Porovnávanie čísel ich písaním. Porovnanie čísel. Najväčšie záporné a najmenšie kladné celé číslo

Absolútna hodnota čísla

Modul a označujú $|a|$. Vertikálne čiary vpravo a vľavo od čísla tvoria znamienko modulu.

Napríklad modul ľubovoľného čísla (prirodzeného, celého čísla, racionálneho alebo iracionálneho) sa zapíše takto: $|5|$, $|-11|$, $|2,345|$, $|\sqrt(45)|$ .

Definícia 1

Modul a rovná sa samotnému $a$, ak je $a$ kladné, $−a$, ak je $a$ záporné, alebo $0$, ak $a=0$.

Táto definícia modulu čísla môže byť napísaná takto:

$|a|= \begin(cases) a, & a > 0, \\ 0, & a=0,\\ -a, &a

Môžete použiť kratší zápis:

$|a|=\begin(cases) a, & a \geq 0 \\ -a, & a

Príklad 1

Vypočítajte moduly čísel $23$ a $-3,45$.

Riešenie.

Nájdite absolútnu hodnotu 23 $.

Číslo $23$ je kladné, preto sa modul kladného čísla podľa definície rovná tomuto číslu:

Nájdite modul čísla $–3,45 $.

Číslo $–3,45$ je záporné číslo, preto sa podľa definície modul záporného čísla rovná číslu opačnému k danému:

Odpoveď: $|23|=23$, $|-3,45|=3,45$.

Definícia 2

Modul čísla je absolútna hodnota čísla.

Modul čísla je teda číslo pod znamienkom modulu bez zohľadnenia jeho znamienka.

Modul čísla ako vzdialenosť

Geometrická hodnota modulu čísla: modul čísla je vzdialenosť.

Definícia 3

Modul a je vzdialenosť od referenčného bodu (nuly) na číselnej osi k bodu, ktorý zodpovedá číslu $a$.

Príklad 2

Napríklad, modul 12 $ je 12 $, pretože vzdialenosť od referenčného bodu k bodu so súradnicou $12$ sa rovná dvanástim:

Bod so súradnicou $−8,46$ sa nachádza vo vzdialenosti $8,46$ od počiatku, takže $|-8,46|=8,46$.

Modul čísla ako aritmetická odmocnina

Definícia 4

Modul a je aritmetická druhá odmocnina z $a^2$:

$|a|=\sqrt(a^2)$.

Príklad 3

Vypočítajte modul čísla $–14$ pomocou definície modulu čísla v zmysle druhej odmocniny.

Riešenie.

$|-14|=\sqrt(((-14)^2)=\sqrt((-14) \cdot (-14))=\sqrt(14 \cdot 14)=\sqrt((14)^2 ) = 14 $.

Odpoveď: $|-14|=14$.

Porovnanie záporných čísel

Porovnanie záporných čísel je založené na porovnaní modulov týchto čísel.

Poznámka 1

Pravidlo na porovnávanie záporných čísel:

Ak je modul jedného zo záporných čísel väčší, potom je takéto číslo menšie;
ak je modul jedného zo záporných čísel menší, potom je takéto číslo veľké;
ak sú moduly čísel rovnaké, potom sú záporné čísla rovnaké.

Poznámka 2

Na číselnej osi je menšie záporné číslo umiestnené naľavo od väčšieho záporného čísla.

Príklad 4

Porovnajte záporné čísla $-27$ a $-4$.

Riešenie.

Podľa pravidla na porovnávanie záporných čísel najskôr nájdeme moduly čísel $–27$ a $–4$ a následne porovnáme získané kladné čísla.

Dostaneme teda $–27 |-4|$.

Odpoveď: $–27

Pri porovnávaní záporných racionálnych čísel je potrebné previesť obe čísla do tvaru obyčajných zlomkov alebo desatinných zlomkov.

Porovnávanie čísel je jednou z najjednoduchších a najpríjemnejších tém na kurze matematiky. Treba však povedať, že to nie je také jednoduché. Napríklad len málo ľudí má problém porovnávať jednociferné alebo dvojciferné kladné čísla.

Ale čísla s veľkým počtom znakov už spôsobujú problémy, ľudia sa často pri porovnávaní záporných čísel stratia a nepamätajú si, ako porovnať dve čísla s rôzne znamenia. Na všetky tieto otázky sa pokúsime odpovedať.

Pravidlá pre porovnávanie kladných čísel

Začnime tým najjednoduchším – číslami, ktoré pred sebou nemajú žiadne znamienko, teda kladnými.

V prvom rade je potrebné pripomenúť, že všetky kladné čísla sú podľa definície väčšie ako nula, aj keď hovoríme o zlomkovom čísle bez celého čísla. Napríklad desatinný zlomok 0,2 bude väčší ako nula, pretože na súradnicovej čiare je bod, ktorý mu zodpovedá, ešte dva malé dieliky od nuly.
Ak hovoríme o porovnaní dvoch kladných čísel s veľkým počtom znakov, potom musíte porovnať každú z číslic. Napríklad 32 a 33. Desiatka pre tieto čísla je rovnaká, ale číslo 33 je väčšie, pretože v jednotkách je číslica „3“ väčšia ako „2“.
Ako porovnáte dve desatinné miesta? Tu sa musíte v prvom rade pozrieť na celočíselnú časť – napríklad zlomok 3,5 bude menší ako 4,6. Čo ak je celá časť rovnaká, ale desatinné miesta sú odlišné? V tomto prípade platí pravidlo pre celé čísla – treba porovnávať znamienka po čísliciach, kým nenájdete väčšie a menšie desatiny, stotiny, tisíciny. Napríklad 4,86 je väčšie ako 4,75, pretože osem desatín je väčších ako sedem.

Porovnanie záporných čísel

Ak máme v úlohe nejaké čísla -a a -c a potrebujeme určiť, ktoré z nich je väčšie, tak platí univerzálne pravidlo. Najprv sa vypíšu moduly týchto čísel - |a| a |c| - a porovnávajú sa navzájom. Číslo, ktorého modul je väčší, bude menšie v porovnaní so zápornými číslami a naopak - väčšie číslo bude to, ktorého modul bude menší.

Čo ak potrebujete porovnať záporné a kladné číslo?

Funguje tu len jedno pravidlo, a to základné. Kladné čísla sú vždy väčšie ako čísla so znamienkom mínus – nech sú akékoľvek. Napríklad číslo "1" bude vždy väčšie ako číslo "-1458" jednoducho preto, že jednotka je na súradnicovej čiare napravo od nuly.

Musíte tiež pamätať na to, že akékoľvek záporné číslo je vždy menšie ako nula.

Pri riešení rovníc a nerovníc, ako aj problémov s modulmi, je potrebné nájsť nájdené korene na skutočnej čiare. Ako viete, nájdené korene môžu byť rôzne. Môžu byť takéto:, alebo môžu byť takéto:,.

Ak teda čísla nie sú racionálne, ale iracionálne (ak ste zabudli, čo to je, pozrite sa do témy), alebo sú to zložité matematické výrazy, potom je ich umiestnenie na číselnú os veľmi problematické. Navyše pri skúške nemožno použiť kalkulačky a približný výpočet neposkytuje 100% záruku, že jedno číslo je menšie ako druhé (čo ak je medzi porovnávanými číslami rozdiel?).

Samozrejme viete, že kladné čísla sú vždy väčšie ako záporné a že ak reprezentujeme číselnú os, tak pri porovnaní budú najväčšie čísla vpravo ako najmenšie: ; ; atď.

Ale je to vždy také ľahké? Kde na číselnej osi označíme .

Ako ich porovnať napríklad s číslom? V tom je problém...)

Najprv si pohovorme o vo všeobecnosti ako a čo porovnávať.

Dôležité: je žiaduce vykonávať transformácie takým spôsobom, aby sa znamienko nerovnosti nezmenilo! To znamená, že v priebehu transformácií je nežiaduce násobiť záporným číslom a je zakázanéštvorec, ak je jedna z častí záporná.

Porovnanie zlomkov

Musíme teda porovnať dva zlomky: a.

Existuje niekoľko možností, ako to urobiť.

Možnosť 1. Priveďte zlomky k spoločnému menovateľovi.

Napíšme to ako obyčajný zlomok:

- (ako vidíte, znížil som aj o čitateľa a menovateľa).

Teraz musíme porovnať zlomky:

Teraz môžeme pokračovať v porovnávaní aj dvoma spôsobmi. Môžeme:

len zredukujte všetko na spoločného menovateľa, pričom oba zlomky predstavte ako nesprávne (čitateľ je väčší ako menovateľ):
Ktoré číslo je väčšie? Správne, ten, ktorého čitateľ je väčší, teda ten prvý.
„zahodiť“ (predpokladajme, že sme odpočítali jeden od každého zlomku a pomer zlomkov k sebe sa nezmenil) a zlomky porovnáme:
Prinášame ich aj spoločnému menovateľovi:
Dostali sme presne rovnaký výsledok ako v predchádzajúcom prípade – prvé číslo je väčšie ako druhé:
Skontrolujme aj to, či sme správne odčítali jeden? Vypočítajme rozdiel v čitateli v prvom a druhom výpočte:
1)
2)

Takže sme sa pozreli na to, ako porovnať zlomky a priviesť ich k spoločnému menovateľovi. Prejdime k inej metóde – porovnávaniu zlomkov ich privedením do spoločného ... čitateľa.

Možnosť 2. Porovnanie zlomkov redukciou na spoločného čitateľa.

Áno áno. Toto nie je preklep. V škole sa táto metóda učia len zriedka, ale veľmi často je to veľmi pohodlné. Aby ste rýchlo pochopili jeho podstatu, položím vám iba jednu otázku - "v ktorých prípadoch je hodnota zlomku najväčšia?" Samozrejme, poviete "keď je čitateľ čo najväčší a menovateľ čo najmenší."

Určite si napríklad poviete, že Pravda? A ak potrebujeme porovnať takéto zlomky: Myslím, že aj vy okamžite správne umiestnite znamenie, pretože v prvom prípade sú rozdelené na časti a v druhom na celé, čo znamená, že v druhom prípade sú kúsky veľmi malé, a teda:. Ako vidíte, menovatelia sú tu rôzni, no čitatelia sú rovnakí. Na porovnanie týchto dvoch zlomkov však nemusíte hľadať spoločného menovateľa. Hoci ... nájdite ho a zistite, či je porovnávacie znamienko stále nesprávne?

Ale znamenie je rovnaké.

Vráťme sa k našej pôvodnej úlohe – porovnávať a. Porovnáme a Tieto zlomky neprivádzame do spoločného menovateľa, ale do spoločného čitateľa. Na to je to jednoduché čitateľ a menovateľ vynásobte prvý zlomok. Dostaneme:

A. Ktorý zlomok je väčší? Presne tak, ten prvý.

Možnosť 3. Porovnávanie zlomkov pomocou odčítania.

Ako porovnávať zlomky pomocou odčítania? Áno, veľmi jednoduché. Od jedného zlomku odčítame ďalší. Ak je výsledok kladný, potom je prvý zlomok (redukovaný) väčší ako druhý (odčítaný) a ak je záporný, potom naopak.

V našom prípade skúsme odpočítať prvý zlomok od druhého: .

Ako ste už pochopili, preložíme aj do obyčajného zlomku a získame rovnaký výsledok -. Náš výraz sa stáva:

Ďalej sa ešte musíme uchýliť k redukcii na spoločného menovateľa. Otázkou je ako: prvým spôsobom prevod zlomkov na nesprávne, alebo druhým, akoby „odstránením“ jednotky? Mimochodom, táto akcia má úplne matematické opodstatnenie. Pozri:

Viac sa mi páči druhá možnosť, pretože násobenie v čitateli pri redukovaní na spoločného menovateľa je mnohokrát jednoduchšie.

Prinášame spoločného menovateľa:

Hlavná vec je nenechať sa zmiasť, z akého čísla a odkiaľ sme odpočítali. Pozorne si prezrite priebeh riešenia a nenechajte si náhodou pomýliť znamienka. Odpočítali sme prvé od druhého čísla a dostali sme zápornú odpoveď, takže? .. Je to tak, prvé číslo je väčšie ako druhé.

Mám to? Skúste porovnať zlomky:

Stop, stop. Neponáhľajte sa priviesť k spoločnému menovateľovi alebo odpočítať. Pozrite sa: dá sa ľahko previesť na desatinný zlomok. Koľko to bude? Správny. Čo nakoniec bude viac?

Toto je ďalšia možnosť - porovnávanie zlomkov zmenšením na desatinné miesto.

Možnosť 4. Porovnávanie zlomkov pomocou delenia.

Áno áno. A tak je to tiež možné. Logika je jednoduchá: keď delíme väčšie číslo menším, dostaneme v odpovedi číslo väčšie ako jedna a ak menšie číslo vydelíme väčším, tak odpoveď pripadá na interval od do.

Aby ste si toto pravidlo zapamätali, zoberte si na porovnanie ľubovoľné dve prvočísla, napríklad a. Vieš čo je viac? Teraz rozdeľme podľa. Naša odpoveď je. Podľa toho je teória správna. Ak vydelíme, to, čo dostaneme, je menej ako jedna, čo zase potvrdzuje, čo je v skutočnosti menej.

Skúsme toto pravidlo aplikovať na obyčajné zlomky. Porovnaj:

Vydeľte prvý zlomok druhým:

Skracujeme po a po.

Výsledok je menší, takže dividenda je menšia ako deliteľ, to znamená:

Analyzovali sme všetky možné možnosti porovnávania zlomkov. Ako vidíte, je ich 5:

redukcia na spoločného menovateľa;
redukcia na spoločného čitateľa;
zmenšenie na tvar desatinného zlomku;
odčítanie;
divízie.

Pripravený na cvičenie? Porovnajte zlomky najlepším spôsobom:

Porovnajme odpovede:

(- previesť na desatinné číslo)
(rozdeľte jeden zlomok druhým a znížte o čitateľa a menovateľa)
(vyberte celú časť a porovnajte zlomky podľa princípu rovnakého čitateľa)
(rozdeľte jeden zlomok druhým a zredukujte čitateľom a menovateľom).

2. Porovnanie stupňov

Teraz si predstavte, že musíme porovnávať nielen čísla, ale aj výrazy, kde je stupeň ().

Samozrejme, môžete ľahko umiestniť znamenie:

Koniec koncov, ak nahradíme stupeň násobením, dostaneme:

Z tohto malého a primitívneho príkladu vyplýva pravidlo:

Teraz skúste porovnať nasledovné: . Môžete tiež ľahko umiestniť znak:

Pretože ak nahradíme umocňovanie násobením...

Vo všeobecnosti rozumiete všetkému a nie je to vôbec ťažké.

Ťažkosti vznikajú len vtedy, keď majú stupne pri porovnaní rôzne základy a ukazovatele. V tomto prípade je potrebné pokúsiť sa priviesť k spoločnému základu. Napríklad:

Samozrejme viete, že tento výraz má formu:

Otvorme zátvorky a porovnajme, čo sa stane:

Trochu zvláštny prípad je, keď základňa stupňa () je menšia ako jedna.

Ak teda o dva stupne alebo viac, ten, ktorého indikátor je menší.

Skúsme toto pravidlo dokázať. Nechať byť.

Zavedieme nejaké prirodzené číslo ako rozdiel medzi a.

Logické, nie?

Teraz venujme pozornosť podmienke - .

Respektíve: . Preto, .

Napríklad:

Ako ste pochopili, zvažovali sme prípad, keď sú základy síl rovnaké. Teraz sa pozrime, kedy je základňa v rozsahu od do, ale exponenty sú rovnaké. Všetko je tu veľmi jednoduché.

Pripomeňme si, ako to porovnať s príkladom:

Samozrejme, rýchlo ste vypočítali:

Preto, keď na porovnanie narazíte na podobné problémy, majte na pamäti nejaký jednoduchý podobný príklad, ktorý viete rýchlo vypočítať, a na základe tohto príkladu položte znamienka do zložitejšieho.

Pri vykonávaní transformácií nezabudnite, že ak násobíte, sčítate, odčítate alebo delíte, všetky akcie sa musia vykonať na ľavej aj pravej strane (ak násobíte, musíte vynásobiť obe).

Okrem toho sú chvíle, keď je vykonávanie akýchkoľvek manipulácií jednoducho nerentabilné. Napríklad je potrebné porovnávať. V tomto prípade nie je také ťažké zvýšiť silu a usporiadať znamenie na základe toho:

Poďme cvičiť. Porovnajte stupne:

Ste pripravení porovnať odpovede? Tu je to, čo som dostal:

- rovnake ako
- rovnake ako
- rovnake ako
- rovnake ako

3. Porovnanie čísel s odmocninou

Začnime tým, čo sú korene? Pamätáte si tento záznam?

Koreň reálneho čísla je číslo, pre ktoré platí rovnosť.

Korene pre záporné a kladné čísla existuje nepárny stupeň a dokonca aj korene- Len pozitívne.

Hodnota odmocniny je často nekonečná desatinná čiarka, čo sťažuje jej presný výpočet, preto je dôležité vedieť porovnať odmocniny.

Ak ste zabudli, čo to je a s čím sa to jedáva -. Ak si všetko pamätáte, naučme sa porovnávať korene krok za krokom.

Povedzme, že musíme porovnať:

Na porovnanie týchto dvoch koreňov nemusíte robiť žiadne výpočty, stačí analyzovať samotný pojem „root“. Chápem, o čom hovorím? Áno, o tomto: inak sa to dá zapísať ako tretia mocnina nejakého čísla, ktorá sa rovná koreňovému výrazu.

Co viac? alebo? To, samozrejme, môžete bez problémov porovnávať. Čím väčšie číslo zvýšime na mocninu, tým väčšia bude hodnota.

Takže. Zoberme si pravidlo.

Ak sú exponenty koreňov rovnaké (v našom prípade je to tak), potom je potrebné porovnať koreňové výrazy (a) - čím väčšie je číslo koreňa, tým väčšia je hodnota koreňa pri rovnakých ukazovateľoch.

Ťažko zapamätateľné? Potom už len majte na pamäti príklad a. To viac?

Exponenty koreňov sú rovnaké, pretože koreň je štvorcový. Koreňový výraz jedného čísla () je väčší ako druhý (), čo znamená, že pravidlo je skutočne pravdivé.

Ale čo ak sú radikálne výrazy rovnaké, ale stupne koreňov sú odlišné? Napríklad: .

Je tiež celkom jasné, že pri extrakcii koreňa väčšieho stupňa sa získa menšie číslo. Vezmime si napríklad:

Označte hodnotu prvého koreňa ako a druhého - ako, potom:

Môžete ľahko vidieť, že v týchto rovniciach by malo byť viac, preto:

Ak sú koreňové výrazy rovnaké(v našom prípade), a exponenty koreňov sú rôzne(v našom prípade je to a), potom je potrebné porovnať exponenty(A) - čím väčší exponent, tým menší daný výraz.

Skúste porovnať nasledujúce korene:

Porovnáme výsledky?

S týmto sme sa úspešne vysporiadali :). Vynára sa ďalšia otázka: čo ak sme každý iný? A stupeň a radikálne vyjadrenie? Nie všetko je také ťažké, len sa potrebujeme ... "zbaviť" koreňa. Áno áno. Zbaviť sa toho.)

Ak máme rôzne stupne a radikálne výrazy, je potrebné nájsť najmenší spoločný násobok (prečítajte si časť o) pre koreňové exponenty a umocniť oba výrazy na mocninu rovnajúcu sa najmenšiemu spoločnému násobku.

Že sme všetci v slovách a v slovách. Tu je príklad:

Pozeráme sa na ukazovatele koreňov - a. Ich najmenší spoločný násobok je .
Uveďme oba výrazy na mocninu:
Transformujme výraz a rozviňme zátvorky (podrobnejšie v kapitole):
Uvažujme, čo sme urobili, a dajme znamenie:

4. Porovnanie logaritmov

Pomaly, ale isto sme sa teda dostali k otázke, ako porovnávať logaritmy. Ak si nepamätáte, o aký druh zvieraťa ide, odporúčam vám, aby ste si najskôr prečítali teóriu z tejto časti. Čítať? Potom odpovedzte na niekoľko dôležitých otázok:

Aký je argument logaritmu a aký je jeho základ?
Čo určuje, či funkcia rastie alebo klesá?

Ak si všetko pamätáte a dobre ste sa to naučili - začnime!

Aby ste mohli navzájom porovnávať logaritmy, potrebujete poznať iba 3 triky:

redukcia na rovnaký základ;
vrhanie na rovnaký argument;
porovnanie s tretím číslom.

Najprv venujte pozornosť základu logaritmu. Pamätáte si, že ak je menej, funkcia sa znižuje a ak je väčšia, zvyšuje sa. Na tom sa budú zakladať naše úsudky.

Zvážte porovnanie logaritmov, ktoré už boli zredukované na rovnaký základ alebo argument.

Na začiatok si problém zjednodušíme: vpustite porovnávané logaritmy rovnaké dôvody. potom:

Funkcia, keď sa zvyšuje v intervale od, znamená podľa definície potom („priame porovnanie“).
Príklad:- základy sú rovnaké, porovnáme argumenty: , teda:
Funkcia at klesá v intervale od, čo podľa definície znamená potom („spätné porovnanie“). - základy sú rovnaké, porovnáme argumenty: , avšak znamienko logaritmov bude „obrátené“, pretože funkcia klesá: .

Teraz zvážte prípady, keď sú základy odlišné, ale argumenty sú rovnaké.

Základňa je väčšia.
- . V tomto prípade používame „obrátené porovnanie“. Napríklad: - argumenty sú rovnaké a. Porovnávame základy: znamienko logaritmov však bude „obrátené“:
Základ a je medzi tým.
- . V tomto prípade používame „priame porovnanie“. Napríklad:
- . V tomto prípade používame „obrátené porovnanie“. Napríklad:

Zapíšme si všetko vo všeobecnej tabuľkovej forme:

, kde	, kde

V súlade s tým, ako ste už pochopili, pri porovnávaní logaritmov musíme priviesť k rovnakému základu alebo argumentu, Dostaneme sa k rovnakému základu pomocou vzorca na prechod z jedného základu na druhý.

Logaritmy môžete porovnať aj s tretím číslom a na základe toho odvodiť, čo je menej a čo viac. Zamyslite sa napríklad nad tým, ako porovnať tieto dva logaritmy?

Malá nápoveda - pre porovnanie vám veľmi pomôže logaritmus, ktorého argument bude rovnaký.

Myšlienka? Rozhodnime sa spolu.

Tieto dva logaritmy môžeme ľahko porovnať s vami:

Nevieš ako? Viď vyššie. Len sme to rozobrali. Aké znamenie tam bude? Správny:

súhlasíte?

Porovnajme medzi sebou:

Mali by ste získať nasledovné:

Teraz spojte všetky naše závery do jedného. Stalo?

5. Porovnanie goniometrických výrazov.

Čo je sínus, kosínus, tangens, kotangens? Na čo slúži jednotkový kruh a ako na ňom nájsť hodnotu goniometrických funkcií? Ak nepoznáte odpovede na tieto otázky, vrelo odporúčam prečítať si teóriu na túto tému. A ak viete, potom porovnávanie goniometrických výrazov medzi sebou nie je pre vás ťažké!

Poďme si trochu osviežiť pamäť. Narysujme jednotkový trigonometrický kruh a do neho vpísaný trojuholník. Zvládli ste to? Teraz pomocou strán trojuholníka označte, na ktorej strane máme kosínus a na ktorej sínus. (Samozrejme, pamätáte si, že sínus je pomer opačnej strany k prepone a kosínus susednej?). Kreslili ste? Skvelé! Posledný dotyk - dať dole, kde to budeme mať, kde a podobne. Položiť? Fuj) Porovnaj, čo sa stalo mne a tebe.

Fíha! Teraz začnime porovnávať!

Predpokladajme, že musíme porovnať a . Nakreslite tieto uhly pomocou rád v rámčekoch (kde sme označili kde) a rozložte body na jednotkový kruh. Zvládli ste to? Tu je to, čo som dostal.

Teraz spustíme kolmicu z bodov, ktoré sme označili na kruhu, na os ... Ktorú? Ktorá os ukazuje hodnotu sínusov? Správny, . Tu je to, čo by ste mali dostať:

Pri pohľade na toto číslo, ktoré je väčšie: alebo? Samozrejme, lebo pointa je nad pointou.

Podobne porovnávame hodnotu kosínusov. Spúšťame len kolmicu na os ... Vpravo, . Podľa toho sa pozrieme na to, ktorý bod je napravo (dobre alebo vyššie, ako v prípade sínusov), potom je hodnota väčšia.

Porovnávať tangenty už asi viete, však? Všetko, čo potrebujete vedieť, je to, čo je dotyčnica. Čo je teda dotyčnica?) Správne, pomer sínusu ku kosínusu.

Na porovnanie dotyčníc nakreslíme aj uhol, ako v predchádzajúcom prípade. Povedzme, že musíme porovnať:

Kreslili ste? Teraz tiež označíme hodnoty sínusu na súradnicovej osi. Poznamenané? A teraz uveďte hodnoty kosínusu na súradnicovej čiare. Stalo? Porovnajme:

Teraz analyzujte, čo ste napísali. - veľký segment rozdelíme na malý. Odpoveďou bude hodnota, ktorá je presne väčšia ako jedna. Správny?

A keď si rozdelíme malú na veľkú. Odpoveďou bude číslo, ktoré je presne menšie ako jedna.

Hodnota ktorého goniometrického výrazu je teda väčšia?

Správny:

Ako ste teraz pochopili, porovnanie kotangens je rovnaké, len naopak: pozeráme sa na to, ako spolu súvisia segmenty, ktoré definujú kosínus a sínus.

Skúste sami porovnať nasledujúce trigonometrické výrazy:

Príklady.

Odpovede.

POROVNANIE ČÍSEL. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ.

Ktoré z čísel je väčšie: alebo? Odpoveď je zrejmá. A teraz: alebo? Už to nie je také zrejmé, však? A tak: alebo?

Často potrebujete vedieť, ktorý z číselných výrazov je väčší. Napríklad pri riešení nerovnosti umiestnite body na os v správnom poradí.

Teraz vás naučím porovnávať takéto čísla.

Ak potrebujete porovnať čísla a vložte medzi ne znamienko (odvodené z latinského slova Versus alebo skrátené vs. - proti):. Toto znamienko nahrádza neznáme znamienko nerovnosti (). Ďalej budeme vykonávať identické transformácie, kým nebude jasné, ktoré znamienko by sa malo vložiť medzi čísla.

Podstata porovnávania čísel je nasledovná: so znamienkom zaobchádzame, akoby to bol nejaký druh znamienka nerovnosti. A s výrazom môžeme robiť všetko, čo zvyčajne robíme s nerovnosťami:

pripočítajte k obom častiam ľubovoľné číslo (a samozrejme môžeme aj odčítať)
„posuňte všetko jedným smerom“, teda odčítajte jeden z porovnávaných výrazov z oboch častí. Na mieste odčítaného výrazu zostane: .
vynásobte alebo vydeľte rovnakým číslom. Ak je toto číslo záporné, znamienko nerovnosti sa obráti: .
Zvýšte obe strany na rovnakú silu. Ak je táto mocnina párna, musíte sa uistiť, že obe časti majú rovnaké znamienko; ak sú obe časti kladné, znamienko sa pri umocnení nemení, a ak sú záporné, mení sa na opačný.
vezmite koreň rovnakého stupňa z oboch častí. Ak extrahujeme koreň párneho stupňa, musíte sa najskôr uistiť, že oba výrazy sú nezáporné.
akékoľvek iné ekvivalentné transformácie.

Dôležité: je žiaduce vykonávať transformácie takým spôsobom, aby sa znamienko nerovnosti nezmenilo! To znamená, že v priebehu transformácií je nežiaduce násobiť záporným číslom a nie je možné vykonať druhú mocninu, ak je jedna z častí záporná.

Pozrime sa na niekoľko typických situácií.

1. Umocňovanie.

Príklad.

Čo je viac: alebo?

Riešenie.

Keďže obe strany nerovnosti sú kladné, môžeme použiť druhú mocninu, aby sme sa zbavili koreňa:

Príklad.

Čo je viac: alebo?

Riešenie.

Aj tu môžeme odmocniť, ale to nám len pomôže zbaviť sa odmocniny. Tu je potrebné zvýšiť do takej miery, že oba korene zmiznú. To znamená, že exponent tohto stupňa musí byť deliteľný aj (stupeň prvého odmocniny) aj čím. Toto číslo je, takže ho zvýšime na tú mocninu:

2. Násobenie konjugátom.

Príklad.

Čo je viac: alebo?

Riešenie.

Vynásobte a vydeľte každý rozdiel konjugovaným súčtom:

Je zrejmé, že menovateľ na pravej strane je väčší ako menovateľ na ľavej strane. Preto je pravý zlomok menší ako ľavý:

3. Odčítanie

Zapamätajme si to.

Príklad.

Čo je viac: alebo?

Riešenie.

Samozrejme, mohli by sme všetko urovnať, preskupiť a znova vyrovnať. Môžete však urobiť niečo inteligentnejšie:

Je vidieť, že každý výraz na ľavej strane je menší ako každý výraz na pravej strane.

Súčet všetkých výrazov na ľavej strane je teda menší ako súčet všetkých výrazov na pravej strane.

Ale buď opatrný! Pýtali sme sa viac...

Pravá strana je väčšia.

Príklad.

Porovnajte čísla a.

Riešenie.

Pamätajte na trigonometrické vzorce:

Skontrolujeme, v ktorých štvrtinách sú body a ľahneme si na trigonometrickú kružnicu.

4. Rozdelenie.

Aj tu používame jednoduché pravidlo: .

Teda s alebo.

Keď sa zmení znamenie: .

Príklad.

Urobte porovnanie: .

Riešenie.

5. Porovnajte čísla s tretím číslom

Ak a, potom (zákon prechodnosti).

Príklad.

Porovnaj.

Riešenie.

Porovnávajme čísla nie medzi sebou, ale s číslom.

To je zrejmé.

Na druhej strane, .

Príklad.

Čo je viac: alebo?

Riešenie.

Obe čísla sú väčšie, ale menšie. Vyberte číslo také, aby bolo väčšie ako jedno, ale menšie ako druhé. Napríklad, . Skontrolujme to:

6. Čo robiť s logaritmami?

Nič zvláštne. Ako sa zbaviť logaritmov je podrobne popísané v téme. Základné pravidlá sú:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Šípka doľava doprava (\rm( ))\doľava[ (\begin(pole)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \wedge (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \klin y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Môžeme tiež pridať pravidlo o logaritmoch s rôznymi základňami a rovnakým argumentom:

Dá sa to vysvetliť takto: čím väčšia je základňa, tým nižší stupeň bude musieť byť postavený, aby sa dostal rovnaký. Ak je základňa menšia, potom je to naopak, pretože príslušná funkcia je monotónne klesajúca.

Príklad.

Porovnajte čísla: i.

Riešenie.

Podľa vyššie uvedených pravidiel:

A teraz pokročilý vzorec.

Pravidlo na porovnávanie logaritmov možno napísať aj kratšie:

Príklad.

Čo je viac: alebo?

Riešenie.

Príklad.

Porovnaj, ktoré z čísel je väčšie: .

Riešenie.

POROVNANIE ČÍSEL. STRUČNE O HLAVNOM

1. Umocňovanie

Ak sú obe strany nerovnosti kladné, možno ich odmocniť, aby sme sa zbavili koreňa

2. Násobenie konjugátom

Konjugát je multiplikátor, ktorý dopĺňa výraz do vzorca pre rozdiel druhých mocnín: - konjugát pre a naopak, pretože .

3. Odčítanie

4. Rozdelenie

At alebo to je

Keď sa zmení znamenie:

5. Porovnanie s tretím číslom

Ak a potom

6. Porovnanie logaritmov

Základné pravidlá:

Logaritmy s rôznymi základňami a rovnakým argumentom.

Samozrejme viete, že kladné čísla sú vždy väčšie ako záporné a že ak reprezentujeme číselnú os, tak pri porovnaní budú najväčšie čísla vpravo ako najmenšie: ; ; atď.

Ale je to vždy také ľahké? Kde na číselnej osi označíme .

Ako ich porovnať napríklad s číslom? V tom je problém...)

Na začiatok si povedzme všeobecne, ako a čo porovnávať.

Porovnanie zlomkov

Musíme teda porovnať dva zlomky: a.

Existuje niekoľko možností, ako to urobiť.

Možnosť 1. Priveďte zlomky k spoločnému menovateľovi.

Napíšme to ako obyčajný zlomok:

- (ako vidíte, znížil som aj o čitateľa a menovateľa).

Teraz musíme porovnať zlomky:

Teraz môžeme pokračovať v porovnávaní aj dvoma spôsobmi. Môžeme:

len zredukujte všetko na spoločného menovateľa, pričom oba zlomky predstavte ako nesprávne (čitateľ je väčší ako menovateľ):
Ktoré číslo je väčšie? Správne, ten, ktorého čitateľ je väčší, teda ten prvý.
„zahodiť“ (predpokladajme, že sme odpočítali jeden od každého zlomku a pomer zlomkov k sebe sa nezmenil) a zlomky porovnáme:
Prinášame ich aj spoločnému menovateľovi:
Dostali sme presne rovnaký výsledok ako v predchádzajúcom prípade – prvé číslo je väčšie ako druhé:
Skontrolujme aj to, či sme správne odčítali jeden? Vypočítajme rozdiel v čitateli v prvom a druhom výpočte:
1)
2)

Takže sme sa pozreli na to, ako porovnať zlomky a priviesť ich k spoločnému menovateľovi. Prejdime k inej metóde – porovnávaniu zlomkov ich privedením do spoločného ... čitateľa.

Možnosť 2. Porovnanie zlomkov redukciou na spoločného čitateľa.

Ale znamenie je rovnaké.

A. Ktorý zlomok je väčší? Presne tak, ten prvý.

Možnosť 3. Porovnávanie zlomkov pomocou odčítania.

V našom prípade skúsme odpočítať prvý zlomok od druhého: .

Ako ste už pochopili, preložíme aj do obyčajného zlomku a získame rovnaký výsledok -. Náš výraz sa stáva:

Viac sa mi páči druhá možnosť, pretože násobenie v čitateli pri redukovaní na spoločného menovateľa je mnohokrát jednoduchšie.

Prinášame spoločného menovateľa:

Mám to? Skúste porovnať zlomky:

Stop, stop. Neponáhľajte sa priviesť k spoločnému menovateľovi alebo odpočítať. Pozrite sa: dá sa ľahko previesť na desatinný zlomok. Koľko to bude? Správny. Čo nakoniec bude viac?

Toto je ďalšia možnosť - porovnávanie zlomkov zmenšením na desatinné miesto.

Možnosť 4. Porovnávanie zlomkov pomocou delenia.

Skúsme toto pravidlo aplikovať na obyčajné zlomky. Porovnaj:

Vydeľte prvý zlomok druhým:

Skracujeme po a po.

Výsledok je menší, takže dividenda je menšia ako deliteľ, to znamená:

Analyzovali sme všetky možné možnosti porovnávania zlomkov. Ako vidíte, je ich 5:

redukcia na spoločného menovateľa;
redukcia na spoločného čitateľa;
zmenšenie na tvar desatinného zlomku;
odčítanie;
divízie.

Pripravený na cvičenie? Porovnajte zlomky najlepším spôsobom:

Porovnajme odpovede:

(- previesť na desatinné číslo)
(rozdeľte jeden zlomok druhým a znížte o čitateľa a menovateľa)
(vyberte celú časť a porovnajte zlomky podľa princípu rovnakého čitateľa)
(rozdeľte jeden zlomok druhým a zredukujte čitateľom a menovateľom).

2. Porovnanie stupňov

Teraz si predstavte, že musíme porovnávať nielen čísla, ale aj výrazy, kde je stupeň ().

Samozrejme, môžete ľahko umiestniť znamenie:

Koniec koncov, ak nahradíme stupeň násobením, dostaneme:

Z tohto malého a primitívneho príkladu vyplýva pravidlo:

Teraz skúste porovnať nasledovné: . Môžete tiež ľahko umiestniť znak:

Pretože ak nahradíme umocňovanie násobením...

Vo všeobecnosti rozumiete všetkému a nie je to vôbec ťažké.

Ťažkosti vznikajú len vtedy, keď majú stupne pri porovnaní rôzne základy a ukazovatele. V tomto prípade je potrebné pokúsiť sa priviesť k spoločnému základu. Napríklad:

Samozrejme viete, že tento výraz má formu:

Otvorme zátvorky a porovnajme, čo sa stane:

Trochu zvláštny prípad je, keď základňa stupňa () je menšia ako jedna.

Ak teda o dva stupne alebo viac, ten, ktorého indikátor je menší.

Skúsme toto pravidlo dokázať. Nechať byť.

Zavedieme nejaké prirodzené číslo ako rozdiel medzi a.

Logické, nie?

Teraz venujme pozornosť podmienke - .

Respektíve: . Preto, .

Napríklad:

Ako ste pochopili, zvažovali sme prípad, keď sú základy síl rovnaké. Teraz sa pozrime, kedy je základňa v rozsahu od do, ale exponenty sú rovnaké. Všetko je tu veľmi jednoduché.

Pripomeňme si, ako to porovnať s príkladom:

Samozrejme, rýchlo ste vypočítali:

Poďme cvičiť. Porovnajte stupne:

Ste pripravení porovnať odpovede? Tu je to, čo som dostal:

- rovnake ako
- rovnake ako
- rovnake ako
- rovnake ako

3. Porovnanie čísel s odmocninou

Začnime tým, čo sú korene? Pamätáte si tento záznam?

Koreň reálneho čísla je číslo, pre ktoré platí rovnosť.

Korene pre záporné a kladné čísla existuje nepárny stupeň a dokonca aj korene- Len pozitívne.

Hodnota odmocniny je často nekonečná desatinná čiarka, čo sťažuje jej presný výpočet, preto je dôležité vedieť porovnať odmocniny.

Ak ste zabudli, čo to je a s čím sa to jedáva -. Ak si všetko pamätáte, naučme sa porovnávať korene krok za krokom.

Povedzme, že musíme porovnať:

Co viac? alebo? To, samozrejme, môžete bez problémov porovnávať. Čím väčšie číslo zvýšime na mocninu, tým väčšia bude hodnota.

Takže. Zoberme si pravidlo.

Ťažko zapamätateľné? Potom už len majte na pamäti príklad a. To viac?

Exponenty koreňov sú rovnaké, pretože koreň je štvorcový. Koreňový výraz jedného čísla () je väčší ako druhý (), čo znamená, že pravidlo je skutočne pravdivé.

Ale čo ak sú radikálne výrazy rovnaké, ale stupne koreňov sú odlišné? Napríklad: .

Je tiež celkom jasné, že pri extrakcii koreňa väčšieho stupňa sa získa menšie číslo. Vezmime si napríklad:

Označte hodnotu prvého koreňa ako a druhého - ako, potom:

Môžete ľahko vidieť, že v týchto rovniciach by malo byť viac, preto:

Skúste porovnať nasledujúce korene:

Porovnáme výsledky?

Že sme všetci v slovách a v slovách. Tu je príklad:

Pozeráme sa na ukazovatele koreňov - a. Ich najmenší spoločný násobok je .
Uveďme oba výrazy na mocninu:
Transformujme výraz a rozviňme zátvorky (podrobnejšie v kapitole):
Uvažujme, čo sme urobili, a dajme znamenie:

4. Porovnanie logaritmov

Aký je argument logaritmu a aký je jeho základ?
Čo určuje, či funkcia rastie alebo klesá?

Ak si všetko pamätáte a dobre ste sa to naučili - začnime!

Aby ste mohli navzájom porovnávať logaritmy, potrebujete poznať iba 3 triky:

redukcia na rovnaký základ;
vrhanie na rovnaký argument;
porovnanie s tretím číslom.

Najprv venujte pozornosť základu logaritmu. Pamätáte si, že ak je menej, funkcia sa znižuje a ak je väčšia, zvyšuje sa. Na tom sa budú zakladať naše úsudky.

Zvážte porovnanie logaritmov, ktoré už boli zredukované na rovnaký základ alebo argument.

Na začiatok si problém zjednodušíme: vpustite porovnávané logaritmy rovnaké dôvody. potom:

Funkcia, keď sa zvyšuje v intervale od, znamená podľa definície potom („priame porovnanie“).
Príklad:- základy sú rovnaké, porovnáme argumenty: , teda:
Funkcia at klesá v intervale od, čo podľa definície znamená potom („spätné porovnanie“). - základy sú rovnaké, porovnáme argumenty: , avšak znamienko logaritmov bude „obrátené“, pretože funkcia klesá: .

Teraz zvážte prípady, keď sú základy odlišné, ale argumenty sú rovnaké.

Základňa je väčšia.
- . V tomto prípade používame „obrátené porovnanie“. Napríklad: - argumenty sú rovnaké a. Porovnávame základy: znamienko logaritmov však bude „obrátené“:
Základ a je medzi tým.
- . V tomto prípade používame „priame porovnanie“. Napríklad:
- . V tomto prípade používame „obrátené porovnanie“. Napríklad:

Zapíšme si všetko vo všeobecnej tabuľkovej forme:

, kde	, kde