Upoređivanje brojeva pisanjem. Poređenje brojeva. Najveći negativni i najmanji pozitivni cijeli broj

Apsolutna vrijednost broja

Modul od a označiti $|a|$. Vertikalne linije desno i lijevo od broja čine znak modula.

Na primjer, modul bilo kojeg broja (prirodnog, cjelobrojnog, racionalnog ili iracionalnog) piše se na sljedeći način: $|5|$, $|-11|$, $|2,345|$, $|\sqrt(45)|$ .

Definicija 1

Modul od a jednako $a$ ako je $a$ pozitivan, $−a$ ako je $a$ negativan, ili $0$ ako je $a=0$.

Ova definicija modula broja može se napisati na sljedeći način:

$|a|= \begin(slučajevi) a, & a > 0, \\ 0, & a=0,\\ -a, &a

Možete koristiti kraću notaciju:

$|a|=\begin(slučajevi) a, & a \geq 0 \\ -a, & a

Primjer 1

Izračunajte modul brojeva $23$ i $-3,45$.

Rješenje.

Pronađite apsolutnu vrijednost od 23$.

Broj $23$ je pozitivan, stoga je po definiciji modul pozitivnog broja jednak ovom broju:

Pronađite modul broja $–3,45$.

Broj $–3,45$ je negativan broj, stoga je, prema definiciji, modul negativnog broja jednak broju suprotnom od datog:

Odgovori: $|23|=23$, $|-3,45|=3,45$.

Definicija 2

Modul broja je apsolutna vrijednost broja.

Dakle, modul broja je broj pod znakom modula bez uzimanja u obzir njegovog predznaka.

Modul broja kao udaljenost

Geometrijska vrijednost modula broja: modul broja je udaljenost.

Definicija 3

Modul od a je rastojanje od referentne tačke (nule) na brojevnoj pravoj do tačke koja odgovara broju $a$.

Primjer 2

Na primjer, modul od $12$ je $12$, jer udaljenost od referentne tačke do tačke sa koordinatom $12$ jednaka je dvanaest:

Tačka sa koordinatom $−8.46$ nalazi se na udaljenosti od $8.46$ od početka, tako da $|-8.46|=8.46$.

Modul broja kao aritmetički kvadratni korijen

Definicija 4

Modul od a je aritmetički kvadratni korijen od $a^2$:

$|a|=\sqrt(a^2)$.

Primjer 3

Izračunajte modul broja $–14$ koristeći definiciju modula broja u smislu kvadratnog korijena.

Rješenje.

$|-14|=\sqrt(((-14)^2)=\sqrt((-14) \cdot (-14))=\sqrt(14 \cdot 14)=\sqrt((14)^2 )=14$.

Odgovori: $|-14|=14$.

Poređenje negativnih brojeva

Poređenje negativnih brojeva zasniva se na poređenju modula ovih brojeva.

Napomena 1

Pravilo za poređenje negativnih brojeva:

Ako je modul jednog od negativnih brojeva veći, onda je takav broj manji;
ako je modul jednog od negativnih brojeva manji, onda je takav broj velik;
ako su moduli brojeva jednaki, tada su negativni brojevi jednaki.

Napomena 2

Na brojevnoj pravoj manji negativni broj nalazi se lijevo od većeg negativnog broja.

Primjer 4

Uporedite negativne brojeve $−27$ i $−4$.

Rješenje.

Prema pravilu za poređenje negativnih brojeva, prvo nalazimo module brojeva $–27$ i $–4$, a zatim uporedimo dobijene pozitivne brojeve.

Dakle, dobijamo da $–27 |-4|$.

Odgovori: $–27

Prilikom poređenja negativnih racionalnih brojeva potrebno je oba broja pretvoriti u oblik običnih ili decimalnih razlomaka.

Upoređivanje brojeva je jedna od najlakših i najugodnijih tema na kursu matematike. Međutim, mora se reći da to nije tako jednostavno. Na primjer, malo ljudi ima poteškoća s upoređivanjem jednocifrenih ili dvocifrenih pozitivnih brojeva.

Ali brojevi s velikim brojem znakova već uzrokuju probleme, često se ljudi izgube kada uspoređuju negativne brojeve i ne sjećaju se kako usporediti dva broja sa različiti znakovi. Pokušaćemo da odgovorimo na sva ova pitanja.

Pravila za poređenje pozitivnih brojeva

Počnimo s najjednostavnijim - brojevima koji nemaju predznak ispred sebe, odnosno pozitivnim.

Prije svega, vrijedi zapamtiti da su svi pozitivni brojevi, po definiciji, veći od nule, čak i ako govorimo o razlomku bez cijelog broja. Na primjer, decimalni razlomak 0,2 bit će veći od nule, jer je na koordinatnoj liniji tačka koja joj odgovara još uvijek dvije male podjele udaljena od nule.
Ako govorimo o usporedbi dva pozitivna broja s velikim brojem znakova, onda morate uporediti svaku od znamenki. Na primjer, 32 i 33. Cifra desetice za ove brojeve je ista, ali je broj 33 veći, jer je u jedinicama cifra "3" veća od "2".
Kako poredite dvije decimale? Ovdje morate prije svega pogledati cijeli broj - na primjer, razlomak od 3,5 bit će manji od 4,6. Šta ako je cijeli broj isti, ali su decimalna mjesta različita? U ovom slučaju vrijedi pravilo za cijele brojeve - trebate upoređivati znakove po ciframa dok ne nađete veće i manje desetinke, stotinke, hiljadinke. Na primjer, 4,86 je veće od 4,75 jer je osam desetina veće od sedam.

Poređenje negativnih brojeva

Ako u zadatku imamo neke brojeve -a i -c, a trebamo odrediti koji je od njih veći, tada vrijedi univerzalno pravilo. Prvo se ispisuju moduli ovih brojeva - |a| i |c| - i međusobno se upoređuju. Broj čiji je modul veći biće manji u poređenju sa negativnim brojevima, i obrnuto - veći će biti onaj čiji je modul manji.

Što ako trebate uporediti negativan i pozitivan broj?

Ovdje funkcionira samo jedno pravilo i ono je elementarno. Pozitivni brojevi su uvijek veći od brojeva sa predznakom minus - šta god da jesu. Na primjer, broj "1" uvijek će biti veći od broja "-1458" jednostavno zato što je jedinica desno od nule na koordinatnoj liniji.

Također morate zapamtiti da je svaki negativan broj uvijek manji od nule.

Prilikom rješavanja jednačina i nejednačina, kao i zadataka s modulima, potrebno je locirati pronađene korijene na realnoj pravoj. Kao što znate, pronađeni korijeni mogu biti različiti. Mogu biti ovako:, ili mogu biti ovako:,.

Shodno tome, ako brojevi nisu racionalni već iracionalni (ako ste zaboravili šta je, pogledajte u temi), ili su složeni matematički izrazi, onda je njihovo postavljanje na brojevnu pravu vrlo problematično. Štaviše, kalkulatori se ne mogu koristiti na ispitu, a približna kalkulacija ne daje 100% garancije da je jedan broj manji od drugog (šta ako postoji razlika između upoređenih brojeva?).

Naravno, znate da su pozitivni brojevi uvijek veći od negativnih i da ako predstavljamo brojevnu osu, onda kada se uporede, najveći brojevi će biti desno od najmanjih: ; ; itd.

Ali da li je uvek tako lako? Gdje na brojevnoj pravoj označavamo .

Kako ih uporediti, na primjer, s brojem? U tome je problem...)

Prvo, hajde da pričamo o tome uopšteno govoreći kako i šta porediti.

Važno: poželjno je izvršiti transformacije na način da se znak nejednakosti ne mijenja! Odnosno, u toku transformacija, nepoželjno je množiti negativnim brojem, i zabranjeno je kvadrat ako je jedan od dijelova negativan.

Poređenje frakcija

Dakle, moramo uporediti dva razlomka: i.

Postoji nekoliko opcija kako to učiniti.

Opcija 1. Dovedite razlomke na zajednički imenilac.

Zapišimo to kao običan razlomak:

- (kao što vidite, smanjio sam i za brojnik i imenilac).

Sada treba da uporedimo razlomke:

Sada možemo nastaviti porediti i na dva načina. Možemo:

samo svedite sve na zajednički nazivnik, predstavljajući oba razlomka kao nepravilna (brojilac je veći od nazivnika):
Koji je broj veći? Tako je, onaj čiji je brojilac veći, odnosno prvi.
"odbaciti" (pretpostavimo da smo oduzeli jedan od svakog razlomka, a odnos razlomaka se nije promijenio) i uporedićemo razlomke:
Dovodimo ih i do zajedničkog nazivnika:
Dobili smo potpuno isti rezultat kao u prethodnom slučaju - prvi broj je veći od drugog:
Provjerimo i da li smo ispravno oduzeli jedan? Izračunajmo razliku u brojiocu u prvom i drugom izračunu:
1)
2)

Dakle, pogledali smo kako da uporedimo razlomke, dovodeći ih do zajedničkog nazivnika. Pređimo na drugu metodu - upoređivanje razlomaka dovodeći ih do zajedničkog ... brojioca.

Opcija 2. Poređenje razlomaka svođenjem na zajednički brojnik.

Da da. Ovo nije greška u kucanju. U školi ovu metodu rijetko ko uči, ali je vrlo često vrlo zgodna. Da biste brzo shvatili njegovu suštinu, postaviću vam samo jedno pitanje - "u kojim slučajevima je vrijednost razlomka najveća?" Naravno, reći ćete "kada je brojilac što veći, a imenilac što manji."

Na primjer, sigurno ćete reći da je Istina? A ako trebamo uporediti takve razlomke: Mislim da ćete i vi odmah ispravno staviti znak, jer su u prvom slučaju podijeljeni na dijelove, a u drugom na cijele, što znači da su u drugom slučaju komadići vrlo mali, pa prema tome:. Kao što vidite, nazivnici su ovde različiti, ali su brojnici isti. Međutim, da biste uporedili ova dva razlomka, ne morate pronaći zajednički nazivnik. Iako ... pronađite ga i vidite da li je znak poređenja još uvijek pogrešan?

Ali znak je isti.

Vratimo se našem prvobitnom zadatku - da uporedimo i. Uporedićemo i Ove razlomke ne dovodimo u zajednički nazivnik, već na zajednički brojnik. Za ovo je jednostavno brojilac i imenilac pomnožite prvi razlomak sa. Dobijamo:

I. Koji je razlomak veći? Tako je, prvi.

Opcija 3. Poređenje razlomaka oduzimanjem.

Kako porediti razlomke pomoću oduzimanja? Da, vrlo jednostavno. Od jednog razlomka oduzimamo drugi. Ako je rezultat pozitivan, tada je prvi razlomak (smanjeni) veći od drugog (oduzet), a ako je negativan, onda je obrnuto.

U našem slučaju, pokušajmo oduzeti prvi razlomak od drugog: .

Kao što ste već shvatili, također prevodimo u običan razlomak i dobivamo isti rezultat -. Naš izraz postaje:

Nadalje, još uvijek moramo pribjeći svođenju na zajednički imenilac. Postavlja se pitanje kako: na prvi način pretvaranje razlomaka u nepravilne, ili na drugi, kao da se "uklanja" jedinica? Inače, ova akcija ima potpuno matematičko opravdanje. pogledajte:

Druga opcija mi se više sviđa, jer množenje u brojniku kada se svodi na zajednički imenilac postaje mnogo puta lakše.

Dovodimo do zajedničkog imenioca:

Ovdje je glavna stvar da se ne zbunimo oko kog broja i odakle smo oduzimali. Pažljivo pogledajte tok rješenja i nemojte slučajno zbuniti znakove. Od drugog broja smo oduzeli prvi i dobili negativan odgovor, pa?.. Tako je, prvi broj je veći od drugog.

Jasno? Pokušajte uporediti razlomke:

Stani, stani. Nemojte žuriti da dovedete do zajedničkog nazivnika ili oduzmete. Pogledajte: lako se može pretvoriti u decimalni razlomak. Koliko će to biti? U redu. Šta na kraju bude više?

Ovo je još jedna opcija - poređenje razlomaka svođenjem na decimalu.

Opcija 4. Poređenje razlomaka pomoću dijeljenja.

Da da. I tako je moguće. Logika je jednostavna: kada veći broj podijelimo manjim, u odgovoru dobijemo broj veći od jedan, a ako manji broj podijelimo većim, onda odgovor pada na interval od do.

Da zapamtite ovo pravilo, uzmite za poređenje bilo koja dva prosta broja, na primjer, i. Znate li šta je više? Sada podijelimo po. Naš odgovor je . Prema tome, teorija je tačna. Ako podijelimo sa, ono što dobijemo je manje od jedan, što zauzvrat potvrđuje šta je zapravo manje.

Pokušajmo primijeniti ovo pravilo na obične razlomke. uporedi:

Podijelite prvi razlomak drugim:

Skratimo malo malo.

Rezultat je manji, pa je dividenda manja od djelitelja, odnosno:

Analizirali smo sve moguće opcije za poređenje razlomaka. Kao što vidite ima ih 5:

svođenje na zajednički imenilac;
svođenje na zajednički brojnik;
redukcija u obliku decimalnog razlomka;
oduzimanje;
divizije.

Spremni za vježbanje? Uporedite razlomke na najbolji način:

Uporedimo odgovore:

(- pretvoriti u decimale)
(podijelite jedan razlomak drugim i smanjite za brojnik i nazivnik)
(odaberite cijeli dio i uporedite razlomke po principu istog brojila)
(podijelite jedan razlomak drugim i smanjite za brojnik i nazivnik).

2. Poređenje stepena

Sada zamislite da ne trebamo upoređivati samo brojeve, već i izraze gdje postoji stepen ().

Naravno, lako možete staviti znak:

Uostalom, ako stepen zamijenimo množenjem, dobićemo:

Iz ovog malog i primitivnog primjera slijedi pravilo:

Sada pokušajte uporediti sljedeće: . Takođe možete jednostavno staviti znak:

Jer ako zamijenimo stepenovanje množenjem...

Općenito, sve razumiješ i uopće nije teško.

Poteškoće nastaju samo kada, u poređenju, stepen ima različite osnove i pokazatelje. U ovom slučaju, potrebno je pokušati dovesti do zajedničke osnove. Na primjer:

Naravno, znate da ovaj, shodno tome, izraz poprima oblik:

Hajde da otvorimo zagrade i uporedimo šta se dešava:

Donekle poseban slučaj je kada je baza stepena () manja od jedan.

Ako, onda od dva stepena ili više, onaj čiji je indikator manji.

Pokušajmo dokazati ovo pravilo. Neka bude.

Uvodimo neki prirodni broj kao razliku između i.

Logično, zar ne?

Sada obratimo pažnju na stanje - .

Odnosno: . Dakle, .

Na primjer:

Kao što ste shvatili, razmatrali smo slučaj kada su baze snaga jednake. Sada da vidimo kada je baza u rasponu od do, ali su eksponenti jednaki. Ovdje je sve vrlo jednostavno.

Prisjetimo se kako to uporediti s primjerom:

Naravno, brzo ste izračunali:

Stoga, kada naiđete na slične probleme radi poređenja, imajte na umu neki jednostavan sličan primjer koji možete brzo izračunati i na osnovu ovog primjera zapisati znakove u složeniji.

Prilikom izvođenja transformacija, zapamtite da ako množite, dodajete, oduzimate ili dijelite, sve radnje moraju biti obavljene i na lijevoj i na desnoj strani (ako množite s, tada morate pomnožiti oba).

Osim toga, postoje slučajevi kada je bilo kakve manipulacije jednostavno neisplativo. Na primjer, trebate uporediti. U ovom slučaju nije tako teško podići na potenciju i rasporediti znak na osnovu ovoga:

Vježbajmo. Uporedite stepene:

Spremni za poređenje odgovora? Evo šta sam dobio:

- isto kao
- isto kao
- isto kao
- isto kao

3. Poređenje brojeva s korijenom

Počnimo od toga šta su korijeni? Sjećate li se ovog unosa?

Korijen realnog broja je broj za koji vrijedi jednakost.

Roots neparni stepen postoje za negativne i pozitivne brojeve, i čak i korenje- Samo za pozitivno.

Vrijednost korijena je često beskonačna decimala, što otežava njeno precizno izračunavanje, pa je važno biti u mogućnosti uporediti korijene.

Ako ste zaboravili šta je i sa čime se jede -. Ako se svega sjećate, naučimo upoređivati korijene korak po korak.

Recimo da treba da uporedimo:

Da biste uporedili ova dva korijena, ne morate raditi nikakve kalkulacije, samo analizirajte sam koncept "korijena". Shvatate o čemu pričam? Da, o ovome: inače se može napisati kao treći stepen nekog broja, jednako korijenskom izrazu.

Sta jos? ili? Ovo, naravno, možete uporediti bez ikakvih poteškoća. Što veći broj podignemo na stepen, to će biti veća vrijednost.

Dakle. Hajde da shvatimo pravilo.

Ako su eksponenti korijena isti (u našem slučaju je to), onda je potrebno uporediti korijenske izraze (i) - što je veći korijenski broj, to je veća vrijednost korijena s jednakim pokazateljima.

Teško za pamćenje? Onda samo imajte na umu primjer i. To više?

Eksponenti korijena su isti, jer je korijen kvadratan. Korijenski izraz jednog broja () veći je od drugog (), što znači da je pravilo zaista tačno.

Ali šta ako su radikalni izrazi isti, ali su stepeni korena različiti? Na primjer: .

Takođe je sasvim jasno da će se prilikom vađenja korena većeg stepena dobiti manji broj. Uzmimo za primjer:

Označite vrijednost prvog korijena kao, a drugog - kao, zatim:

Lako možete vidjeti da bi u ovim jednadžbama trebalo biti više, dakle:

Ako su korijenski izrazi isti(u našem slučaju), a eksponenti korijena su različiti(u našem slučaju, ovo je i), tada je potrebno uporediti eksponente(i) - što je veći eksponent, manji je dati izraz.

Pokušajte uporediti sljedeće korijene:

Hajde da uporedimo rezultate?

S tim smo se uspješno nosili :). Postavlja se još jedno pitanje: šta ako smo svi različiti? A stepen i radikalan izraz? Nije sve tako teško, samo treba da se ... "oslobodimo" root-a. Da da. Riješite se toga.)

Ako imamo različite stupnjeve i radikalne izraze, potrebno je pronaći najmanji zajednički višekratnik (pročitati dio o) za korijen eksponente i podići oba izraza na stepen jednak najmanjem zajedničkom višekratniku.

Da smo svi u riječima i riječima. Evo primjera:

Gledamo indikatore korijena - i. Njihov najmanji zajednički višekratnik je .
Podignimo oba izraza na stepen:
Transformirajmo izraz i proširimo zagrade (više detalja u poglavlju):
Hajde da razmotrimo šta smo uradili i stavimo znak:

4. Poređenje logaritama

Tako smo se polako ali sigurno približili pitanju kako uporediti logaritme. Ako se ne sjećate kakva je ovo životinja, savjetujem vam da prvo pročitate teoriju iz odjeljka. Pročitao? Zatim odgovorite na neka važna pitanja:

Šta je argument logaritma i koja je njegova baza?
Šta određuje da li se funkcija povećava ili smanjuje?

Ako se svega sjećate i dobro ste naučili - počnimo!

Da biste međusobno uporedili logaritme, morate znati samo 3 trika:

svođenje na istu bazu;
pozivanje na isti argument;
poređenje sa trećim brojem.

Prvo obratite pažnju na bazu logaritma. Sjećate se da ako je manji, onda funkcija opada, a ako je veća, onda se povećava. Na tome će se zasnivati naše prosudbe.

Razmislite o upoređivanju logaritama koji su već svedeni na istu bazu ili argument.

Za početak, pojednostavimo problem: ubacimo upoređene logaritme jednake osnove. onda:

Funkcija, kada se povećava na intervalu od, znači, po definiciji, tada (“direktno poređenje”).
primjer:- osnove su iste, odnosno, upoređujemo argumente: , dakle:
Funkcija, at, opada na intervalu od, što znači, po definiciji, zatim („obrnuto poređenje”). - baze su iste, odnosno, uspoređujemo argumente: , međutim, predznak logaritma će biti „obrnut“, budući da se funkcija smanjuje: .

Sada razmotrite slučajeve u kojima su osnove različite, ali su argumenti isti.

Baza je veća.
- . U ovom slučaju koristimo "obrnuto poređenje". Na primjer: - argumenti su isti, i. Uspoređujemo baze: međutim, predznak logaritma će biti "obrnut":
Baza a je između.
- . U ovom slučaju koristimo "direktno poređenje". Na primjer:
- . U ovom slučaju koristimo "obrnuto poređenje". Na primjer:

Zapišimo sve u općem tabelarnom obliku:

, pri čemu	, pri čemu

Shodno tome, kao što ste već shvatili, kada upoređujemo logaritme, trebamo dovesti do iste baze, odnosno argumenta, Do iste baze dolazimo koristeći formulu za prelazak s jedne baze na drugu.

Takođe možete uporediti logaritme sa trećim brojem i na osnovu toga zaključiti šta je manje, a šta više. Na primjer, razmislite o tome kako uporediti ova dva logaritma?

Mali savjet - za poređenje, logaritam će vam puno pomoći, čiji će argument biti jednak.

Mislio? Hajde da odlučimo zajedno.

Lako možemo uporediti ova dva logaritma sa vama:

Ne znam kako? Vidi gore. Upravo smo ga rastavili. Koji znak će biti tamo? desno:

Slažem se?

Hajde da uporedimo jedno sa drugim:

Trebali biste dobiti sljedeće:

Sada spojite sve naše zaključke u jedan. Desilo se?

5. Poređenje trigonometrijskih izraza.

Šta je sinus, kosinus, tangent, kotangens? Čemu služi jedinični krug i kako na njemu pronaći vrijednost trigonometrijskih funkcija? Ako ne znate odgovore na ova pitanja, toplo preporučujem da pročitate teoriju na ovu temu. A ako znate, onda vam upoređivanje trigonometrijskih izraza nije teško!

Osvježimo malo pamćenje. Nacrtajmo jedinični trigonometrijski krug i trokut upisan u njega. Jeste li uspjeli? Sada označite na kojoj strani imamo kosinus, a na kojoj sinus, koristeći stranice trokuta. (Naravno, sjećate se da je sinus omjer suprotne strane i hipotenuze, a kosinus susjedne?). Jesi li crtao? Odlično! Završni dodir - zapišite gdje ćemo ga imati, gdje i tako dalje. Spustiti? Uf) Uporedite šta se desilo sa mnom i tobom.

Phew! A sada krenimo sa poređenjem!

Pretpostavimo da trebamo uporediti i . Nacrtajte ove uglove koristeći nagovještaje u kutijama (gdje smo označili gdje), postavljajući tačke na jedinični krug. Jeste li uspjeli? Evo šta sam dobio.

Sada spustimo okomicu od tačaka koje smo označili na kružnici na osu ... Koju? Koja os pokazuje vrijednost sinusa? U redu, . Evo šta biste trebali dobiti:

Gledajući ovu cifru, koja je veća: ili? Naravno, jer je poenta iznad tačke.

Slično, poredimo vrijednost kosinusa. Mi samo spuštamo okomicu na osu ... Desno, . Shodno tome, gledamo koja je točka desno (dobro, ili viša, kao u slučaju sinusa), tada je vrijednost veća.

Verovatno već znate kako da uporedite tangente, zar ne? Sve što treba da znate je šta je tangenta. Dakle, šta je tangenta?) Tako je, omjer sinusa i kosinusa.

Da bismo uporedili tangente, crtamo i ugao, kao u prethodnom slučaju. Recimo da treba da uporedimo:

Jesi li crtao? Sada također označavamo vrijednosti sinusa na koordinatnoj osi. Zabilježeno? A sada navedite vrijednosti kosinusa na koordinatnoj liniji. Desilo se? uporedimo:

Sada analizirajte ono što ste napisali. - veliki segment dijelimo na mali. Odgovor će biti vrijednost koja je tačno veća od jedan. zar ne?

A kad malo podijelimo velikim. Odgovor će biti broj koji je tačno manji od jedan.

Dakle, vrijednost kog trigonometrijskog izraza je veća?

desno:

Kao što sada razumijete, poređenje kotangensa je isto, samo obrnuto: gledamo kako su segmenti koji definiraju kosinus i sinus međusobno povezani.

Pokušajte sami uporediti sljedeće trigonometrijske izraze:

Primjeri.

Odgovori.

POREĐENJE BROJEVA. PROSJEČAN NIVO.

Koji je od brojeva veći: ili? Odgovor je očigledan. A sada: ili? Nije više tako očigledno, zar ne? I tako: ili?

Često morate znati koji je od brojčanih izraza veći. Na primjer, kada rješavate nejednačinu, stavite tačke na osu ispravnim redoslijedom.

Sada ću vas naučiti da uporedite takve brojeve.

Ako trebate uporediti brojeve i, stavite znak između njih (izveden od latinske riječi Versus ili skraćeno vs. - protiv):. Ovaj znak zamjenjuje nepoznati znak nejednakosti (). Nadalje, izvršit ćemo identične transformacije dok ne postane jasno koji znak treba staviti između brojeva.

Suština poređenja brojeva je sljedeća: tretiramo znak kao da je neka vrsta znaka nejednakosti. A sa izrazom možemo učiniti sve što obično radimo s nejednačinama:

dodati bilo koji broj na oba dijela (i oduzeti, naravno, također možemo)
„pomeriti sve u jednom pravcu“, odnosno oduzeti jedan od upoređenih izraza iz oba dela. Na mjestu oduzetog izraza ostat će: .
pomnožite ili podijelite istim brojem. Ako je ovaj broj negativan, predznak nejednakosti je obrnut: .
Podignite obje strane na istu snagu. Ako je ova snaga parna, morate se pobrinuti da oba dijela imaju isti znak; ako su oba dijela pozitivna, predznak se ne mijenja kada se podigne na stepen, a ako su negativni, onda se mijenja u suprotan.
uzeti korijen istog stepena iz oba dijela. Ako izvučemo korijen parnog stepena, prvo morate biti sigurni da oba izraza nisu negativna.
bilo koje druge ekvivalentne transformacije.

Važno: poželjno je izvršiti transformacije na način da se znak nejednakosti ne mijenja! Odnosno, u toku transformacija, nepoželjno je množiti negativnim brojem, a nemoguće je kvadrirati ako je jedan od dijelova negativan.

Pogledajmo nekoliko tipičnih situacija.

1. Eksponencijacija.

Primjer.

Šta je više: ili?

Rješenje.

Budući da su obje strane nejednakosti pozitivne, možemo kvadrirati da se riješimo korijena:

Primjer.

Šta je više: ili?

Rješenje.

I ovdje možemo kvadrirati, ali to će nam samo pomoći da se riješimo kvadratnog korijena. Ovdje je potrebno podići do tog stepena da oba korijena nestanu. To znači da eksponent ovog stepena mora biti djeljiv i sa (stepen prvog korijena) i sa. Ovaj broj je, pa ga dižemo na stepen:

2. Množenje konjugatom.

Primjer.

Šta je više: ili?

Rješenje.

Pomnožite i podijelite svaku razliku konjugiranim zbrojem:

Očigledno je imenilac na desnoj strani veći od nazivnika na lijevoj strani. Dakle, desni razlomak je manji od lijevog:

3. Oduzimanje

Upamtimo to.

Primjer.

Šta je više: ili?

Rješenje.

Naravno, mogli bismo sve ujednačiti, pregrupirati se i ponovo uračunati. Ali možete učiniti nešto pametnije:

Može se vidjeti da je svaki član na lijevoj strani manji od svakog člana na desnoj strani.

Prema tome, zbir svih članova na lijevoj strani manji je od zbira svih članova na desnoj strani.

Ali budite oprezni! Pitali smo više...

Desna strana je veća.

Primjer.

Uporedite brojeve i.

Rješenje.

Zapamtite trigonometrijske formule:

Provjerimo u kojim četvrtima su tačke i leže na trigonometrijskom krugu.

4. Divizija.

Ovdje također koristimo jednostavno pravilo: .

Sa ili, tj.

Kada se znak promijeni: .

Primjer.

Napravite poređenje: .

Rješenje.

5. Uporedite brojeve sa trećim brojem

Ako i, onda (zakon tranzitivnosti).

Primjer.

Uporedite.

Rješenje.

Hajde da uporedimo brojeve ne jedni s drugima, već sa brojem.

Očigledno je da.

Na drugoj strani, .

Primjer.

Šta je više: ili?

Rješenje.

Oba broja su veća, ali manja. Odaberite broj tako da je veći od jednog, ali manji od drugog. Na primjer, . provjerimo:

6. Šta raditi s logaritmima?

Ništa posebno. Kako se riješiti logaritama detaljno je opisano u temi. Osnovna pravila su:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Leftrightarrow (\rm( ))\left[ (\begin(array)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \klin (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \klin y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Također možemo dodati pravilo o logaritmima s različitim bazama i istim argumentom:

To se može objasniti na sljedeći način: što je veća baza, to je manji stepen moraće da se podigne da bi se dobio isti. Ako je baza manja, onda je tačno suprotno, jer je odgovarajuća funkcija monotono opadajuća.

Primjer.

Uporedite brojeve: i.

Rješenje.

Prema gore navedenim pravilima:

A sada napredna formula.

Pravilo za poređenje logaritama se može i kraće napisati:

Primjer.

Šta je više: ili?

Rješenje.

Primjer.

Uporedite koji je od brojeva veći: .

Rješenje.

POREĐENJE BROJEVA. UKRATKO O GLAVNOM

1. Eksponencijacija

Ako su obje strane nejednakosti pozitivne, mogu se kvadrirati da se riješi korijena

2. Množenje konjugatom

Konjugat je množitelj koji nadopunjuje izraz sa formulom za razliku kvadrata: - konjugat za i obrnuto, jer .

3. Oduzimanje

4. Divizija

U ili to jest

Kada se znak promeni:

5. Poređenje sa trećim brojem

Ako i tada

6. Poređenje logaritama

Osnovna pravila:

Logaritmi sa različitim bazama i istim argumentom.

Naravno, znate da su pozitivni brojevi uvijek veći od negativnih i da ako predstavljamo brojevnu osu, onda kada se uporede, najveći brojevi će biti desno od najmanjih: ; ; itd.

Ali da li je uvek tako lako? Gdje na brojevnoj pravoj označavamo .

Kako ih uporediti, na primjer, s brojem? U tome je problem...)

Za početak, razgovarajmo općenito o tome kako i šta usporediti.

Poređenje frakcija

Dakle, moramo uporediti dva razlomka: i.

Postoji nekoliko opcija kako to učiniti.

Opcija 1. Dovedite razlomke na zajednički imenilac.

Zapišimo to kao običan razlomak:

- (kao što vidite, smanjio sam i za brojnik i imenilac).

Sada treba da uporedimo razlomke:

Sada možemo nastaviti porediti i na dva načina. Možemo:

samo svedite sve na zajednički nazivnik, predstavljajući oba razlomka kao nepravilna (brojilac je veći od nazivnika):
Koji je broj veći? Tako je, onaj čiji je brojilac veći, odnosno prvi.
"odbaciti" (pretpostavimo da smo oduzeli jedan od svakog razlomka, a odnos razlomaka se nije promijenio) i uporedićemo razlomke:
Dovodimo ih i do zajedničkog nazivnika:
Dobili smo potpuno isti rezultat kao u prethodnom slučaju - prvi broj je veći od drugog:
Provjerimo i da li smo ispravno oduzeli jedan? Izračunajmo razliku u brojiocu u prvom i drugom izračunu:
1)
2)

Dakle, pogledali smo kako da uporedimo razlomke, dovodeći ih do zajedničkog nazivnika. Pređimo na drugu metodu - upoređivanje razlomaka dovodeći ih do zajedničkog ... brojioca.

Opcija 2. Poređenje razlomaka svođenjem na zajednički brojnik.

Ali znak je isti.

I. Koji je razlomak veći? Tako je, prvi.

Opcija 3. Poređenje razlomaka oduzimanjem.

U našem slučaju, pokušajmo oduzeti prvi razlomak od drugog: .

Kao što ste već shvatili, također prevodimo u običan razlomak i dobivamo isti rezultat -. Naš izraz postaje:

Druga opcija mi se više sviđa, jer množenje u brojniku kada se svodi na zajednički imenilac postaje mnogo puta lakše.

Dovodimo do zajedničkog imenioca:

Jasno? Pokušajte uporediti razlomke:

Stani, stani. Nemojte žuriti da dovedete do zajedničkog nazivnika ili oduzmete. Pogledajte: lako se može pretvoriti u decimalni razlomak. Koliko će to biti? U redu. Šta na kraju bude više?

Ovo je još jedna opcija - poređenje razlomaka svođenjem na decimalu.

Opcija 4. Poređenje razlomaka pomoću dijeljenja.

Da da. I tako je moguće. Logika je jednostavna: kada veći broj podijelimo manjim, u odgovoru dobijemo broj veći od jedan, a ako manji broj podijelimo većim, onda odgovor pada na interval od do.

Pokušajmo primijeniti ovo pravilo na obične razlomke. uporedi:

Podijelite prvi razlomak drugim:

Skratimo malo malo.

Rezultat je manji, pa je dividenda manja od djelitelja, odnosno:

Analizirali smo sve moguće opcije za poređenje razlomaka. Kao što vidite ima ih 5:

svođenje na zajednički imenilac;
svođenje na zajednički brojnik;
redukcija u obliku decimalnog razlomka;
oduzimanje;
divizije.

Spremni za vježbanje? Uporedite razlomke na najbolji način:

Uporedimo odgovore:

(- pretvoriti u decimale)
(podijelite jedan razlomak drugim i smanjite za brojnik i nazivnik)
(odaberite cijeli dio i uporedite razlomke po principu istog brojila)
(podijelite jedan razlomak drugim i smanjite za brojnik i nazivnik).

2. Poređenje stepena

Sada zamislite da ne trebamo upoređivati samo brojeve, već i izraze gdje postoji stepen ().

Naravno, lako možete staviti znak:

Uostalom, ako stepen zamijenimo množenjem, dobićemo:

Iz ovog malog i primitivnog primjera slijedi pravilo:

Sada pokušajte uporediti sljedeće: . Takođe možete jednostavno staviti znak:

Jer ako zamijenimo stepenovanje množenjem...

Općenito, sve razumiješ i uopće nije teško.

Poteškoće nastaju samo kada, u poređenju, stepen ima različite osnove i pokazatelje. U ovom slučaju, potrebno je pokušati dovesti do zajedničke osnove. Na primjer:

Naravno, znate da ovaj, shodno tome, izraz poprima oblik:

Hajde da otvorimo zagrade i uporedimo šta se dešava:

Donekle poseban slučaj je kada je baza stepena () manja od jedan.

Ako, onda od dva stepena ili više, onaj čiji je indikator manji.

Pokušajmo dokazati ovo pravilo. Neka bude.

Uvodimo neki prirodni broj kao razliku između i.

Logično, zar ne?

Sada obratimo pažnju na stanje - .

Odnosno: . Dakle, .

Na primjer:

Kao što ste shvatili, razmatrali smo slučaj kada su baze snaga jednake. Sada da vidimo kada je baza u rasponu od do, ali su eksponenti jednaki. Ovdje je sve vrlo jednostavno.

Prisjetimo se kako to uporediti s primjerom:

Naravno, brzo ste izračunali:

Stoga, kada naiđete na slične probleme radi poređenja, imajte na umu neki jednostavan sličan primjer koji možete brzo izračunati i na osnovu ovog primjera zapisati znakove u složeniji.

Vježbajmo. Uporedite stepene:

Spremni za poređenje odgovora? Evo šta sam dobio:

- isto kao
- isto kao
- isto kao
- isto kao

3. Poređenje brojeva s korijenom

Počnimo od toga šta su korijeni? Sjećate li se ovog unosa?

Korijen realnog broja je broj za koji vrijedi jednakost.

Roots neparni stepen postoje za negativne i pozitivne brojeve, i čak i korenje- Samo za pozitivno.

Vrijednost korijena je često beskonačna decimala, što otežava njeno precizno izračunavanje, pa je važno biti u mogućnosti uporediti korijene.

Ako ste zaboravili šta je i sa čime se jede -. Ako se svega sjećate, naučimo upoređivati korijene korak po korak.

Recimo da treba da uporedimo:

Sta jos? ili? Ovo, naravno, možete uporediti bez ikakvih poteškoća. Što veći broj podignemo na stepen, to će biti veća vrijednost.

Dakle. Hajde da shvatimo pravilo.

Ako su eksponenti korijena isti (u našem slučaju je to), onda je potrebno uporediti korijenske izraze (i) - što je veći korijenski broj, to je veća vrijednost korijena s jednakim pokazateljima.

Teško za pamćenje? Onda samo imajte na umu primjer i. To više?

Eksponenti korijena su isti, jer je korijen kvadratan. Korijenski izraz jednog broja () veći je od drugog (), što znači da je pravilo zaista tačno.

Ali šta ako su radikalni izrazi isti, ali su stepeni korena različiti? Na primjer: .

Takođe je sasvim jasno da će se prilikom vađenja korena većeg stepena dobiti manji broj. Uzmimo za primjer:

Označite vrijednost prvog korijena kao, a drugog - kao, zatim:

Lako možete vidjeti da bi u ovim jednadžbama trebalo biti više, dakle:

Pokušajte uporediti sljedeće korijene:

Hajde da uporedimo rezultate?

Da smo svi u riječima i riječima. Evo primjera:

Gledamo indikatore korijena - i. Njihov najmanji zajednički višekratnik je .
Podignimo oba izraza na stepen:
Transformirajmo izraz i proširimo zagrade (više detalja u poglavlju):
Hajde da razmotrimo šta smo uradili i stavimo znak:

4. Poređenje logaritama

Šta je argument logaritma i koja je njegova baza?
Šta određuje da li se funkcija povećava ili smanjuje?

Ako se svega sjećate i dobro ste naučili - počnimo!

Da biste međusobno uporedili logaritme, morate znati samo 3 trika:

svođenje na istu bazu;
pozivanje na isti argument;
poređenje sa trećim brojem.

Prvo obratite pažnju na bazu logaritma. Sjećate se da ako je manji, onda funkcija opada, a ako je veća, onda se povećava. Na tome će se zasnivati naše prosudbe.

Razmislite o upoređivanju logaritama koji su već svedeni na istu bazu ili argument.

Za početak, pojednostavimo problem: ubacimo upoređene logaritme jednake osnove. onda:

Funkcija, kada se povećava na intervalu od, znači, po definiciji, tada (“direktno poređenje”).
primjer:- osnove su iste, odnosno, upoređujemo argumente: , dakle:
Funkcija, at, opada na intervalu od, što znači, po definiciji, zatim („obrnuto poređenje”). - baze su iste, odnosno, uspoređujemo argumente: , međutim, predznak logaritma će biti „obrnut“, budući da se funkcija smanjuje: .

Sada razmotrite slučajeve u kojima su osnove različite, ali su argumenti isti.

Baza je veća.
- . U ovom slučaju koristimo "obrnuto poređenje". Na primjer: - argumenti su isti, i. Uspoređujemo baze: međutim, predznak logaritma će biti "obrnut":
Baza a je između.
- . U ovom slučaju koristimo "direktno poređenje". Na primjer:
- . U ovom slučaju koristimo "obrnuto poređenje". Na primjer:

Zapišimo sve u općem tabelarnom obliku:

, pri čemu	, pri čemu