9-15	11-17	128	200
16	20	256	400
17-23	21-27	512	1000
24	30	1024	2000

Но даже такие числа все-таки мало экономны, по крайней мере, их разрядность не уступает десятичной системе, поэтому в компьютерных технологиях применяется еще одна система счисления, которая называется шестнадцатеричной.

2.3. ВОСЬМЕРИЧНЫЕ ЧИСЛА

Восьмеричная запись, как и шестнадцатеричная, исполь­зуется для представления двоичных чисел. Восьмеричная система содержит 8 цифр от 0 до 7 и является соответствен­но системой с основанием 8. В табл. 2.7 представлено не­сколько десятичных, восьмеричных и двоичных чисел.

Преобразуем двоичное число 11111000100 в его восьме­ричный эквивалент. Процедура действий в этом случае сле­дующая. Начиная с МБ двоичного числа, делим его на группы из 3 бит. Затем, используя табл. 2.7, преобразуем каждую триаду (группу из 3 бит) в эквивалентную восьме­ричную цифру. Таким образом, мы заменим двоичное число 11111000100 его восьмеричным эквивалентом 37048:

Двоичное число 011 111 000 100

Восьмеричное число 3 7 0 4

Преобразуем теперь восьмеричное число 6521 в его дво­ичный эквивалент. Каждая восьмеричная цифра заменяет­ся двоичной триадой и получится, что 65218= 110101010001 2".

Запишем восьмеричное число 2357 в десятичной форме. Классическая процедура выполняется согласно табл. 2.8. Здесь 512, 64, 8 и 1 есть веса четырех первых восьмеричных позиций. Заметим, что в этом примере содержится 7 еди­ниц, 5 восьмерок, 4 числа 64 и два числа 521. Мы их скла­дываем и получаем результат: 1024+192+40+7= 1263 10.

Наконец, преобразуем десятичное число 3336 в его вось­меричный эквивалент. Процедура показана на рис. 2.3. В первую очередь 3336 разделено на 8, что дает частное 417 и остаток 0 10, причем 0 10=08, восьмеричный 0 становится значением MP восьмеричного числа. Первое частное (417) становится делимым и снова делится на 8 (вторая строка), что дает частное 52 и остаток 110=18, который становится второй цифрой восьмеричного числа. В третьей строке ча­стное (52) становится делимым и деление его на 8 дает частное 6 и остаток 4 10=48. В четвертой строке последнее частное 6 разделено на 8 с частным 0 и остатком 6 10=68.

Теперь счет закончен последним частным 0. Цифра 68 ста­новится значением CP восьмеричного числа, и мы можем видеть на рис. 2.3, что 3336ю=64108.

Большинство микропроцессоров и микро-ЭВМ обраба­тывают группы из 4, 8 или 16 бит. Отсюда следует, что обычно чаще используется шестнадцатеричная запись, чем восьмеричная. Однако восьмеричная запись более удо­бна, когда группы бит делятся на 3 (например, группы из 12 бит).

Упражнения

2.18. Для представления двоичных чисел текст докумен­тации 8-разрядного микропроцессора использует _

(шестнадцатеричную, восьмеричную) систему.

2.19. Другим названием восьмеричной системы является

2.20. Записать следующие восьмеричные числа в двоич­ном коде: а) 3; б) 7; в) 0; г) 7642; д) 1036; е) 2105.

2.21. Записать следующие двоичные числа в восьмерич­ном коде: а) 101; б) 110; в) 010; г) 111000101010; д) 1011000111; е) 100110100101.

2.22. 67248=_____10.

2.23. 2648 10=____8.

2.18. Шестнадцатеричную, при которой удобно представить двоич­ное число двумя 4-разрядными группами. 2.19. Система с основанием 8. 2.20. а) 38=0112; б) 78=1112; в) 08 = 0002; г) 76428= 1111101000102;

д) 10368= 10000111102; е) 21058= 100010001012. 2.21. а) 1012=58; б) 1102=68; в) 0102=28; г) 1110001010102 = 70528; д) 10110001112= 13078;

е) 1001101001012 = 46458. 2.22. Согласно процедуре табл. 2.8: 67248= = (512Х6) + (64х7) + (8х2) + (1Х4)=3540 10. 2.23. Согласно процедуре рис. 2.3:

2648 10: 8 = 331, остаток 0 (MP); 331: 8= 41, остаток 3; 41: 8= 5, остаток 1; 5: 8= 0, остаток 5 (CP); 2648 10=51308.

В курсе информатики, вне зависимости, школьном или университетском, особое место уделяется такому понятию как системы счисления. Как правило, на него выделяют несколько уроков или практических занятий. Основная цель - не только усвоить основные понятия темы, изучить виды систем счисления, но и познакомиться с двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной арифметикой.

Что это значит?

Начнем с определения основного понятия. Как отмечает учебник "Информатика", система счисления - записи чисел, в которой используется специальный алфавит или определенный набор цифр.

В зависимости от того, меняется ли значение цифры от ее положения в числе, выделяют две: позиционную и непозиционную системы счисления.

В позиционных системах значение цифры меняется вместе с ее положением в числе. Так, если взять число 234, то цифра 4 в ней означает единицы, если же рассмотреть число 243, то тут она будет уже означать десятки, а не единицы.

В непозиционных системах значение цифры статично, вне зависимости от ее положения в числе. Наиболее яркий пример - палочковая система, где каждая единица обозначается с помощью черточки. Неважно, куда вы припишите палочку, значение числа измениться лишь на единицу.

Непозиционные системы

К непозиционным системам счисления относятся:

1. Единичная система, которая считается одной из первых. В ней вместо цифр использовались палочки. Чем их было больше, тем больше было значение числа. Встретить пример чисел, записанных таким образом, можно в фильмах, где речь идет о потерянных в море людях, заключенных, которые отмечают каждый день с помощью зарубок на камне или дереве.
2. Римская, в которой вместо цифр использовались латинские буквы. Используя их, можно записать любое число. При этом его значение определялось с помощью суммы и разницы цифр, из которых состояло число. Если слева от цифры находилось меньшее число, то левая цифра вычиталась из правой, а если справа цифра была меньше или равна цифре слева, то их значения суммировались. Например, число 11 записывалось как XI, а 9 - IX.
3. Буквенные, в которых числа обозначались с помощью алфавита того или иного языка. Одной из них считается славянская система, в которой ряд букв имел не только фонетическое, но и числовое значение.
4. в которой использовалось всего два обозначения для записи - клинья и стрелочки.
5. В Египте тоже использовались специальные символы для обозначения чисел. При записи числа каждый символ мог использоваться не более девяти раз.

Позиционные системы

Большое внимание уделяется в информатике позиционным системам счисления. К ним относятся следующие:

• двоичная;
• восьмеричная;
• десятичная;
• шестнадцатеричная;
• шестидесятеричная, используемая при счете времени (к примеру, в минуте - 60 секунд, в часе - 60 минут).

Каждая из них обладает своим алфавитом для записи, правилами перевода и выполнения арифметических операций.

Десятичная система

Данная система является для нас наиболее привычной. В ней используются цифры от 0 до 9 для записи чисел. Они также носят название арабских. В зависимости от положения цифры в числе, она может обозначать разные разряды - единицы, десятки, сотни, тысячи или миллионы. Ее мы пользуемся повсеместно, знаем основные правила, по которым производятся арифметические операции над числами.

Двоичная система

Одна из основных систем счисления в информатике - двоичная. Ее простота позволяет компьютеру производить громоздкие вычисления в несколько раз быстрее, нежели в десятичной системе.

Для записи чисел используется лишь две цифры - 0 и 1. При этом, в зависимости от положения 0 или 1 в числе, его значение будет меняться.

Изначально именно с помощью компьютеры получали всю необходимую информацию. При этом, единица означала наличие сигнала, передаваемого с помощью напряжения, а ноль - его отсутствие.

Восьмеричная система

Еще одна известная компьютерная система счисления, в которой применяются цифры от 0 до 7. Применялась в основном в тех областях знаний, которые связаны с цифровыми устройствами. Но в последнее время она употребляется значительно реже, так как на смену ей пришла шестнадцатеричная система счисления.

Двоично-десятичная система

Представление больших чисел в двоичной системе для человека - процесс довольно сложный. Для его упрощения была разработана Используется она обычно в электронных часах, калькуляторах. В данной системе из десятичной системы в двоичную преобразуется не все число, а каждая цифра переводится в соответствующий ей набор нулей и единиц в двоичной системе. Аналогично происходит и перевод из двоичной системы в десятичную. Каждая цифра, представленная в виде четырехзначного набора нулей и единиц, переводится в цифру десятичной системы счисления. В принципе, нет ничего сложного.

Для работы с числам в данном случае пригодится таблица систем счисления, в которой будет указано соответствие между цифрами и их двоичным кодом.

Шестнадцатеричная система

В последнее время все большую популярность приобретает в программировании и информатике система счисления шестнадцатеричная. В ней используются не только цифры от 0 до 9, но и ряд латинских букв - A, B, C, D, E, F.

При этом, каждая из букв имеет свое значение, так A=10, B=11, C=12 и так далее. Каждое число представляется в виде набора из четырех знаков: 001F.

Перевод чисел: из десятичной в двоичную

Перевод в системах счисления чисел происходит по определенным правилам. Наиболее часто встречается перевод из двоичной в десятичную систему и наоборот.

Для того, чтобы перевести число из десятичной системы в двоичную, необходимо последовательно делить его на основание системы счисления, то есть, число два. При этом, остаток от каждого деления необходимо фиксировать. Так будет происходить до тех пор, пока остаток от деления не будет меньше или равен единице. Проводить вычисления лучше всего в столбик. Затем полученные остатки от деления записываются в строку в обратном порядке.

Например, переведем число 9 в двоичную систему:

Делим 9, так как число не делится нацело, то берем число 8, остаток будет 9 - 1 = 1.

После деления 8 на 2 получаем 4. Снова делим его, так как число делится нацело - получаем в остатке 4 - 4 = 0.

Проводим ту же операцию с 2. В остатке получаем 0.

В итоге деления у нас получается 1.

Вне зависимости от итоговой системы счисления, перевод чисел из десятичной в любую другую будет происходить по принципу деления числа на основу позиционной системы.

Перевод чисел: из двоичной в десятичную

Довольно легко переводить числа и в десятичную систему счисления из двоичной. Для этого достаточно знать правила возведения чисел в степень. В данном случае, в степень двойки.

Алгоритм перевода следующий: каждую цифру из кода двоичного числа необходимо умножить на двойку, причем, первая двойка будет в степени m-1, вторая - m-2 и так далее, где m - количество цифр в коде. Затем сложить результаты сложения, получив целое число.

Для школьников этот алгоритм можно объяснить проще:

Для начала берем и записываем каждую цифру, умноженную на двойку, затем проставляем степень двойки с конца, начиная с нуля. Потом складываем полученное число.

Для примера разберем с вами полученное ранее число 1001, переведя его в десятичную систему, и заодно проверим правильность наших вычислений.

Выглядеть это будет следующим образом:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

При изучении данной темы удобно использовать таблицу со степенями двойки. Это существенно уменьшит количество времени, необходимое для проведения вычислений.

Другие варианты перевода

В некоторых случаях перевод может осуществляться между двоичной и восьмеричной системой счисления, двоичной и шестнадцатеричной. В таком случае можно пользоваться специальными таблицами или же запустить на компьютере приложение калькулятор, выбрав во вкладке вид вариант «Программист».

Арифметические операции

Вне зависимости от того, в каком виде представлено число, с ним можно проводить привычные для нас вычисления. Это может быть деление и умножение, вычитание и сложение в системе счисления, которую вы выбрали. Конечно, для каждой из них действуют свои правила.

Так для двоичной системы разработаны свои таблицы для каждой из операций. Такие же таблицы используются и в других позиционных системах.

Заучивать их необязательно - достаточно просто распечатать и иметь под рукой. Также можно воспользоваться калькулятором на ПК.

Одна из важнейших тем в информатике - система счисления. Знание этой темы, понимание алгоритмов перевода чисел из одной системы в другую - залог того, что вы сможете разобраться в более сложных темах, таких как алгоритмизация и программирование и сможете самостоятельно написать свою первую программу.