Istorija nastanka brojeva i brojnog sistema. Istorijski razvoj brojnih sistema

Drevni egipatski brojevni sistem

U staroegipatskom brojevnom sistemu, koji je nastao u drugoj polovini trećeg milenijuma pr. e., posebni brojevi su korišteni za označavanje brojeva 1, 0, 102, 103, 104, 105, 106, 107. Brojevi u egipatskom brojevnom sistemu pisani su kao kombinacije ovih brojeva, u kojima se svaki od njih ponavlja najviše devet puta.

Osnova staroegipatskog brojevnog sistema bio je jednostavan princip sabiranja, prema kojem je vrijednost broja jednaka zbroju vrijednosti cifara uključenih u njegovo snimanje. Naučnici drevni egipatski brojevni sistem pripisuju decimalnom nepozicionom.

Na ovoj slici su predstavljene različite verzije XBCTK prikaza egipatskog sistema.

Gif" width="14" height="15">.gif" width="17" height="18">.gif" width="14" height="15 src=">.gif" width="14 "visina="15 src=">. Broj 60 i svi njegovi stepeni ponovo su označeni znakom. Da bi se odredila vrijednost broja, podijeljen je na znamenke, s desna na lijevo (nova cifra je počinjala pojavom pravog klina nakon ležeg), a u svakoj novoj cifri broj je označavao broj 60 puta veći od u prethodnom.

Nakon toga, Babilonci su uveli poseban znak za označavanje seksagezimalne cifre koja nedostaje - https://pandia.ru/text/78/213/images/image007_27.jpg" width="324 height=123" height="123">

Tragovi vavilonskog sistema su preživjeli do danas: sat je podijeljen na 60 minuta, a minute na 60 sekundi;

Krug je podijeljen na 360 dijelova (stepena). Naučnici nazivaju vavilonski brojevni sistem seksagezimalnim. Ovo je prvi od svih poznatih sistema koji se delimično zasniva na pozicionom principu.

Rimski numerički sistem

Od svih drevnih sistema, opstao je do danas. Nije bitno drugačiji od egipatskog. Za označavanje brojeva 1, 5, 10, 50, 100, 500 i 100 koriste se velika slova latinice, redom: I, V, X, L, C, D i M.

Broj je označen skupom uzastopnih cifara. Vrijednost broja definira se kao zbir ili razlika cifara u broju. Ako je manji broj lijevo od većeg, onda se oduzima; ako je desno, onda se dodaje. .

Na primjer, broj1794 biće napisano ovako:MDCCXCIV.

Formiranje brojeva prema navedenim pravilima je prilično komplikovano i ne garantuje uvijek isti rezultat snimanja. Na primjer, daleko je od očiglednog koji je od sljedećih oblika pisanja broja 1998 u rimskom numeričkom sistemu ispravan: MCMXCVIII ili MXMVIII(Stvarno, koja je tačna?).

U starim danima u Rusiji, brojni sistemi su bili široko korišćeni, nejasno podsećajući na rimski. Uz njihovu pomoć, poreznici su popunjavali poreske priznanice i unosili u poresku bilježnicu. Na primjer, 1232 rublje 24 kopejke prikazano je na sljedeći način: Evo teksta zakona o ovim takozvanim znakovima yasak:

„Tako da na svakoj priznanici izdatoj plemenitom poglavaru, od koga će biti isplaćen yasak, pored izlaganja rečima, treba navesti i broj uplaćenih rubalja i kopejki posebnim znakovima kako bi oni koji daju jednostavan račun ovaj broj može biti siguran u pravednost svjedočenja. Znakovi koji se koriste u priznanici znače:

zvijezda - hiljadu rubalja;

točak - sto rubalja;

kvadrat - deset rubalja;

X - jedna rublja;

I I I I I I I I I I - desetkopecks;

Ja sam peni.

Kako bi ovdje bilo nemoguće napraviti bilo kakve dodatke, sve takve znakove treba ocrtati uokolo u ravnim linijama.

Abecedni sistemi

Napredniji nepozicioni sistemi bili su abecedni sistemi: slovenski, grčki, feničanski i drugi. U njima su brojevi od 1 do 9, cijeli brojevi desetica (od 10 do 90) i cijeli brojevi stotina (od 100 do 900) bili označeni slovima abecede.

Iznad slova koja označavaju brojeve postavljen je poseban znak "~" - naslov.

Zanimljivo je da su brojevi od 11 („jedan preko deset“) do 19 („devet preko deset“) pisani na isti način kako su se zvali, odnosno da je broj koji označava jedan pisan ispred broja koji označava deset. Neki nazivi slovenskih brojeva preživjeli su do danas, međutim, u nešto drugačijem značenju: - "tama", - "legija". Najveća od količina zvala se "paluba" (1050). Vjerovalo se da "ljudski um više nema šta da razumije".

Indijski multiplikativni sistem

Princip multiplikacije je sljedeći: neka su, na primjer, desetice označene simbolom X, a stotine simbolom Y. Tada će zapis broja 323 izgledati ovako: 3Y 2X 3. U takvim sistemima, napisati isti broj jedinice, desetice, stotine ili hiljade, koriste se isti znakovi, ali iza svakog znaka ispisuje se znak koji označava naziv pražnjenja.

duodecimalni brojni sistem

Duodecimalni brojevni sistem bio je prilično raširen. Njegovo porijeklo povezuje se i s brojanjem na prste. Falange preostala četiri prsta razmatrane su palcem ruke: ukupno ih ima 12. Elementi duodecimalnog brojevnog sistema sačuvani su u Engleskoj u sistemu mjera (1 stopa = 12 inča) i u monetarnom sistemu ( 1 šiling = 12 penija). Brojevi na engleskom od jedan do dvanaest imaju svoje ime, sljedeći brojevi su složeni.

Pojava nule

Sada je to već teško zamisliti, ali ljudi su više od jednog milenijuma išli na pronalazak ove nama tako poznate figure. Tek s pronalaskom multiplikativnih sistema, postavilo se pitanje potrebe za simbolom koji bi označio količinu koja nedostaje. Prototip nule je, očigledno, bio znak Ο, koji su uveli grčki naučnici (prema prvom slovu grčke reči Ουδεν - ništa).

Nakon proučavanja ove teme naučit ćete i ponoviti:

Koji sistemi brojeva postoje;
Kako se brojevi prevode iz jednog brojevnog sistema u drugi?
Sa kojim sistemima brojeva radi računar?
- kako su različiti brojevi predstavljeni u memoriji računara.

Od davnina ljudi su se suočavali s problemom označavanja (kodiranja) numeričkih informacija.

Mala djeca pokazuju svoje godine na prstima. Pilot je oborio avion, nacrtali su mu zvjezdicu, Robinson Crusoe je dane smatrao zarezima.

Broj je označavao neke stvarne objekte čija su svojstva bila ista. Kada nešto prebrojimo ili preračunamo, mi na neki način depersonalizujemo objekte, tj. Pretpostavljamo da su njihova svojstva ista. Ali najvažnije svojstvo broja je prisustvo objekta, tj. jedinica i njeno odsustvo, tj. nula.

Šta je broj?

Ovo je abeceda brojeva, skup simbola kojima kodiramo brojeve. Brojevi su numerička abeceda.

Brojevi i brojevi su različite stvari! Razmotrimo dva broja 5 2 i 2 5. Brojevi su isti - 5 i 2.

Po čemu se ovi brojevi razlikuju?

Redoslijed brojeva? - Da! Ali bolje je reći - pozicija cifre u broju.

Hajde da razmislimo, šta je sistem brojeva?

Je li to unos broja? Da! Ali ne možemo pisati kako hoćemo – drugi ljudi nas moraju razumjeti. Stoga je također potrebno koristiti određena pravila za njihovo evidentiranje.

Koncept brojevnog sistema

Brojevi se koriste za snimanje informacija o broju objekata. Brojevi se pišu pomoću posebnih znakovnih sistema koji se nazivaju sistemi brojeva. Abeceda brojevnih sistema sastoji se od simbola koji se nazivaju brojevi. Na primjer, u decimalnom brojevnom sistemu, brojevi se pišu pomoću deset dobro poznatih cifara: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Brojevni sistem je sistem znakova u kojem se brojevi pišu prema određenim pravilima pomoću simbola određene abecede, koji se nazivaju brojevi.

Svi sistemi brojeva su podijeljeni na dva velike grupe: pozicione i nepozicione sistemi brojeva. U pozicionim brojevnim sistemima vrednost cifre zavisi od njenog položaja u broju, au nepozicionim ne.

Nepozicioni brojevni sistemi su nastali pre pozicionih, pa ćemo prvo razmotriti različite nepozicione sisteme brojeva.

Nepozicioni sistemi brojeva

Nepozicioni brojevni sistem je brojni sistem u kojem kvantitativni ekvivalent („težina“) cifre ne zavisi od njene lokacije u unosu broja.

Nepozicioni sistemi uključuju: rimski numerički sistem, alfabetski brojčani sistem i druge.

U početku su ljudi jednostavno razlikovali JEDAN objekt ispred sebe ili ne. Ako subjekt nije bio jedan, onda su rekli "MNOGO".

Prvi koncepti matematike bili su "manje", "više", "isto".

Ako je jedno pleme zamijenilo ulovljenu ribu za kamene noževe koje su napravili ljudi drugog plemena, nije bilo potrebno računati koliko su ribe donijeli, a koliko noževa. Bilo je dovoljno staviti nož pored svake ribe da bi se odvijala razmjena između plemena.

Račun se pojavio kada je neko trebalo da obavijesti svoje suplemenike o broju stvari koje je pronašao.

A pošto mnogi narodi u antici nisu međusobno komunicirali, onda različitih naroda nastali su različiti sistemi brojeva i predstavljanja brojeva i cifara.

Brojevi u mnogim jezicima ukazuju na to da je primitivni čovjek uglavnom imao prste kao alat za brojanje.

Prsti su se pokazali kao odlična mašina za računanje. Uz njihovu pomoć, mogli ste izbrojati do 5, a ako uzmete dvije ruke, onda i do 10. U davna vremena ljudi su hodali bosi. Stoga su za brojanje mogli koristiti i prste na rukama i nogama. U Polineziji još uvijek postoje plemena koja koriste 20. sistem brojeva.

Međutim, poznati su narodi čije jedinice za brojanje nisu bili prsti, već njihovi zglobovi.

Duodecimalni brojevni sistem bio je prilično raširen. Njegovo porijeklo povezuje se s brojanjem na prste. Falange preostala četiri prsta razmatrane su palcem ruke: ima ih ukupno 12.

Elementi duodecimalnog sistema brojeva sačuvani su u Engleskoj u sistemu mjera (1 stopa = 12 inča) i u monetarnom sistemu (1 šiling = 12 penija). Često u svakodnevnom životu nailazimo na duodecimalni sistem brojeva: setovi za čaj i večeru za 12 osoba, set maramica - 12 komada.

Brojevi na engleskom od jedan do dvanaest imaju svoje ime, sljedeći brojevi su složeni:

Za brojeve od 13 do 19, završetak riječi je tinejdžer. Na primjer, 15 je petnaest.

Brojanje prstiju se ponegdje očuvalo do danas. Na primjer, na najvećoj svjetskoj berzi žitarica u Čikagu ponude i zahtjeve, kao i cijene, brokeri objavljuju na prste bez ijedne riječi.

Bilo je teško zapamtiti velike brojeve, pa su se u „mašinu za brojanje“ ruku i nogu počeli dodavati razni uređaji. Postojala je potreba za evidentiranjem brojeva.

Broj predmeta se prikazivao crtanjem crtica ili serifa na nekoj čvrstoj površini: kamen, glina...

Jednostruki ("štap") sistem brojeva

Potreba za bilježenjem brojeva pojavila se u vrlo davna vremena, čim su ljudi počeli brojati. Broj predmeta se prikazivao crtanjem crtica ili serifa na nekoj čvrstoj površini: kamenu, glini, drvetu (prije pronalaska papira, to je još bilo jako, jako daleko). Svaki objekt u takvom zapisu odgovarao je jednoj crtici. Arheolozi su pronašli takve "zapise" tokom iskopavanja kulturnih slojeva koji pripadaju periodu paleolita (10 - 11 hiljada godina pne).

Naučnici su ovaj način pisanja brojeva nazvali jedinični („štap“) brojevni sistem. U njemu se za pisanje brojeva koristila samo jedna vrsta znaka - "štap". Svaki broj u takvom brojevnom sistemu označen je nizom sastavljenim od štapića, čiji je broj bio jednak označenom broju. Peruanci su koristili raznobojne konopce sa zavezanim čvorovima za pamćenje brojeva. zanimljiv način za pisanje brojeva koristile su indijske civilizacije oko 8. veka pre nove ere. Koristili su "pisanje čvorova" - međusobno povezane niti. Znakovi na tim nitima bili su čvorovi, često sa utkanim kamenjem ili školjkama. Nodularna notacija brojeva omogućila je Inkama da prenesu informacije o broju ratnika, naznače broj umrlih ili rođenih u određenoj provinciji, itd.

Oko 1100. godine nove ere e. engleski kralj Henri I je izmislio jedan od najneobičnijih monetarnih sistema u istoriji, nazvan sistem "mernih šina". Ovaj monetarni sistem je trajao 726 godina i ukinut je 1826.

Uglačana drvena letva sa urezima koji označavaju apoen je rascjepljena cijelom dužinom kako bi se zarezi sačuvali.

Nepogodnosti ovakvog sistema pisanja brojeva i ograničenja njegove primjene su očigledne: što je veći broj koji treba napisati, duži je niz štapića. Da, čak i prilikom snimanja. veliki broj lako je pogriješiti primjenom dodatnog broja štapića ili, obrnuto, ne dodavanjem.

Drevni egipatski decimalni brojevni sistem (2,5 hiljade godina p.n.e.)

Otprilike u trećem milenijumu pre nove ere, stari Egipćani su smislili sopstveni brojevni sistem u kome su označavali ključne brojeve 1, 10, 100, itd. koriste posebne ikone - hijeroglife.

Svi ostali brojevi su sastavljeni od ovih ključnih brojeva pomoću operacije sabiranja. Notacija drevni egipat je decimalni, ali nepozicioni i aditivni.

Cifre broja su zabilježene počevši od velikih vrijednosti i završavajući s manjim. Ako nije bilo desetica, jedinica ili neke druge cifre, onda se prelazi na sljedeću cifru.

Pokušajte da dodate ova dva broja, znajući da se ne može koristiti više od 9 identičnih znakova i odmah ćete shvatiti da je potrebna posebna osoba za rad sa ovim sistemom. Za običnog čoveka ovo nije izvodljivo.

Rimski decimalni sistem brojeva (2 hiljade godina pre nove ere do danas)

Najčešći od nepozicionih brojevnih sistema je rimski sistem.

Glavni problem sa rimskim brojevima je taj što je teško raditi množenje i dijeljenje. Još jedan nedostatak rimskog sistema je: Pisanje velikih brojeva zahtijeva uvođenje novih znakova. A razlomci se mogu napisati samo kao omjer dva broja. Međutim, oni su bili glavni sve do kraja srednjeg vijeka. Ali oni su i danas u upotrebi.

Sjećaš se gdje?

Vrijednost cifre ne zavisi od njenog položaja u broju.

Na primjer, u broju XXX (30) broj X se pojavljuje tri puta i u svakom slučaju označava istu vrijednost - broj 10, tri broja od 10 ukupno daju 30.

Vrijednost broja u rimskom numeričkom sistemu definira se kao zbir ili razlika cifara u broju. Ako je manji broj lijevo od većeg, onda se oduzima; ako je desno, dodaje se.

Zapamtite: 5, 50, 500 se ne ponavljaju!

Šta se može ponoviti?

Ako je najniža znamenka lijevo od najviše znamenke, onda se oduzima. Ako je najniža cifra desno od najviše, onda se dodaje - I, X, C, M se mogu ponoviti do 3 puta.

Na primjer:

1) MMIV = 1000+1000+5-1 = 2004

2) 149 = (Sto - C, četrdeset - XL i devet - IX) = CXLIX

Na primjer, zapisivanje decimalnog broja 1998 u rimskom numeričkom sistemu izgledalo bi ovako: MSMHSVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) + 5 + 1 + 1 + 1.

Abecedni sistemi brojeva
Slavenska ćirilica decimalna abeceda

Ovu numeraciju su zajedno sa slovenskim alfabetskim sistemom za prevod svetih biblijskih knjiga za Slovene stvorili grčki monasi braća Ćirilo i Metodije u 9. veku. Ovaj oblik pisanja brojeva bio je široko korišten zbog činjenice da je imao potpunu sličnost s grčkom notacijom brojeva. Sve do 17. vijeka ovaj oblik pisanja brojeva bio je zvaničan na teritoriji moderna Rusija, Bjelorusija, Ukrajina, Bugarska, Mađarska, Srbija i Hrvatska. Do sada, pravoslavne crkvene knjige koriste ovu numeraciju.

Brojevi su se zapisivali od brojeva na isti način s lijeva na desno, od najvećeg prema najmanjem. Brojevi od 11 do 19 su zapisani kao dvije cifre, s tim da je jedna stajala prije deset:

Čitamo doslovno "četrnaest" - "četiri i deset". Kako čujemo, tako i pišemo: ne 10 + 4, nego 4 + 10, - četiri i deset. Brojevi od 21 i više su pisani obrnuto, prvo su pisali znak pune desetice.

Zapis brojeva koji koriste Sloveni je aditivni, odnosno koristi se samo sabiranje:

= 800+60+3

Kako ne bi došlo do brkanja slova i brojeva, korišteni su naslovi - vodoravne linije iznad brojeva, koje vidimo na slici.

Za označavanje brojeva većih od 900 korištene su posebne ikone koje su bile nacrtane na slovo. Ovako su nastali brojevi:

Slovensko numerisanje je postojalo do kraja 17. veka, sve dok reformama Petra I u Rusiju nije došao pozicioni decimalni brojevni sistem iz Evrope.

drevni indijski sistemi brojeva

Kharošti brojevni sistem je bio u upotrebi u Indiji između 6. veka pre nove ere i 3. veka nove ere. Ovo je bio nepozicioni aditivni brojevni sistem. O njoj se malo zna, jer je sačuvano malo pisanih dokumenata tog doba. Kharoshti sistem je zanimljiv po tome što je broj četiri izabran kao međufaza između jedan i deset. Brojevi su ispisani s desna na lijevo.

Uz ovaj sistem, postojao je još jedan sistem brojeva Brahmi u Indiji.

Brahmi brojevi su ispisani s lijeva na desno. Međutim, oba sistema su imala mnogo toga zajedničkog. Konkretno, prve tri cifre su vrlo slične. Uobičajeno je bilo da se do stotke koristila aditivna metoda, a poslije multiplikativne. Važna razlika između Brahmi brojeva bila je u tome što su brojevi od 4 do 90 bili predstavljeni samo jednim znakom. Ova karakteristika Brahmi brojeva kasnije je korištena za stvaranje pozicijskog decimalnog sistema u Indiji.

IN drevna Indija kao i verbalni sistem brojeva. Bilo je multiplikativno, poziciono. Znak nule se izgovarao kao "prazno" ili "nebo" ili "rupa". Jedan kao "mjesec" ili "zemlja". Dva kao "blizanci" ili "oči" ili "nozdrve" ili "usne". Četiri kao "okeani", "strane svijeta". Na primjer, broj 2441 se izgovarao ovako: oči okeana u kardinalnom smjeru mjeseca.

Nedostaci nepozicionih brojevnih sistema:

1. Postoji stalna potreba za uvođenjem novih znakova za pisanje velikih brojeva.

2. Nemoguće je predstaviti razlomke i negativne brojeve.

3. Teško je izvoditi aritmetičke operacije, jer ne postoje algoritmi za njihovu implementaciju. Konkretno, svi narodi, zajedno sa brojevnim sistemima, imali su metode brojanja prstiju, a Grci su imali tablu za brojanje sa abakusom - nešto poput naših računa.

Sve do kraja srednjeg veka nije postojao univerzalni sistem za beleženje brojeva. Tek razvojem matematike, fizike, tehnologije, trgovine i finansijskog sistema pojavila se potreba za jedinstvenim univerzalnim brojevnim sistemom, iako i sada mnoga plemena, nacije i narodnosti koriste druge sisteme brojeva.

Ali mi i dalje koristimo elemente nepozicionog brojevnog sistema u svakodnevnom govoru, posebno kažemo sto, a ne deset desetica, hiljadu, milion, milijardu, trilion.

Pozicioni sistemi brojeva

Pozicioni brojevni sistem je brojevni sistem u kojem kvantitativni ekvivalent (“težina”) cifre zavisi od njene lokacije u unosu broja.

Svaki pozicioni brojevni sistem karakteriše njegova baza.

Osnova pozicionog brojevnog sistema - broj različitih cifara koji se koriste za predstavljanje brojeva u datom brojevnom sistemu.

Bilo koji prirodni broj - dva, tri, četiri, ... može se uzeti kao osnova, formirajući novi pozicioni sistem: binarni, ternarni, kvaternarni, itd.

Babilonski decimalni / seksagezimalni

U starom Babilonu, oko 2. milenijuma pre nove ere, postojao je takav sistem brojeva - brojevi manji od 60 označavani su pomoću dva znaka: za jedan i za deset. Imali su klinast izgled, kako su Babilonci pisali na glinenim pločama sa trouglastim štapićima. Ovi znakovi su se, na primjer, ponavljali potreban broj puta

Smatra se da su Sumerani imali decimalni sistem, a nakon što su ih pokorili Semiti, njihov sistem je prilagođen seksagezimskom sistemu Semita.

Šeksagezimalni razlomci nisu bili široko korišteni izvan asirsko-babilonskog kraljevstva, ali se seksagezimalni razlomci još uvijek koriste u mjerenju vremena. Na primjer, jedan minut = 60 sekundi, jedan sat = 60 minuta.

drevna kineska decimala

Ovaj sistem je jedan od najstarijih i najprogresivnijih, jer sadrži iste principe kao i savremeni „arapski“ sistem koji mi koristimo. Ovaj sistem je nastao prije oko 4.000 hiljada godina u Kini.

Brojevi u ovom sistemu, baš kao i našem, pisani su s leva na desno, od najvećeg do najmanjeg. Ako nije bilo desetica, jedinica ili neke druge cifre, onda u početku nisu ništa stavljali i prešli na sljedeću cifru. (Za vrijeme dinastije Ming uveden je znak za prazno pražnjenje - krug - analog naše nule). Kako ne bi došlo do zabune cifara, korišteno je nekoliko pomoćnih hijeroglifa, ispisanih iza glavnog hijeroglifa, koji pokazuju koje značenje ima broj hijeroglifa u ovoj cifri.

Ovo je multiplikativna notacija jer koristi množenje. Ona je decimalna, ima predznak nule, osim toga je poziciona. One. gotovo odgovara "arapskom" brojevnom sistemu.

Sistem brojeva Maja sa bazom 20 ili dugo brojanje

Ovaj sistem je veoma interesantan jer nijedna civilizacija Evrope i Azije nije uticala na njegov razvoj. Ovaj sistem je korišćen za kalendarska i astronomska posmatranja. Njegova karakteristična karakteristika je prisustvo nule (slika školjke). Osnova ovog sistema bio je broj 20, iako su tragovi petostrukog sistema snažno vidljivi. Prvih 19 brojeva dobijeno je kombinovanjem tačaka (jedan) i crtica (pet).

Broj 20 bio je predstavljen sa dvije cifre, nulom i jedan na vrhu i zvao se uinalu. Brojevi su napisani u stupcu, najmanje cifre su se nalazile na dnu, najveće na vrhu, kao rezultat toga, dobiveno je "šta ne" s policama. Ako se broj nula pojavio bez jedinice na vrhu, onda je to značilo da nema jedinica ove kategorije. Ali, ako je barem jedna jedinica bila u ovoj kategoriji, onda je znak nule nestao, na primjer, broj 21, bit će. Takođe u našem sistemu brojeva: 10 - sa nulom, 11 - bez nje. Evo nekoliko primjera brojeva:

Postoji izuzetak u sistemu brojanja vigesimala drevnih Maja: vrijedi dodati samo jednu jedinicu prvog reda broju 359, jer ovaj izuzetak odmah stupa na snagu. Njegova suština se svodi na sljedeće: 360 je početni broj trećeg reda i njegovo mjesto više nije na drugoj, već na trećoj polici.

Ali onda se ispostavi da je početni broj trećeg reda veći od početnog broja drugog ne dvadeset puta (20x20=400, a ne 360!), već samo osamnaest! Dakle, prekršen je princip dvadesetorice! U redu. Ovo je izuzetak.

Činjenica je da se među Indijancima Maja formiralo 20 srodnih dana u mjesecu ili uinalu. 18 uinalnih mjeseci formiraju godinu ili tun (360 dana u godini) i tako dalje:

K "za \u003d 1 dan. Vinal \u003d 20 k" za \u003d 20 dana. Tun = 18 Vinala = 360 dana = oko 1 godina. K "atun = 20 tun = 7200 dana = oko 20 godina. Bak" tun = 20 k "atun = 144000 dana = oko 400 godina. Pictun = 20 bak" tun = 2880000 dana = oko 8000 godina. Qalabtun = 20 pictuna = 57.600.000 dana = oko 160.000 godina. K "inchiltun \u003d 20 kalabtun \u003d 1152000000 dana \u003d oko 3200000 godina. Alavtun \u003d 20 k" inchiltun \u003d 23040000000 dana \u003d oko 040 godina \u003.

Ovo je prilično složen brojevni sistem, koji uglavnom koriste svećenici za astronomska posmatranja, drugi indijski sistem Maja bio je aditivni, sličan egipatskom i koristio se u svakodnevnom životu.

Istorija "arapskih" brojeva.

Istorija naših poznatih "arapskih" brojeva je veoma zbunjujuća. Nemoguće je tačno i pouzdano reći kako su se dogodile. Evo jedne verzije ove priče o ovom poreklu. Jedno se pouzdano zna, da zahvaljujući drevnim astronomima, odnosno njihovim tačnim proračunima, imamo svoje brojeve.

Kao što već znamo, u vavilonskom brojevnom sistemu postoji znak za označavanje cifara koje nedostaju. Oko 2. veka p.n.e. Grčki astronomi (na primjer, Klaudije Ptolomej) upoznali su se sa astronomskim zapažanjima Babilonaca. Oni su usvojili svoj pozicioni brojevni sistem, ali su cele brojeve pisali ne uz pomoć klinova, već sopstvenim alfabetskim numerisanjem, već razlomke u vavilonskom šesterozbrojnom sistemu. Ali da bi označili nultu vrijednost pražnjenja, grčki astronomi počeli su koristiti simbol "0" (prvo slovo grčke riječi Ouden - ništa).

Između 2. i 6. veka nove ere Indijski astronomi su se upoznali sa grčkom astronomijom. Oni su usvojili seksagezimalni sistem i okruglu grčku nulu. Indijanci su kombinovali principe grčkog numerisanja sa decimalnim multiplikativnim sistemom preuzetim iz Kine. Također su počeli označavati brojeve jednim znakom, kao što je bilo uobičajeno u drevnoj indijskoj brahmi numeraciji. Ovo je bio posljednji korak u stvaranju pozicionog decimalnog brojevnog sistema.

Briljantan rad indijskih matematičara prihvatili su arapski matematičari i u 9. vijeku Al-Khwarizmi je napisao knjigu "Indijanska umjetnost računovodstva", u kojoj opisuje decimalni pozicioni brojevni sistem. Jednostavna i zgodna pravila za sabiranje i oduzimanje proizvoljno velikih brojeva zapisanih u pozicionom sistemu učinila su ga posebno popularnim među evropskim trgovcima.

U XII veku. Huan od Sevilje je preveo indijsku umjetnost brojanja na latinski, a indijski sistem brojanja se proširio širom Evrope. I pošto je djelo Al-Khwarizmija napisano arapski, tada je indijskoj numeraciji u Evropi dodijeljeno pogrešno ime - "arapski". Ali sami Arapi brojeve nazivaju indijskim, a aritmetiku zasnovanu na decimalnom sistemu - indijskim računom.

Oblik "arapskih" brojeva se tokom vremena uvelike promijenio. Oblik u kojem ih pišemo uspostavljen je u 16. vijeku.

Čak je i Puškin predložio svoju verziju oblika arapskih brojeva. Odlučio je da svih deset arapskih brojeva, uključujući nulu, stane u magični kvadrat.

Dekadni pozicioni brojevni sistem

Indijski naučnici napravili su jedno od najvažnijih otkrića u matematici - izmislili su pozicijski brojevni sistem, koji sada koristi cijeli svijet. Al-Khwarizmi je detaljno opisao indijsku aritmetiku u svojoj knjizi.

Mohammed bin Musa al-Khorezm

Otprilike 850. godine nove ere. napisao je knjigu o opšta pravila rješavanje aritmetičkih zadataka pomoću jednačina. Zvao se "Kitab al-Jabr". Ova knjiga je dala ime nauci algebre.

Tri stotine godina kasnije (1120. godine) ova knjiga je prevedena na latinski jezik i postala je prvi udžbenik "indijske" aritmetike za sve evropske gradove.

Nulta istorija.

Nula je drugačija. Prvo, nula je cifra koja se koristi da označi prazan bit; drugo, nula je neobičan broj, jer je nemoguće podijeliti sa nulom i kada se pomnoži sa nulom, bilo koji broj postaje nula; treće, nula je potrebna za oduzimanje i sabiranje, inače, koliko će biti ako se 5 oduzme od 5?

Nula se prvi put pojavila u drevnom babilonskom brojevnom sistemu, koristila se za označavanje cifara koje nedostaju u brojevima, ali brojevi kao što su 1 i 60 su napisani na isti način, jer nisu stavljali nulu na kraj broja. U njihovom sistemu, nula je služila kao razmak u tekstu.

Veliki grčki astronom Ptolomej može se smatrati izumiteljem oblika nule, jer je u njegovim tekstovima znak prostora zamijenjen grčkim slovom omikron, koje vrlo podsjeća na moderni znak nule. Ali Ptolomej koristi nulu u istom smislu kao i Babilonci. Na zidnom natpisu u Indiji u 9. veku nove ere. prvi put kada se nulti znak pojavi na kraju broja. Ovo je prva općeprihvaćena notacija za moderni znak nule. Indijski matematičari su izmislili nulu u sva tri smisla. Na primjer, indijski matematičar Brahmagupta još u 7. vijeku nove ere. aktivno počeo koristiti negativne brojeve i operacije s nulom. Ali on je tvrdio da je broj podijeljen sa nulom nula, što je svakako greška, ali prava matematička drskost, koja je dovela do još jednog izvanrednog otkrića indijskih matematičara. A u XII veku, drugi indijski matematičar Bhaskara ponovo pokušava da shvati šta će se dogoditi kada se podeli sa nulom. On piše: "Količina podijeljena sa nulom postaje razlomak čiji je imenilac nula. Ovaj razlomak se naziva beskonačnost."

Leonardo Fibonači, u svom Liber abaci (1202), naziva znak 0 na arapskom zefir. Riječ zephirum je arapska riječ as-sifr, koja dolazi od indijske riječi sunya, odnosno prazan, što je bilo ime nule. Od riječi zephirum nastala je francuska riječ zero (nula) i italijanska riječ nula. S druge strane, od arapske je nastala riječ as-sifr Ruska reč broj. Sve do sredine 17. vijeka ova riječ se koristila posebno za označavanje nule. Latinska riječ nullus (nema) ušla je u upotrebu za nulu u 16. vijeku.

Zero je jedinstven lik. Nula je čisto apstraktan koncept, jedno od najvećih dostignuća čovjeka. Ne postoji u prirodi oko nas. Možete sigurno bez nule u mentalnom brojanju, ali je nemoguće bez preciznog snimanja brojeva. Osim toga, nula je u suprotnosti sa svim ostalim brojevima i simbolizira beskrajni svijet. A ako je „sve broj“, onda ništa nije sve!

Baze koje se trenutno koriste:

10 - uobičajeni decimalni sistem brojeva (deset prstiju na rukama). Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

60 - izmišljen u starom Babilonu: podjela sata na 60 minuta, minuta na 60 sekundi, ugao na 360 stepeni.

12 - distribuiraju Anglosaksonci: ima 12 mjeseci u godini, dva perioda od 12 sati u danu, 12 inča u stopalu

7 - koristi se za brojanje dana u sedmici

Ovo je način predstavljanja brojeva i odgovarajućih pravila za rad s brojevima.

Različiti brojevni sistemi koji su postojali ranije i koji se koriste u našem vremenu mogu se podijeliti na nepozicione i pozicione.

Nepozicioni sistemi antike

Proučavanje "bilješki" iz doba paleolita od strane arheologa na kosti, kamenu, drvetu pokazalo je da su ljudi pokušavali grupirati oznake u 3, 5, 7, 10 komada. Ovo grupiranje je olakšalo brojanje. Ljudi su naučili da broje ne samo po jedinicama, već i po trojkama, peticama itd. Od prvog računarski alat osoba je imala prste, pa se obračun najčešće vršio u grupama od 5 ili 10 predmeta.

U budućnosti je svoje ime dobilo deset desetica (sto), deset stotina (hiljadu) itd. Radi lakšeg označavanja, takvi čvorni brojevi počeli su se označavati posebnim ikonama - brojevima. Ako je prilikom brojanja objekata bilo 2 stotine, 5 desetica i još 4 objekta, tada se prilikom pisanja ove vrijednosti znak stotine ponavlja dva puta, desetice pet puta, a znak jedinice četiri puta.

U takvim brojevnim sistemima, vrednost koju on označava ne zavisi od položaja znaka u zapisu broja; stoga se nazivaju nepozicionim brojevnim sistemima.

Nepozicione sisteme koristili su stari Egipćani, Grci, Rimljani i neki drugi narodi antike.

Majanske figure

Pozicioni decimalni brojevni sistem vam je poznat od ranog djetinjstva, ali možda niste znali da se tako zove.

Lako je razumjeti šta znači svojstvo položaja brojevnog sistema na primjeru bilo kojeg višecifrenog decimalnog broja. Na primjer, u broju 333 prva tri znači tri stotine, druga - tri desetice, treća - tri jedinice. Ista cifra, u zavisnosti od pozicije u zapisu broja, znači različite vrednosti.

333 = 3 100 + 3 10 + 3.

Drugi primjer:

32 478 = 3 10 000 + 2 1000 + 4 100 + 7 10 + 8 = 3 10 4 + 2 10 3 + 4 10 2 + 7 10 1 + 8 10 0 .

Ovo pokazuje da se bilo koji decimalni broj može predstaviti kao zbir proizvoda njegovih sastavnih cifara odgovarajućim potencijama desetice. Isto vrijedi i za decimale.

26.387 \u003d 2 10 1 + 6 10 0 + 3 10 -1 + 8 10 -2 + 7 10 -3.

Očigledno, broj "deset" nije jedina moguća osnova za pozicioni sistem. Čuveni ruski matematičar N. N. Luzin je to ovako rekao: „Prednosti decimalnog sistema nisu matematičke, već zoološke. Da nemamo deset prstiju na rukama, već osam, onda bi čovječanstvo koristilo osmostruki sistem.

Za osnovu pozicionog brojevnog sistema može se uzeti bilo koji prirodni broj veći od 1. Gore pomenuti vavilonski sistem imao je bazu od 60. Tragovi ovog sistema su preživjeli do danas po redosljedu jedinica vremena (1 sat = 60 minuta, 1 minuta = 60 sekundi).

Da biste pisali brojeve u pozicionom sistemu sa osnovom n, morate imati abecedu od n cifara. Obično za ovo, za n < 10 koristi prvih n arapskih brojeva, a za n > 10 slova se dodaje na deset arapskih brojeva.

Evo primjera alfabeta iz nekoliko sistema:

Baza sistema kojoj pripada broj obično je označena indeksom na taj broj:

101101 2 , 3671 8 , 3B8F 16 .

I kako se niz prirodnih brojeva gradi u različitim pozicionim brojevnim sistemima? To se dešava po istom principu kao i u decimalnom sistemu. Prvo dolaze jednocifrene cifre, zatim dvocifrene, pa trocifrene i tako dalje. e. Najveći jednocifreni broj u decimalnom sistemu je 9. Zatim slijede dvocifreni brojevi - 10, 11.12, ... Najveći dvocifreni broj je 99, zatim 100, 101, 102 itd. 999, zatim 1000, itd. d.

Na primjer, razmotrite kvinarni sistem. U njemu niz prirodnih brojeva izgleda ovako:

1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 23, 24, 30, 31, 32, 33, 34, 40, 41, 42, 43, 44, 100, 101, …, 444, 1000, ... .

Vidi se da se ovdje broj cifara "povećava" brže nego u decimalnom sistemu. Najbrže rastući broj cifara u binarnom sistemu. Sljedeća tabela uspoređuje početke prirodnog niza decimalnih i binarnih brojeva:

10	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
2	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011

Ukratko o glavnom

Brojevni sistem je određeni način pisanja brojeva i odgovarajućih pravila za rad s brojevima.

Sistemi brojeva su pozicioni i nepozicioni. Primjer nepozicionog sistema je rimska notacija brojeva.

U pozicionom brojevnom sistemu, kvantitativna vrijednost svake cifre zavisi od položaja cifre u broju.

Abeceda brojevnog sistema je skup cifara koji se u njemu koriste. Osnova brojevnog sistema jednaka je stepenu abecede (broj cifara).

Najmanja moguća baza pozicionog brojevnog sistema je 2. Takav sistem se naziva binarni.

Arapski sistem pisanja brojeva je decimalni, pozicioni.

Pitanja i zadaci

1. Šta je sistem brojeva?
2. Koja je glavna razlika između pozicionih i nepozicionih brojevnih sistema?
3. Šta je osnova brojevnog sistema?
4. Zašto se arapski brojevni sistem naziva decimalnim pozicionim?
5. Koja je najmanja osnova za pozicioni sistem?
6. Koji su sljedeći brojevi zapisani rimskim brojevima u decimalnim zapisima:
XI; IX; LX; CLX; MDCXLVIII?
7. Zapišite rimskim brojevima brojeve jednake sljedećim decimalama:
13; 99; 666; 444; 1692.
8. Zapišite niz od dvadeset prirodnih brojeva, počevši od jednog, za pozicione sisteme sa bazama 2, 3, 5, 8. Rezultate rasporedite u obliku tabele:

n = 10	1	2	3	...	19	20
n=2
n=3
n=5
n=8

9. Napravite tablice množenja za jednocifrene brojeve u binarnim i ternarnim sistemima brojeva.

I. Semakin, L. Zalogova, S. Rusakov, L. Shestakova, Informatika, 9. razred
Dostavili čitaoci sa internet stranica

Zbirka sažetaka nastave informatike, nastavni plan i program za 9. razred informatike, materijali za pripremu za nastavu, gotovi domaći zadaci

Sadržaj lekcije sažetak lekcije podrška okvir prezentacije lekcije akcelerativne metode interaktivne tehnologije Vježbajte zadaci i vježbe samoispitivanje radionice, treninzi, slučajevi, potrage domaća zadaća diskusija pitanja retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video i multimedija fotografije, slike grafike, tabele, šeme humor, anegdote, vicevi, strip parabole, izreke, ukrštene reči, citati Dodaci sažetakačlanci čipovi za radoznale cheat sheets udžbenici osnovni i dodatni glosar pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i lekcijaispravljanje grešaka u udžbeniku ažuriranje fragmenta u udžbeniku elementi inovacije u lekciji zamjenom zastarjelih znanja novim Samo za nastavnike savršene lekcije kalendarski plan za godinu metodološke preporuke programa diskusije Integrisane lekcije

Ako imate ispravke ili prijedloge za ovu lekciju,

Istorija bilježenja brojeva i brojevnih sistema traje od pojave brojanja među ljudima. Ljudi su prikazali broj razne predmete sa serifima ili crticama. Nanosile su se na površine koje su u to vrijeme služile kao “papir”: glinene ploče, kora drveta ili kamenje. Prve podatke o takvim zapisima arheolozi pripisuju periodu paleolita, odnosno 10-11. milenijumu prije Krista.

Ovaj način pisanja naziva se sistem brojeva jedinica. Svi brojevi su označeni linijom crtica (ili bilo kojim drugim znakovima, na primjer, tačkama): što je više znakova u redu, to je broj veći. Ovaj sistem brojanja nije bio zgodan, jer se kod velikih brojeva lako moglo pogrešiti u broju štapića. Svaki put su morali biti preračunati.

Da bi se pojednostavilo brojanje, objekti su počeli da se kombinuju u male grupe od 3, 5 i 10 jedinica. Istovremeno, svaka grupa je imala svoj znak-oznaku na pismu. Budući da je najpogodniji račun oduvijek bio račun na prstima, prve su označene kombinacije objekata od 10 i 5 jedinica. To je ono što je postavilo temelje za pogodan brojevni sistem.

Sistem koji su koristili stari Grci zvao se atički. Prva četiri broja ispisana su crticama. Za broj pet postojao je znak - "pi", a za broj deset - prvo slovo riječi "deka". Sto, hiljada i deset hiljada u pisanom obliku označeno je kao H, X, M.

Ovaj sistem je zamenjen jonskim sistemom u trećem veku pre nove ere. Brojevi od jedan do devet u njemu bili su označeni slovima grčke abecede: od prvog do devetog. Slova od deset do osamnaest su bila desetice - od deset do devedeset. A posljednjih devet zabilježeno je stotine - od sto do devet stotina.

Uz pomoć pisma, istočni i južni Sloveni su takođe zapisivali brojeve. Neki od njih koristili su slavensko pismo, dajući svakom slovu numeričku vrijednost. Drugi - samo ona slova koja se javljaju u grčkoj abecedi. Za razlikovanje slova od brojeva dozvoljena je posebna ikona, koja se nalazila iznad broja - "titlo". Ova numeracija je korišćena u Rusiji do 18. veka.

Početak vladavine Petra I donio je arapsku numeraciju u zemlju, koja se i danas koristi. Međutim, u liturgijske knjige i dalje koriste slovenski notni sistem.

Svako od nas je bar donekle upoznat sa "rimskim sistemom", koji označava vekove, godišnjice, naslove konferencija, stihove i poglavlja u knjigama. Upravo su je nekada koristili stari Rimljani. Istraživači vjeruju da su ga stanovnici Rima posudili od Etruraca. Svi cijeli brojevi u ovom sistemu do 5000 zapisuju se brojevima I, V, X. Ako je ispred veći broj, a iza njega manji, oni se sabiraju. Ako je naprotiv - manji prije većeg - oduzimaju se. Isti broj se stavlja u red ne više od tri puta. Svaka aritmetička operacija u takvom zapisu brojeva postaje težak zadatak. Međutim, sve do 13. veka u Italiji i do 16. veka u zemljama zapadna evropa iskoristili su je.

Prva lokalna ili poziciona numeracija "stvorena" je u Babilonu 4000. godine prije Krista. Njegova suština je da jedna cifra može značiti različite brojeve, u zavisnosti od mesta na kome se nalazi. Upečatljiv primjer je savremeni decimalni sistem. U zavisnosti od pozicije u broju, broj može značiti deset, jedan i sto.

Babilonski sistem je bio seksagezimalan, pošto su u početku za osnovu uzimali ne 10, već 60. Svi brojevi manje pisani su sa dva znaka - deseticama i jedinicama. Sami brojevi su bili ispisani na glinenim pločama trouglastim štapićima, tako da su izgledali kao klin. Znakovi su se ponavljali u zavisnosti od broja.

Šeksagezimalni sistem se nije proširio dalje od Drevnog Babilona, ​​ali su seksagezimalni razlomci korišteni u zemljama Centralne Azije, Zapadne Evrope, Bliskog Istoka i Sjeverne Afrike. Prije pojave decimalnih razlomaka, oni su igrali važnu ulogu u astronomiji i drugim naukama. Danas se na ovaj sistem podsećamo tako što minut delimo na 60 sekundi, a sat na 60 minuta, ugao na 360 stepeni.

Svi sistemi brojeva mogu se uslovno podeliti na pozicione i nepozicione. Oni znakovi koje koristimo u njima za pisanje brojeva nazivaju se brojevi.

Položaj cifre u pisanom broju u nepozicionim sistemima ne utiče na vrijednost koju označava. To su, na primjer, sistemi koji koriste slova za pisanje brojeva - slovenski i romanski.

Pozicija cifre u pozicionim sistemima određuje vrijednost vrijednosti koja joj se upisuje. U ovom slučaju, pozicija je mjesto koje ova cifra zauzima u broju. A broj cifara koji se koriste za pisanje naziva se baza sistema. Primjeri takvog sistema su babilonski seksagezimalni i moderni decimalni.

Pozicioni sistemi koriste mali broj znakova, što olakšava pisanje velikih brojeva. Zato je danas sve češći u svijetu. Osim toga, pruža praktičnost i jednostavnost prilikom izvođenja aritmetičkih operacija nad brojevima.

U naše vrijeme, indo-arapski decimalni sistem dobio je najveću rasprostranjenost. Prvo se pojavila nula prilikom pisanja brojeva. Nosi ovaj naziv jer koristi deset cifara.

Najlakši način da se razumeju razlike između pozicionog sistema i nepozicionog sistema je da uporedite dva broja upisana u jednom i drugom. Prvi upoređuje brojeve na istom mjestu, s lijeva na desno. Što je veći broj, veća je i sama vrijednost. Na primjer, broj 245 će biti veći od broja 123, jer je 2 na ovoj poziciji veće od 1. Za nepozicioni sistem ovaj zakon se ne primjenjuje. Ako uporedimo rimski IX i VI, tada će prvi biti veći od drugog, iako je I na istoj poziciji manji od V.

Binarni brojni sistem sa bazom 2 predstavlja pozitivni pozicioni brojevni sistem sa celim brojevima. Omogućava vam da zapišete sve numeričke vrijednosti koristeći dva znaka. Najčešće korišteni brojevi su 0 i 1.

Osnova za oktalni pozitivni pozicioni sistem je 8. Bilo koji broj u njemu se može napisati pomoću brojeva od 0 do 7. Ovaj sistem koriste digitalni i kompjuterski uređaji. Ona je bila korišćena u zoru kompjuterske ere, ali je sada ustupila mesto naprednijoj - heksadecimalnoj.

Najprepoznatljiviji na svijetu, decimalni sistem je pozicioni sistem sa osnovom 10. Za označavanje brojeva koristi arapske brojeve od 0 do 9.

Jedan od najpopularnijih antičkih sistema - duodecimalni - i dalje se koristi u nekim oblastima nauke. Također je glavni među nekim narodima Tibeta i Nigerije, ali podsjeća na sebe u drugim kulturama. Na primjer, u našem jeziku je sačuvana riječ "dozen", au engleskom "dozen", koja nas upućuje na broj dvanaest. Njegova osnova je 12. Kao znakovi se koriste slova A i B i brojevi 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Heksadecimalni sistem brojeva - predstavlja pozicioni pozitivni sistem sa osnovom od 16 cifara. Kao njegovi brojevi, slova latinice A, B, C, D, E, F koriste se za označavanje brojeva od deset do petnaest i brojeva 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 0.

Heksadecimalni sistem brojeva koristi se u savremenim kompjuterskim programima za kodiranje fontova. Heksadecimalni brojevi u mnogim modernim kompjuterskim grafičkim programima kodiraju boje. Također, web dizajneri šifriraju boju heksadecimalnim kodom. Na primjer, kod #00ff00 predstavlja zeleno. Dva slova f u sredini ovog koda odgovaraju broju 256 u decimalnom zapisu.

U radu sa računarima najčešće se koriste binarni, oktalni i heksadecimalni sistemi brojeva. I ljudi i kompjuteri su odlični u radu sa ovim sistemima. Ali neki slučajevi nas tjeraju da se okrenemo manje popularnim sistemima brojeva. Takvi sistemi su septalni, ternarni i brojevni sistem sa bazom 32. Svi aritmetičke operacije ne razlikuju se od uobičajenih.

Istorija razvoja brojnih sistema . 2

Binarni sistemi brojeva 6

Binarna aritmetika 10

Oblici predstavljanja brojeva sa fiksnim i pomičnim zarezom. 13

Sabiranje brojeva fiksne tačke. 16

Sabiranje brojeva s pomičnim zarezom. 16

Množenje brojeva fiksne tačke. 17

Množenje brojeva s pomičnim zarezom. 18

9. Direktni, reverzni i dodatni kodovi. modificirani kod. 20

Istorija razvoja brojnih sistema.

Račun, numerisanje, je skup metoda za predstavljanje prirodnih brojeva. U bilo kojem brojevnom sistemu neki simboli (riječi ili znakovi) služe za označavanje određenih brojeva, koji se nazivaju nodalni brojevi, a ostali brojevi (algoritamski) se dobijaju kao rezultat nekih operacija iz nodalnih brojeva. Brojni sistemi se razlikuju po izboru nodalnih brojeva i načinu formiranja algoritamskih, a pojavom pisanog zapisa za numeričke simbole, brojni sistemi su počeli da se razlikuju po prirodi numeričkih znakova i principima njihovog bilježenja.

Najsavršeniji princip za predstavljanje brojeva je pozicioni (lokalni) princip, prema kojem isti brojčani znak (broj) ima različita značenja u zavisnosti od mjesta gdje se nalazi. Takav sistem brojeva zasniva se na činjenici da se određeni broj n jedinica (osnova brojevnog sistema) kombinuje u jednu jedinicu druge kategorije, n jedinica druge kategorije se kombinuje u jednu jedinicu treće kategorije itd. Osnova brojevnog sistema može biti bilo koji broj veći od jedan. Ovi sistemi uključuju savremeni decimalni brojevni sistem (sa bazom n=10). U njemu se brojevi 0,1, ..., 9 koriste za označavanje prvih deset brojeva.

Uprkos očiglednoj prirodnosti takvog sistema, on je bio rezultat dugog istorijskog razvoja. Pojava decimalnog brojevnog sistema povezana je sa brojanjem na prste. Postojali su i brojevni sistemi sa drugačijom osnovom: 5,12 (brojanje desetinama), 20 (tragovi takvog sistema sačuvani su u francuskom, na primjer, quatre - vingts, odnosno doslovno četiri - dvadeset, znači 80), 40, 60, itd. Prilikom izračunavanja Računari često koriste brojni sistem sa bazom 2.

Primitivni narodi nisu imali razvijen brojevni sistem. Još u 19. veku, mnoga plemena u Australiji i Polineziji imala su samo dva broja: jedan i dva; njihove kombinacije formirale su brojeve: 3 - dva - jedan, 4 - dva - dva, 5 - dva - dva - jedan i 6 - dva - dva - dva. Svi brojevi veći od 6 su rekli „mnogo“ bez individualizacije. Razvojem društvenog i ekonomskog života javila se potreba za stvaranjem brojevnih sistema koji bi omogućavali i označavali sve veće skupove objekata. Jedan od najstarijih brojevnih sistema je egipatsko hijeroglifsko numerisanje, koje je nastalo još 2500 - 3000 pne. e. Bio je to decimalni nepozicioni brojevni sistem, u kojem se za pisanje brojeva koristio samo princip sabiranja (brojevi izraženi susjednim ciframa se zbrajaju). Za jedinicu su bili dostupni posebni znakovi ▯ , deset ⋓, sto i druga decimalna mjesta do . Broj 343 je napisan ovako:

Slični sistemi brojeva bili su grčki herodijanski, rimski, sirijski itd.

Rimski brojevi su tradicionalni naziv za znakovni sistem za označavanje brojeva, zasnovan na upotrebi posebnih znakova za decimalna mjesta:

1 5 10 50 100 500 1000

Pojavio se oko 500. godine prije Krista. e. Etruščana i korišten je u Drevni Rim; ponekad se koristi i danas. U ovom brojevnom sistemu prirodni brojevi se pišu ponavljanjem ovih cifara. Istovremeno, ako je veliki broj ispred manjeg, onda se oni sabiraju (princip sabiranja), ako je manji broj ispred većeg, tada se manji oduzima od većeg (princip oduzimanja). Posljednje pravilo vrijedi samo da bi se izbjeglo četverostruko ponavljanje iste figure. Na primjer, I, X, C, redom, stavljaju se ispred X, C, M da bi se označilo 9, 90, 900 ili ispred V, L, D da bi se označilo 4, 40, 400.

Na primjer, VI=5+1=6, IV=5-1=4 (umjesto IIII), XIX=10+10-1=19 (umjesto XVIIII), XL=50-10=40 (umjesto XXXX ), XXXIII= 10+10+10+1+1+1=33, itd. Izvođenje aritmetičkih operacija nad brojevima s više vrijednosti u ovom sistemu je veoma nezgodno.

Napredniji sistemi brojeva su abecedni: jonski, slovenski, hebrejski, arapski, kao i gruzijski i jermenski. Prvi alfabetski brojevni sistem je očigledno bio jonski, koji je nastao u grčkim kolonijama u Maloj Aziji sredinom 5. veka pre nove ere. e. U abecednim brojevnim sistemima brojevi od 1 do 9, kao i sve desetice i stotine, obično se označavaju uzastopnim slovima abecede (iznad njih se stavljaju crtice kako bi se razlikovali brojevi od riječi). Broj 343 u jonskom sistemu je napisan ovako:
(Ovdje - 300, - 40, - 3).

Numerička vrijednost slavenska pisma. Dakle za ćirilicu:

Za označavanje brojeva iznad slova, poseban naslovni znak (ponekad iznad svakog slova, ponekad samo iznad prvog ili iznad cijelog broja). Prilikom pisanja brojeva većih od 10, brojevi su se pisali s lijeva na desno u opadajućem redoslijedu decimalnih mjesta (međutim , ponekad su se za brojeve od 11 do 19 jedinice pisale prije desetice). Za označavanje hiljada, ispred njihovog broja stavljen je poseban znak (dole lijevo). Na primjer:

Za označavanje i imenovanje najviših decimalnih mjesta (više od
) postojala su dva sistema: "mali broj" i "veliki broj"; posljednji sistem je uključivao brojeve do
ili čak
(„Ne postoji više za ljudski um da shvati“):

Sve do 18. vijeka slovenski brojevi su bili glavna digitalna oznaka u Rusiji.

U abecednim brojevnim sistemima, zapis brojeva je mnogo kraći nego u prethodnim; osim toga, mnogo je lakše izvoditi aritmetičke operacije nad brojevima napisanim abecednim brojevima. Međutim, u abecednim sistemima brojeva ne možete pisati proizvoljno velike brojeve. Grci su proširili jonsku numeraciju: označavali su brojeve 1000, 2000, ..., 9000 istim slovima kao 1,2, ..., 9, ali su dolje lijevo stavili potez: dakle,
označeno 1000, - 2000, itd. Uveden je novi znak za 10.000. Ipak, jonski brojevni sistem se pokazao neprikladnim za astronomske proračune helenističke ere, a grčki astronomi tog vremena počeli su kombinovati abecedni sistem sa seksestezimalnim babilonskim - prvim brojevnim sistemom koji nam je poznat po pozicijskom principu. U brojevnom sistemu starih Babilonaca, koji je nastao oko 2000. pr. e. svi brojevi su napisani pomoću dva znaka: (za jedan) i (za deset). Brojevi do 60 pisani su kao kombinacije ova dva znaka po principu sabiranja. Broj 60 je ponovo označen znakom, kao jedinica najvišeg ranga. Za pisanje brojeva od 60 do 3600 ponovo je korišćen princip sabiranja, a broj 36.000 označavan je istim znakom kao jedinica itd. Broj 343=5*60+4*10+3 u ovom sistemu je napisan kao što slijedi:

Međutim, zbog nedostatka znaka za nulu, koji bi mogao označavati cifre koje nedostaju, zapis brojeva u ovom brojevnom sistemu nije bio jednoznačan. Karakteristika vavilonskog brojevnog sistema bila je da je apsolutna vrijednost brojeva ostala neizvjesna.

Drugi brojevni sistem zasnovan na pozicionom principu nastao je među Indijancima Maja, stanovnicima poluostrva Jukatan (Centralna Amerika) sredinom 1. milenijuma nove ere. e. Maje su imale dva brojevna sistema: jedan, koji je podsećao na egipatski, koristio se u svakodnevnom životu, drugi - pozicioni, sa osnovom od 20 i posebnim znakom za nulu, korišćen je u kalendarskim proračunima. Snimanje u ovom sistemu, kao iu našem modernom, bilo je apsolutno.

Savremeni decimalni pozicioni brojevni sistem nastao je na osnovu numeracije, koja je nastala najkasnije u 5. veku. u Indiji. Indija je prije toga imala brojevne sisteme u kojima se primjenjivao ne samo princip sabiranja, već i princip množenja (jedinica bilo koje kategorije množi se brojem s lijeve strane). Stari kineski brojevni sistem i neki drugi izgrađeni su slično. Ako je, na primjer, broj 3 uslovno označen simbolom III, a broj 10 simbolom X, tada će broj 30 biti napisan kao IIIX (tri desetice). Takvi sistemi brojeva mogu poslužiti kao pristup kreiranju decimalnog pozicionog numeriranja.

Sistem decimalnog položaja u principu omogućava zapisivanje proizvoljno velikih brojeva. Zapisivanje brojeva u njemu je kompaktno i praktično za izvođenje aritmetičkih operacija. Stoga, ubrzo nakon pojave decimalnog pozicionog brojevnog sistema, počinje se širiti iz Indije na Zapad i Istok. U 9. veku pojavljuju se rukopisi na arapskom jeziku koji postavljaju ovaj brojevni sistem, u 10. veku decimalno poziciono numerisanje stiže u Španiju, a početkom 12. veka pojavljuje se i u drugim evropskim zemljama. Novi brojevni sistem je nazvan arapskim, jer je u Evropi prvi put uveden preko latinskih prijevoda sa arapskog. Tek u 16. veku nova numeracija postaje široko rasprostranjena u nauci i svakodnevnom životu. U Rusiji počinje da se širi u 17. veku i na samom početku 18. veka. zamjenjuje abecedno. Sa uvođenjem decimalnih razlomaka, decimalni pozicioni brojevni sistem je postao univerzalno sredstvo za pisanje svih realnih brojeva.